直接给出二阶矩阵的逆矩阵形式： [ a b c d ] − 1 = 1 a d − b c [ d − b − c a ] \begin{bmatrix} a&b\\c&d \end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix} [acbd]−1=ad−bc1[d−c−ba] 观察上式，似乎有以下等式： A − 1 = 1 ∣ A ∣ C T A^{-1}=\frac{1}{\vert A\vert}C^T A−1=∣A∣1CT 注： C C C表示代数余子式（cofactor），去掉行列后的带正负号的行列式。对于任意阶矩阵是否有类似的结论？ 要证明这个结论，等价于证明： A C T = ∣ A ∣ I (1) AC^T=\vert A\vert I\tag{1} ACT=∣A∣I(1) 展开一下： [ a 11 ⋯ a 1 n ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 ⋯ a n n ] [ c 11 ⋯ c n 1 ⋯ ⋯ ⋯ c n 1 ⋯ c n n ] = [ ∣ A ∣ ⋯ 0 0 ∣ A ∣ 0 0 0 ∣ A ∣ ] \begin{bmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \cdots&\cdots&\cdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}c_{11}&\cdots&c_{n1}\\ \cdots&\cdots&\cdots\\ c_{n1}&\cdots&c_{nn}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\vert A\vert&\cdots&0\\ 0&\vert A\vert&0\\ 0&0&\vert A\vert \end{bmatrix} ⎣ ⎡a11⋯an1⋯⋯⋯a1n⋯ann⎦ ⎤⎣ ⎡c11⋯cn1⋯⋯⋯cn1⋯cnn⎦ ⎤=⎣ ⎡∣A∣00⋯∣A∣000∣A∣⎦ ⎤ 可以看出等式（1）是成立的。这里用到了一个代数余子式的推论：行列式某一行（列）与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。证明见同济版的教材，简单来说就是某一行的代数余子式按行展开，将原来按行展开的行用其他行替换，因为相同行所以最后的结果应为0。
(1)告诉我们改变某个元素对可逆矩阵的影响。回忆之前讲到的方程组 A x = b Ax=b Ax=b，现在可以写成： x = A − 1 b = 1 ∣ A ∣ C T b (2) x=A^{-1}b=\frac{1}{\vert A\vert}C^Tb\tag{2} x=A−1b=∣A∣1CTb(2) 利用行列式的概念可以表达，未知数的实际值，也就是： x 1 = B 1 ∣ A ∣ x 2 = B 2 ∣ A ∣ ⋯ x n = B n ∣ A ∣ (3) x_1=\frac{B_1}{\vert A\vert}\\ x_2=\frac{B_2}{\vert A\vert}\\ \cdots\\ x_n=\frac{B_n}{\vert A\vert}\tag{3} x1=∣A∣B1x2=∣A∣B2⋯xn=∣A∣Bn(3) 其中 B j B_j Bj是用系数替代 A A A中对应的列得到的。不得不说，Grammer 法则给出了一种求唯一解的一种方法，但是看上去计算量非常之大，求行列式 ∣ A ∣ \vert A\vert ∣A∣，替换之后求未知数个 ∣ B ∣ \vert B\vert ∣B∣，计算起来简直大的离谱，所以计算机还是采用的消元法而不是此方法（手工算也不会这么算）。
二、行列式的几何意义以下内容参考了课本。在讲行列式的几何意义之前，复习一下行列式的性质：
-
性质1：单位矩阵的行列式值为1
-
性质2：交换行符号相反
-
性质3：行列式行符合线性运算法则
-
性质4：两行相等行列式值为0
-
性质5：某行减去其他行倍数行列式值不变
-
性质6：有零行行列式值为0
-
性质7：三角行列式值为对角线乘积
-
性质8：如果矩阵是奇异的，那么行列式值为0；行列式不为0，矩阵是可逆的
-
性质9：矩阵乘积的行列式等于其分别行列式后乘积
-
性质10：矩阵转置行列式值不变
接下来将会从平面和三维空间上对行列式意义进行解释。
2.1 平面行列式已知平面上的三个点：
(
x
1
,
y
1
)
(x_1,y_1)
(x1,y1)、
(
x
2
,
y
2
)
(x_2,y_2)
(x2,y2)和
(
x
3
,
y
3
)
(x_3,y_3)
(x3,y3)，求其围成的三角形面积
S
S
S: 
没有学习行列式之前，一般的做法是先求出底边大小，再求出高。学习了行列式后，其面积等于坐标值组成的行列式值的一半：
S
=
d
e
t
e
r
m
i
n
a
t
2
S=\frac{determinat}{2}
S=2determinat 也就是：
S
=
1
2
∣
x
1
y
1
1
x
2
y
2
1
x
3
y
3
1
∣
(4)
S=\frac{1}{2}\left |\begin{matrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{matrix}\right|\tag{4}
S=21∣
∣x1x2x3y1y2y3111∣
∣(4) 如果
x
3
=
y
3
=
0
x_3=y_3=0
x3=y3=0，那么还可以继续简化成：
S
=
1
2
∣
x
1
y
1
x
2
y
2
∣
(5)
S=\frac{1}{2}\left |\begin{matrix}x_1&y_1\\x_2&y_2\end{matrix}\right|\tag{5}
S=21∣
∣x1x2y1y2∣
∣(5)
事实上，在平面上行列式值恰好等于平行四边形的面积，要证明(5)等价于证明行列式值等于平行四边形的面积。如果能够证明一个事物完全符合另外一个事物的所有特征，那么我们可以认为概念是等价的。行列式性质1 2 3是对应上的：
- 假如向量属于单位正交向量，几何上是边长为1的正方向， S = ∣ I ∣ = 1 S=\vert I\vert=1 S=∣I∣=1；
- 假如向量进行行交换，符号相反但是行列式绝对值是相同的，几何上不会因为交换边长而导致面积不同；
- 假如向量某一行变成原来的 t t t倍，边长变长 k k k倍，面积也扩大 k k k倍，这是符合行列式性质3的。
所以认为，行列式值的绝对值和面积是等价的。
2.2 三维空间
上图是四个向量构成的平行体，检查其是否符合行列式的三个性质：
- 如果向量是相互正交的，那么体积等于1，行列式也等于1；
- 如果其中一个向量扩大 n n n倍，整个体积也扩大 n n n倍，行列式也扩大 n n n倍；
- 如果将向量交换，并不影响体积大小，行列式符号发生改变，但是绝对值大小不变；
符合行列式定义，所以行列式绝对值等于其体积。
