在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量（space vector），向量的大小叫做向量的长度或模（Modulus）。规定长度为0的向量叫做零向量（zero vector），记为 0 \boldsymbol{0} 0，零向量的起点和终点重合，方向是任意的；模为1的向量叫做单位向量（Unit vector），与向量 a \boldsymbol{a} a长度相等而方向相反的向量，称为 a \boldsymbol{a} a的相反向量，记为 − a -\boldsymbol{a} −a。
1.2 向量的夹角设有两个非零向量 a \boldsymbol{a} a， b \boldsymbol{b} b，在空间中任取一点 O O O，作 O A → = a \overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a} OA =a， O B → = b \overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b} OB =b，规定不超过 π \pi π的 ∠ A O B \angle{AOB} ∠AOB为向量 a \boldsymbol{a} a， b \boldsymbol{b} b的夹角。将两个平行向量的起点放在同一个点时，它们的终点和起点应该在同一条直线上。因此两向量平行也叫做两向量共线。类似的，设有 k k k个向量，当把他们的起点放在同一个点时，如果 k k k个终点和公共起点在同一个平面上，就称这 k k k个向量共面。
1.3 线性运算线性运算包括加减法和数乘运算。
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加减法 向量的运算几何上符合三角形法则和平行四边形法则。 交换律： a + b = b + a \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a} a+b=b+a 结合律： ( a + b ) + c = a + ( b + c ) (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}) (a+b)+c=a+(b+c)
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数乘运算 向量 a \boldsymbol{a} a与实数 λ \lambda λ的乘积记作 λ a \lambda\boldsymbol{a} λa，规定 λ a \lambda\boldsymbol{a} λa为一个向量，它的模 ∣ λ a ∣ = ∣ λ ∣ ∣ a ∣ (1) \tag{1} |\lambda\boldsymbol{a}|=|\lambda||\boldsymbol{a}| ∣λa∣=∣λ∣∣a∣(1)结合律： λ ( μ a ) = μ ( λ a ) = ( λ μ ) a \lambda(\mu\boldsymbol{a})=\mu(\lambda\boldsymbol{a})=(\lambda\mu)\boldsymbol{a} λ(μa)=μ(λa)=(λμ)a 分配律： ( λ + μ ) a = λ a + μ a λ ( a + b ) = λ a + λ b (\lambda+\mu)\boldsymbol{a}=\lambda\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{a}\quad \lambda(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=\lambda\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b} (λ+μ)a=λa+μaλ(a+b)=λa+λb
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定理一：设向量 a ≠ 0 \boldsymbol{a}\ne\boldsymbol{0} a=0，则向量 b \boldsymbol{b} b平行于 a \boldsymbol{a} a的充分必要条件是：存在唯一实数 λ \lambda λ使得 b = λ a \boldsymbol{b}=\lambda\boldsymbol{a} b=λa。这个定理建立数轴的理论依据，起点相同方向相同的向量可以和一个实数一一对应。
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定理二：设向量 a \boldsymbol{a} a和 b \boldsymbol{b} b不共线，向量 p \boldsymbol{p} p与 a \boldsymbol{a} a， b \boldsymbol{b} b共面的充要条件是存在实数对 ( x , y ) (x,y) (x,y)使： p = x a + y b \boldsymbol{p}=x\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b} p=xa+yb成立。
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定理三：（待补充） 空间中任意两个向量都是共面的，三个向量则不一定。平行于同一个平面的向量共面向量（coplanar vectors）。
已知两个非零向量 a \boldsymbol{a} a和 b \boldsymbol{b} b，则 ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos < a , b > |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos ∣a∣∣b∣cos叫做 a \boldsymbol{a} a和 b \boldsymbol{b} b的数量积，记作 a ⋅ b \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} a⋅b，即： a ⋅ b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos < a , b > (2) \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\tag{2} a⋅b=∣a∣∣b∣cos(2)对于零向量因为没有夹角的定义，进行了规定：零向量与任何向量的数量积都为0。特别的： a ⋅ a = ∣ a ∣ ∣ a ∣ cos < a , a > = ∣ a ∣ 2 \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{a}|\cos=|\boldsymbol{a}|^2 a⋅a=∣a∣∣a∣cos=∣a∣2。如果向量 a ≠ 0 \boldsymbol{a}\ne\boldsymbol{0} a=0， ∣ b ∣ cos < a , b > |\boldsymbol{b}|\cos ∣b∣cos这个标量是做向量 b \boldsymbol{b} b在向量 a \boldsymbol{a} a上的投影。记作： P r j a b = ∣ b ∣ cos < a , b > (3) Prj_{\boldsymbol{a}}\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{b}|\cos\tag{3} Prjab=∣b∣cos(3)式（2）可以写作： a ⋅ b = ∣ b ∣ P r j a b (4) \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{b}|Prj_{\boldsymbol{a}}\boldsymbol{b} \tag{4} a⋅b=∣b∣Prjab(4)这也就是说，一个向量在另一个向量的向量积等于该向量的模与投影的乘积。在几何上投影，两个同起点的向量，实际就是过 b \boldsymbol{b} b终点且是 a \boldsymbol{a} a所有垂直面的交点与起点的连线。
向量积还满足以下运算律： ( λ a ) ⋅ b = λ ( a ⋅ b ) a b = b a a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c (5) (\lambda\boldsymbol{a})\cdot\boldsymbol{b}=\lambda(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})\\ \boldsymbol{a}\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}\boldsymbol{a}\\ \boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}\tag{5} (λa)⋅b=λ(a⋅b)ab=baa⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c(5) 如果两个向量的数量积为0是两个向量垂直的充分必要条件。
1.5 向量积设向量 c \boldsymbol{c} c由两个向量 a \boldsymbol{a} a、 b \boldsymbol{b} b按以下方式定出： c \boldsymbol{c} c的模 ∣ c ∣ = ∣ a ∣ ∣ b ∣ sin θ |\boldsymbol{c}|=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\sin\theta ∣c∣=∣a∣∣b∣sinθ， θ \theta θ为 a \boldsymbol{a} a、 b \boldsymbol{b} b间的夹角； c \boldsymbol{c} c的方向垂直于 a \boldsymbol{a} a、 b \boldsymbol{b} b所决定的平面（与 a \boldsymbol{a} a、 b \boldsymbol{b} b都垂直）， c \boldsymbol{c} c的方向由右手规则从 a \boldsymbol{a} a转向 b \boldsymbol{b} b决定，向量 c \boldsymbol{c} c叫做 a \boldsymbol{a} a与 b \boldsymbol{b} b的向量积，即： c = a × b \boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b} c=a×b
右手法则最重要的是确定其方向，以 c = a × b \boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b} c=a×b为例， c \boldsymbol{c} c的方向是四指沿着 a \boldsymbol{a} a的正方向，以不超过180度的角度弯向 b \boldsymbol{b} b的反方向，拇指方向即为叉积的方向。
向量积有以下性质：
- b × a = − a × b \boldsymbol{b}\times\boldsymbol{a}=-\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b} b×a=−a×b
- ( a + b ) × c = a × c + b × c (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\times\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{c}+\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c} (a+b)×c=a×c+b×c
- ( λ a ) × b = a × ( λ b ) = λ ( a × b ) (\lambda\boldsymbol{a})\times\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}\times(\lambda\boldsymbol{b})=\lambda(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}) (λa)×b=a×(λb)=λ(a×b)
两向量平行的充要条件是 a × b = 0 \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=\boldsymbol{0} a×b=0
1.6 混合积先向量积后数量积。 [ a b c ] = ( a × b ) ⋅ c [\boldsymbol{a}\quad\boldsymbol{b}\quad\boldsymbol{c}]=(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c} [abc]=(a×b)⋅c
