MATLAB | 分形的艺术——(Mandelbrot)曼德勃罗特集合

PART.0 Mandelbrot 介绍

“无规则的碎片” “魔鬼的聚合物” “上帝的指纹”

Mandelbrot集合有着多种称谓，那么什么是曼德勃罗特集？Mandelbrot集合可以用复二次多项式：

f c ( z ) = z 2 + c f_c(z)=z^2+c fc​(z)=z2+c

来表示，其中c是一个复数。对于每一个c，从z=0,开始对 f c ( z ) f_c(z) fc​(z)进行迭代。序列:

( 0 , f c ( 0 ) , f c ( f c ( 0 ) ) , f c ( f c ( f c ( 0 ) ) ) , …   ) (0,f_c(0),f_c(f_c(0)),f_c(f_c(f_c(0))),\dots) (0,fc​(0),fc​(fc​(0)),fc​(fc​(fc​(0))),…)

的元素的模或者延伸到无穷大，或者只停留在有限半径的圆盘内。Mandelbrot集合就是使以上序列不延伸至无限大的所有c点的集合。

在复平面上，将所有属于Mandelbrot集合的点标记为黑色，将所有不属于集合的点按照其发散速度赋予不同的颜色，就可以得到Mandelbrot的经典图像：

从图像Mandelbrot集合的边缘无限放大，可以不断看到各种各样的分形结构，注意这里图上的标号，会和后面的各个例子一一对应。这里先给出这个全貌图的绘制代码(此代码参考mathworks官网)：

maxIterations=800;
gridSize=1000;
xlim=[-2 1];
ylim=[-1.5 1.5];

% Setup
x=linspace(xlim(1),xlim(2),gridSize);
y=linspace(ylim(1),ylim(2),gridSize);
[xGrid,yGrid]=meshgrid(x,y);
z0=xGrid+1i*yGrid;
count=ones(size(z0));

% Calculate
z=z0;
for n=0:maxIterations
    z=z.*z+z0;
    inside=abs(z)