现在开始进入课程的第二部分——行列式，这个部分将集中在方程的行列式。
一、行列式的性质行列式是与矩阵对应的一个数字，反映了方阵的性质。
- 性质1 单位矩阵 I I I的行列式为1。（ ∣ I ∣ = 1 \vert I\vert=1 ∣I∣=1）
- 性质2 交换两行后，行列式的值符号相反
举个例子：
[ 1 0 0 1 ] = 1 [ 0 1 1 0 ] = − 1 \begin{bmatrix} 1&0\\0&1 \end{bmatrix}=1\quad \begin{bmatrix} 0&1\\1&0 \end{bmatrix}=-1 [1001]=1[0110]=−1 对于一个 2 × 2 2\times2 2×2的矩阵，计算行列式的方法就是主副对角线元素相乘后再相减： ∣ a b c d ∣ = a d − b c \left | \begin{matrix} a&b\\c&d \end{matrix} \right|=ad-bc ∣ ∣acbd∣ ∣=ad−bc
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性质3 每一行都可以提取乘数 ∣ t a t b c d ∣ = t ∣ a b c d ∣ \left | \begin{matrix} ta&tb\\c&d \end{matrix} \right|=t\left | \begin{matrix} a&b\\c&d \end{matrix} \right| ∣ ∣tactbd∣ ∣=t∣ ∣acbd∣ ∣
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性质4 行列式之间可以相加(行列式行间线性) ∣ a + a ′ b + b ′ c d ∣ = ∣ a b c d ∣ + ∣ a ′ b ′ c d ∣ \left | \begin{matrix} a+a'&b+b'\\c&d \end{matrix} \right|=\left | \begin{matrix} a&b\\c&d \end{matrix} \right|+\left | \begin{matrix} a'&b'\\c&d \end{matrix} \right| ∣ ∣a+a′cb+b′d∣ ∣=∣ ∣acbd∣ ∣+∣ ∣a′cb′d∣ ∣
接下来的性质都可以由上面4个性质导出：
- 性质5 相同行将会使行列式为0 利用性质2可以得到该性质。因为交换相同行将会改变其符号，但是行列式还是原来的行列式，行列式应该是一样的，交换符号却不改变符号的只能是0了。
相同行导致行列式为0，相同行导致矩阵不可逆是对应的。
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性质6 某一行减去其他行的倍数，行列式值不变 这个性质告诉我们对一个矩阵进行消元操作并不能改变其行列式的值。 由性质5可以得出： ∣ a b c − l a d − l b ∣ = ∣ a b c d ∣ + ∣ a b − l a − l b ∣ \left | \begin{matrix} a&b\\c-la&d-lb \end{matrix} \right|=\left | \begin{matrix} a&b\\c&d \end{matrix} \right|+\left | \begin{matrix} a&b\\-la&-lb \end{matrix} \right| ∣ ∣ac−labd−lb∣ ∣=∣ ∣acbd∣ ∣+∣ ∣a−lab−lb∣ ∣ 再由性质4可以有： ∣ a b c − l a d − l b ∣ = ∣ a b c d ∣ + ∣ a b − l a − l b ∣ = ∣ a b c d ∣ − l ∣ a b a b ∣ = ∣ a b c d ∣ \left | \begin{matrix} a&b\\c-la&d-lb \end{matrix} \right|=\left | \begin{matrix} a&b\\c&d \end{matrix} \right|+\left | \begin{matrix} a&b\\-la&-lb \end{matrix} \right|=\left | \begin{matrix} a&b\\c&d \end{matrix} \right|-l\left | \begin{matrix} a&b\\a&b \end{matrix} \right|=\left | \begin{matrix} a&b\\c&d \end{matrix} \right| ∣ ∣ac−labd−lb∣ ∣=∣ ∣acbd∣ ∣+∣ ∣a−lab−lb∣ ∣=∣ ∣acbd∣ ∣−l∣ ∣aabb∣ ∣=∣ ∣acbd∣ ∣
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性质7 零行将会使得行列式为0 这个性质3容易得出，提出一个0系数不就行了
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性质8 上三角矩阵的行列式等于对角线之积 d e t ( U ) = ∣ d 1 ∗ ⋯ ∗ ∗ 0 d 2 ∗ ⋯ ∗ 0 0 0 ⋯ ∗ 0 0 0 0 d n ∣ = d 1 d 2 ⋯ d n det(U)=\left | \begin{matrix} d_1&*&\cdots&*&*\\0&d_2&*&\cdots&*\\ 0&0&0&\cdots&*\\ 0&0&0 &0&d_n \end{matrix} \right|=d_1d_2\cdots d_n det(U)=∣ ∣d1000∗d200⋯∗00∗⋯⋯0∗∗∗dn∣ ∣=d1d2⋯dn 这个性质也非常容易理解，利用性质3将每一行的数字提取出去，再用性质6将这些星号“打酱油”，并利用性质1可以得到： d 1 d 2 ⋯ d n ∣ 1 ∗ ⋯ ∗ ∗ 0 1 ∗ ⋯ ∗ 0 0 0 ⋯ ∗ 0 0 0 0 1 ∣ = d 1 d 2 ⋯ d n d_1d_2\cdots d_n\left | \begin{matrix} 1&*&\cdots&*&*\\0&1&*&\cdots&*\\ 0&0&0&\cdots&*\\ 0&0&0 &0&1 \end{matrix} \right|=d_1d_2\cdots d_n d1d2⋯dn∣ ∣1000∗100⋯∗00∗⋯⋯0∗∗∗1∣ ∣=d1d2⋯dn
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性质9 当且仅当 A A A是奇异矩阵（不可逆，有零行）， ∣ A ∣ \vert A\vert ∣A∣为零； ∣ A ∣ ≠ 0 \vert A \vert \ne0 ∣A∣=0矩阵是非奇异的（可逆，没有零行）
前面九个性质都是关于行列式的，下面来补充两个关于矩阵重要性质：
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性质10 ∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ \vert AB\vert=\vert A\vert \vert B\vert ∣AB∣=∣A∣∣B∣ 两个方阵的乘积的行列式等于这两个方阵求行列式后再乘积。 推论10.1: 可逆矩阵的行列式与其逆矩阵的行列式是倒数关系 ∣ A − 1 ∣ = 1 ∣ A ∣ \vert A^{-1}\vert=\frac{1}{\vert A\vert} ∣A−1∣=∣A∣1 推论10.2: ∣ A n ∣ = ∣ A ∣ n \vert A^n\vert=\vert A\vert^n ∣An∣=∣A∣n
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性质11 矩阵的行列式等于其转置后矩阵对应行列式 证明：设这个矩阵为 A A A，将其进行 L U LU LU分解 ∣ A T ∣ = ∣ ( L U ) T ∣ = ∣ U T L T ∣ = ∣ U T ∣ ∣ L T ∣ \vert A^T\vert=\vert (LU)^T\vert=\vert U^TL^T\vert=\vert U^T\vert\vert L^T\vert ∣AT∣=∣(LU)T∣=∣UTLT∣=∣UT∣∣LT∣ 因为上下三角矩阵的转置并不会影响其行列式的值，所以： ∣ A T ∣ = ∣ U ∣ ∣ L ∣ \vert A^T\vert=\vert U\vert\vert L\vert ∣AT∣=∣U∣∣L∣ 也就是： ∣ A ∣ = ∣ A T ∣ \vert A\vert=\vert A^T\vert ∣A∣=∣AT∣ 推论：如果一个行列式有一列为零向量，那么这个行列式为0。 这个在下一节会用到。
