在线性代数中，QR分解（QR decomposition）是一种将矩阵分解成两个矩阵乘积的形式： A = Q R (1) A=QR\tag{1} A=QR(1) 其中 Q Q Q是一个正交矩阵（orthogonal matrix）， R R R是一个上三角矩阵（ Upper triangular matrix），个人感觉称为 Q U QU QU分解（QU decomposition）更加能够揭示这种分解的结果。
Q R QR QR分解后求解方程组相较于直接进行求解，优点在于：
- 具有数值稳定性
- 计算量降低
如何将一个矩阵进行 Q R QR QR分解？施密特正交化是一种有效的方法：
定理1（格拉姆-施密特QR分解） 令 A A A为一秩为 n n n的 m × n m\times n m×n矩阵，则存在一各列向量规范正交的 m × n m\times n m×n矩阵 Q Q Q以及一对角元素均为正的 n × n n\times n n×n上三角矩阵 R R R ，使得 A = Q R A=QR A=QR。
定理1告诉我们：
- 任意矩阵都可以进行 Q R QR QR分解
- 分解后 Q Q Q和 A A A形状相同
- 分解后 R R R是一个上三角矩阵等于高度大小的方阵且对角线元素都为正
定理2 令 A A A为一秩为 n n n的 m × n m\times n m×n矩阵，且 A A A的 Q R QR QR分解为 A = Q R A=QR A=QR则最小二乘问题 A x = b Ax=b Ax=b的解为 x ^ = R − 1 Q T b \hat x=R^{-1}Q^Tb x^=R−1QTb。在实际计算时，可使用回代法求解 R x ^ = Q T b R\hat x=Q^Tb Rx^=QTb。
将求解 A x = b Ax=b Ax=b问题转换成 R x ^ = Q T b R\hat x=Q^Tb Rx^=QTb，其中 R R R就是已经进行高斯消元的矩阵，可以直接使用回代法求解。回代法相较于直接求逆，不仅速度更加快，而且具有数值稳定性。
