复习： 一、什么是系数矩阵的零空间和列空间？
- 零空间是一个解向量构成的空间，记为 N ( A ) N(A) N(A)；
- 列空间是列向量组成而成的空间，记为 C ( A ) C(A) C(A)；
零空间可以这么理解，使得方程组为零向量的解构成的空间；列空间就是列向量线性组合形成的空间。
二、系数矩阵零空间维数和方程、矩阵行列的关系： 零空间和列空间可能属于不同的实数空间：
- 零空间中的向量维数等于矩阵列数，或者说是未知数个数，或者说是列向量个数；
- 列空间中的向量维数等于矩阵行数，或者说是方程组个数，或者说是列向量分量数；
一个向量属于哪个维度的空间，与其分量数有关。如一个二维向量，分量数为2，应该属于 R 2 R^2 R2空间。列空间看行数，零空间看列数（零空间分量数等于系数组合的个数，也就是列数）。
下面举个例子熟悉一下： [ 1 2 3 4 5 6 7 8 3 3 6 4 ] [ x 1 x 2 x 3 x 4 ] = [ c 1 c 2 c 3 ] \begin{bmatrix} 1&2&3&4\\ 5&6&7&8\\ 3&3&6&4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} c_1\\c_2\\c_3 \end{bmatrix} 153263376484 x1x2x3x4 = c1c2c3 方程组个数是3，每个列向量分量数为3，矩阵行数也是3，因此 C ( A ) 向量 ∈ R 3 C(A)向量 \in R^3 C(A)向量∈R3；方程未知数个数为4，向量总个数为4，矩阵列数为4，因此 N ( A ) 向量 ∈ R 4 N(A) 向量\in R^4 N(A)向量∈R4。
一、行空间角度下的特解 1.1 两个未知数解集假设我们有这样一个方程组： { x + y = 0 2 x + 2 y = 0 \left\{ \begin{aligned} x+y=0 \\ 2x+2y=0 \\ \end{aligned} \right. {x+y=02x+2y=0 回忆之前学的方程组行图像的知识，对于一个一元二次方程，它们的解等于两条直线的交点。两条直线之间的关系在平面中可不止相交，还有平行，平行等于两个方程等效，有无数个解且这些解既在这个直线又在那个直线。
我们从矩阵角度来解这个方程： [ 1 1 2 2 ] → [ 1 1 0 0 ] \begin{bmatrix} 1&1\\2&2 \end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix} [1212]→[1010] 经过行变换后，可以发现一个全零行，这也就是说其中一个方程是重复、多余的，它的存在并不对最终结果造成影响。前面的讨论我们已经知道，这个解是一条直线，从向量角度上说，一个非零向量加上一个系数就可以表示任何在这个直线上的点。
[ 1 − 1 ] [ 2 − 2 ] [ 100 − 100 ] \begin{bmatrix} 1\\-1 \end{bmatrix}\quad\begin{bmatrix}2\\-2\end{bmatrix}\quad\begin{bmatrix}100\\-100\end{bmatrix} [1−1][2−2][100−100] 假设方程其中一个解为 s s s(Special)，那么所有解应该表示为： c [ 1 − 1 ] c ∈ R c\begin{bmatrix} 1\\-1 \end{bmatrix} \quad c\in R c[1−1]c∈R 特解不能取全零，虽然也是一个解，但是无法进行扩展，因为都是零向量，零向量显然不是所有的 N ( A ) N(A) N(A)。
3.2 三个未知数的解对于一个三元一次的方程，未知数个数等于3，从行角度看有多种可能：
- 所有方程均有效，解是整个 R 3 R^3 R3空间；
- 只有一个方程无效，解是一个平面；
- 有两个方程有效，解是一个直线；
- 三个方程都有效，解是一个点(零空间)；
对于第二种情况，我们需要找到两个不共线的向量并进行线性组合得到整个解平面；对于第三种，只需要找到一个向量既可以找到所有的解直线；最后则只有一个点。未知数个数等于系数矩阵的列数，等于零空间，从向量空间角度来说，这些解就像是 R 3 R^3 R3及子空间。
这里提供一种简单且有效的判断有效方程个数的方法，那就是将系数矩阵进行 R R E F RREF RREF变换，有多少非全零行就代表有多少个“有效方程”，知道有效方程就可以知道我们要找几个“特殊向量”和系数组合来构成解（子空间）。向量空间 R 3 R^3 R3是没有约束的，它充满了整个三维空间，一旦有一个方程约束，他将会被约束成子空间，看上去更加“小”。
那么这个特殊向量应该如何得到？这就要从列向量角度来理解，求这些特殊向量等于列向量的什么组合能让其得到一个结果向量，这个向量恰好是零向量。下面将从列向量角度找到这些特解，并用这些特解组成整个零空间。
二、消元法求取零空间求取零空间的关键在于求得其特解，特解的线性组合就可以涵盖所有零空间。特解个数等于零空间维度-有效方程组个数，这个有效方程组个数可以通过对矩阵的消元求得，更重要的是，消元之后列向量往往比较简洁，也方便我们观察（计算）出其特解。下面来看一个例子： A = [ 1 2 2 2 2 4 6 8 3 6 8 10 ] A=\begin{bmatrix}1&2&2&2\\2&4&6&8\\3&6&8&10\end{bmatrix} A= 1232462682810 尝试求出其零空间。方法就是对其进行消元，即使其主元为零也继续。 A = [ 1 2 2 2 2 4 6 8 3 6 8 10 ] → [ 1 2 2 2 0 0 2 4 0 0 2 4 ] → [ 1 2 2 2 0 0 2 4 0 0 0 0 ] = U A=\begin{bmatrix}1&2&2&2\\2&4&6&8\\3&6&8&10\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&2&2&2\\0&0&2&4\\0&0&2&4\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}\boxed{1}&2&2&2\\0&0&\boxed{2}&4\\0&0&0&0\end{bmatrix}=U A= 1232462682810 → 100200222244 → 100200220240 =U 上述的 U U U称为 A A A的阶梯形式（Echelon Form）。阶梯形式的主元个数我们称为 A A A的秩（rank of A），主元所在列 [ 1 0 0 ] , [ 2 2 0 ] \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix},\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 0\end{bmatrix} 100 , 220 称为主元列（pivot columns），其余的 [ 2 0 0 ] , [ 2 4 0 ] \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix},\begin{bmatrix} 2 \\ 4\\ 0\end{bmatrix} 200 , 240 则称为自由列（free columns）。仔细观察，可以发现自由列是可以由主元列的线性表示，自由列的每一个系数其实就是在告诉我们应该如何组合。自由列 [ 2 0 0 ] = 2 [ 1 0 0 ] \begin{bmatrix}2\\0\\0\end{bmatrix}=2\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix} 200 =2 100 ；自由列 [ 2 4 0 ] = − 2 [ 1 0 0 ] + 2 [ 2 2 0 ] \begin{bmatrix}2\\4\\0\end{bmatrix}=-2\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}2\\2\\0\end{bmatrix} 240 =−2 100 +2 220
这个秩，表示的就是有效方程个数，决定了零空间是子空间的哪个级别，是零向量，还是直线，还是平面，等等。每一次使一个自由变量对应的系数为1，其他自由变量为零，求得主元列系数，记为一个特解，直到全部特解求取完毕。
自由的意思是可以随意给对应的系数取值（ x 2 , x 4 x_2,x_4 x2,x4），然后求解主元对应系数（ x 1 , x 3 x_1,x_3 x1,x3）。
行阶梯形式对应的数学方程为： { x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 = 0 2 x 3 + 4 x 4 = 0 (1) \begin{cases} x_1+2x_2+&2x_3+&2x_4&=0\\ &2x_3+&4x_4&=0 \end{cases}\tag{1} {x1+2x2+2x3+2x3+2x44x4=0=0(1)
针对于上述方程其中一个解为： x = [ − 2 1 0 0 ] 或 [ 2 0 − 2 1 ] x=\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\end{bmatrix}或\begin{bmatrix}2\\0\\-2\\1\end{bmatrix} x= −2100 或 20−21 上述的解称为特解。上述特解是通过交替给自由变量赋值1的方法（你也可用其他方法）。所有的解都可以由上述的交替赋值所线性表示，则所有的解为（通解）[1]： x = c 1 [ − 2 1 0 0 ] + c 2 [ 2 0 − 2 1 ] c 1 , c 2 ∈ R (2) x=c_1\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix}2\\0\\-2\\1\end{bmatrix}\quad c_1,c_2\in R \tag{2} x=c1 −2100 +c2 20−21 c1,c2∈R(2)
这个通解列向量可以看成是一个单位矩阵和另一个矩阵的堆叠而成。
重要：矩阵的秩等于主元个数，记为 r r r 。对于一个 m × n m \times n m×n的矩阵，如果主元个数为 r r r，换句话说矩阵的秩为 r r r，主元列向量为 r r r，自由列向量为 n − r n-r n−r，未知数个数等于矩阵的列数，即 n n n.
从列图像看，列向量由于少了一个约束方程，也就是秩小于方程数（行数）稍微作一下图就可以知道这个列向量并不能不能到达其分量数的 R 3 R^3 R3空间，只是其子空间。
三、化简的行阶梯形式行最简阶梯形式（Reduced row echelon Form），记为
R
R
R。如果我们继续对上述的
U
U
U继续化简，通过向上消元使主元之外都是0。对于上述例子：
U
=
[
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
]
→
[
1
2
0
−
2
0
0
2
4
0
0
0
0
]
→
[
1
2
0
−
2
0
0
1
2
0
0
0
0
]
=
R
U=\begin{bmatrix}\boxed{1}&2&2&2\\0&0&\boxed{2}&4\\0&0&0&0\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}\boxed{1}&2&0&-2\\0&0&\boxed{2}&4\\0&0&0&0\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}\boxed{1}&2&0&-2\\0&0&\boxed{1}&2\\0&0&0&0\end{bmatrix}=R
U=
100200220240
→
100200020−240
→
100200010−220
=R Tips：在Matlab中可以使用rref(A)快速得到
R
R
R矩阵。
仔细观察上述最简阶梯矩阵，它的主列向量前 r r r个组成了一个单位向量 I ( I d e n t i t y ) I(Identity) I(Identity)，自由列向量前 r r r个组成了一个向量记为 F ( F r e e ) F(Free ) F(Free).
I = [ 1 0 0 1 ] F = [ 2 − 2 0 2 ] I=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\quad F=\begin{bmatrix}2&-2\\0&2\end{bmatrix} I=[1001]F=[20−22] 对比（2）后发现，堆叠而成的矩阵恰好是 I I I和 − F -F −F，这是巧合吗？不是的。
前面一节定义了零空间是使得矩阵列向量零向量的系数组合，记 A A A的零空间矩阵为 N N N，那么有： A X = R X = [ I F 0 0 ] X = R N = 0 AX=RX=\begin{bmatrix}I&F\\0&0\end{bmatrix}X=RN=0 AX=RX=[I0F0]X=RN=0 得： N = X = [ − F I ] N=X=\begin{bmatrix}-F \\I\end{bmatrix} N=X=[−FI]
按照一样的方法，试试矩阵 A = [ 1 2 3 2 4 6 2 6 8 2 8 10 ] A=\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&6\\2&6&8\\2&8&10 \end{bmatrix} A= 1222246836810
A = [ 1 2 3 2 4 6 2 6 8 2 8 10 ] → [ 1 2 3 0 0 0 2 6 8 2 8 10 ] → [ 1 2 3 0 2 2 0 4 4 0 0 0 ] → [ 1 2 3 0 1 1 0 0 0 0 0 0 ] → [ 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 ] A=\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&6\\2&6&8\\2&8&10 \end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&2&3\\0&0&0\\2&6&8\\2&8&10 \end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&2&3\\0&2&2\\0&4&4\\0&0&0\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&2&3\\0&1&1\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix} A= 1222246836810 → 1022206830810 → 100022403240 → 100021003100 → 100001001100
那么其解为： X = c 1 [ − F I ] = c 1 [ − 1 − 1 1 ] c 2 ∈ R X=c_1\begin{bmatrix}-F\\I\end{bmatrix}=c_1\begin{bmatrix}-1\\-1\\1\end{bmatrix} \quad \quad c_2\in R X=c1[−FI]=c1 −1−11 c2∈R
[1] 零空间的线性组合仍然是子空间这是之前证明过的 [2] 注意，零空间维度不等于向量的维数。空间维数是基所含向量个数决定的，含多少个向量，维数就是多少。 【20220722】删除了关联性不强的内容 【20220921】修改了部分错误 【20230309】RREF（Reduced Row-Echelon Form）行最简形式。如果一个矩阵满足以下所有条件，那么其就是一个行最简形式。
- 全零行在矩阵的底部
- 每一行最左边的元素等于一
- 每一个最左边的元素行方向都是零
- 最左边的1，应该符合行下标越大，列下标也越大
还有一个，这个非零元素1叫做主元，对应的行叫做列主元。
