一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x , y x,y x,y都是某个变数 t t t的函数 { x = f ( t ) y = g ( t ) (1) \left\{ \begin{aligned} &x=f(t)\\ &y=g(t) \end{aligned} \right.\tag{1} {x=f(t)y=g(t)(1)并且对于每个 t t t的允许值，由方程组（1）所确定的点 M ( x , y ) M(x,y) M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组（1）就称为这条曲线的参数方程，联系变数 x , y x,y x,y的变数 t t t叫做参变数，简称参数。相对参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。这里的参数 t t t可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。
一个曲线多个参数方程，一个参数方程却只能对应一条曲线；此外，在建立参数方程时应该注明参数和参数的取值范围。
1.2 圆的参数方程圆心在原点，半径为 r r r, θ \theta θ为转过的角度。 { x = r cos θ y = r sin θ θ ∈ [ 0 , 2 π ) (2) \left\{ \begin{aligned} & x=r\cos\theta\\ & y=r\sin\theta \end{aligned}\quad \theta\in[0,2\pi) \right.\tag{2} {x=rcosθy=rsinθθ∈[0,2π)(2)化成普通方程便于观察曲线的类型。另外，若圆心不在原点，若圆心为 ( a , b ) (a,b) (a,b)，则对应参数方程应该为： { x = a + r cos θ y = b + r sin θ θ ∈ [ 0 , 2 π ) (3) \left\{ \begin{aligned} & x=a+r\cos\theta\\ & y=b+r\sin\theta \end{aligned}\quad \theta\in[0,2\pi) \right.\tag{3} {x=a+rcosθy=b+rsinθθ∈[0,2π)(3)
1.3 参数方程和普通方程的互化一般地可以通过消去参数从而将参数方程转化成普通方程；若已知普通方程，可以通过令 x = f ( t ) x=f(t) x=f(t)，再将 x x x带入普通方程来转化成参数方程。特别注意 x , y , θ x,y,\theta x,y,θ的取值范围。
二、圆锥曲线 2.1 椭圆的参数方程长轴长为a，短轴长为b的椭圆的普通方程为： x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 （ a > b > 0 ） (4) \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\quad（a>b>0）\tag{4} a2x2+b2y2=1（a>b>0）(4) 对应的参数方程为： { x = a cos ϕ y = b sin ϕ ϕ ∈ [ 0 , 2 π ) (5) \left\{ \begin{aligned} &x=a\cos\phi\\ &y=b\sin\phi\\ \end{aligned} \right. \quad \phi\in[0,2\pi)\tag{5} {x=acosϕy=bsinϕϕ∈[0,2π)(5)
2.2 双曲线的参数方程若双曲线的普通方程为： x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 （ a > 0 b > 0 ） (5) \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\quad（a>0\quad b>0）\tag{5} a2x2−b2y2=1（a>0b>0）(5) 则对应的参数方程为： { x = a sec ϕ y = b sin ϕ ϕ ∈ [ 0 , 2 π ) (6) \left\{ \begin{aligned} &x=a\sec\phi\\ &y=b\sin\phi\\ \end{aligned} \right. \quad \phi\in[0,2\pi)\tag{6} {x=asecϕy=bsinϕϕ∈[0,2π)(6) ϕ \phi ϕ为参数，满足条件：
- ϕ ∈ [ 0 , 2 π ) \phi\in[0,2\pi) ϕ∈[0,2π)
- ϕ ≠ π 2 ϕ ≠ 3 π 2 \phi\ne\frac{\pi}{2}\quad \phi\ne\frac{3\pi}{2} ϕ=2πϕ=23π
python中似乎没有 sec \sec sec函数，总之等于余弦的倒数就对了： sec ϕ = 1 c o s ϕ \sec\phi=\frac{1}{cos\phi} secϕ=cosϕ1
2.3 抛物线方程设抛物线普通方程为 y 2 = 2 p x (7) y^2=2px\tag{7} y2=2px(7) 其中， p p p表示焦点在顶点的距离。参数方程如下： { x = 2 p tan 2 α y = 2 p tan α (8) \left\{ \begin{aligned} &x=\frac{2p}{\tan^2\alpha}\\ &y=\frac{2p}{\tan\alpha} \end{aligned}\tag{8} \right. ⎩⎪⎨⎪⎧x=tan2α2py=tanα2p(8) 令 t = 1 tan α t=\frac{1}{\tan\alpha} t=tanα1，(8)变成： { x = 2 p t 2 y = 2 p t (9) \left\{ \begin{aligned} &x=2pt^2\\ &y=2pt \end{aligned}\tag{9} \right. {x=2pt2y=2pt(9)
t ∈ ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) t\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty) t∈(−∞,0)∪(0,+∞)， α \alpha α除顶点外任意一点与顶点连线与 O x Ox Ox夹角，显然当 t = 0 t=0 t=0时恰好是抛物线原点， t t t表示除原点外任意一点与原点连线斜率的倒数。
三、直线过点 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_0(x_0,y_0) P0(x0,y0)倾角为 α \alpha α的直线 l l l，其普通方程为： y − y 0 = tan α ( x − x 0 ) (10) y-y_0=\tan\alpha(x-x_0)\tag{10} y−y0=tanα(x−x0)(10) 对应的参数方程为： { x = x 0 + t cos α y = y 0 + t sin α (11) \left\{ \begin{aligned} &x=x_0+t\cos\alpha\\ &y=y_0+t\sin\alpha \end{aligned} \right.\tag{11} {x=x0+tcosαy=y0+tsinα(11) t t t为参数，其绝对值等于动点 P P P到 P 0 P0 P0的距离，即： ∣ t ∣ = ∣ P P 0 ∣ (12) |t|=|PP0|\tag{12} ∣t∣=∣PP0∣(12)
四、渐开线和摆线 4.1 渐开线参数方程，渐伸线（involute）(或称渐开线(evolvent))和渐屈线（evolute）是曲线的微分几何上互为表里的概念。若曲线A是曲线B的渐伸线，曲线B是曲线A的渐屈线。 
在曲线上选一定点 S S S。有一动点P由S出发沿曲线移动，选在 P P P的切线上的 Q Q Q，使得曲线长 S P SP SP和直线段长 P Q PQ PQ 相同。渐伸线就是 Q Q Q的轨迹。圆的渐开线方程为： { x = r ( cos ϕ + ϕ sin ϕ ) y = r ( sin ϕ − ϕ cos ϕ ) (13) \left\{ \begin{aligned} &x=r(\cos\phi+\phi\sin\phi)\\ &y=r(\sin\phi-\phi\cos\phi) \end{aligned} \right.\tag{13} {x=r(cosϕ+ϕsinϕ)y=r(sinϕ−ϕcosϕ)(13) ϕ \phi ϕ是参数。
在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。由于渐开线的齿形的齿轮磨损少、传动平稳，制造安装较为方便。因此大多数齿轮采用这种齿形，设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。
4.2 摆线
对应的参数方程为：
{
x
=
r
(
ϕ
−
sin
ϕ
)
y
=
r
(
1
−
cos
ϕ
)
(14)
\left\{ \begin{aligned} &x=r(\phi-\sin\phi)\\ &y=r(1-\cos\phi) \end{aligned} \right.\tag{14}
{x=r(ϕ−sinϕ)y=r(1−cosϕ)(14)
ϕ
\phi
ϕ是参数。
