08AX=b可解性及解的结构

前面讨论了 A x = 0 Ax=0 Ax=0的解的情况：

• 至少有一个零解
• 最大的子空间就是列数维度的空间
• 接着就是一直“坍塌”成零空间

一、 A x = b Ax=b Ax=b进行RREF

上一节课，我们解决了 A x = 0 Ax=0 Ax=0解的问题，这个问题被由最后的 R x = 0 Rx=0 Rx=0解决，这一节我们讨论更加一般的情况 A x = b Ax=b Ax=b。

[ 1 3 0 2 0 0 1 4 1 3 1 6 ] [ x 1 x 2 x 3 x 4 ] = [ 1 6 7 ] \begin{bmatrix} 1 &3&0&2\\ 0&0&1&4\\ 1&3&1&6 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1\\6\\7 \end{bmatrix} ⎣⎡​101​303​011​246​⎦⎤​⎣⎢⎢⎡​x1​x2​x3​x4​​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎡​167​⎦⎤​ 四个未知数，三个方程。写成增广矩阵形式： [ 1 3 0 2 1 0 0 1 4 6 1 3 1 6 7 ] \begin{bmatrix} 1 &3&0&2&1\\ 0&0&1&4&6\\ 1&3&1&6&7 \end{bmatrix} ⎣⎡​101​303​011​246​167​⎦⎤​ 化简成RREF形式： [ 1 3 0 2 1 0 0 1 4 6 0 0 0 0 0 ] = [ R d ] \begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 4 & 6\\ 0 & 0& 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} R&d \end{bmatrix} ⎣⎡​100​300​010​240​160​⎦⎤​=[R​d​] 最后一行 R R R是全零行，对应的同行的 d d d也为0。继续考虑一般情况： [ 1 3 0 2 b 1 0 0 1 4 b 2 1 3 1 6 b 3 ] = [ 1 3 0 2 b 1 0 0 1 4 b 2 0 0 0 0 b 3 − b 2 − b 1 ] \begin{bmatrix} 1 &3&0&2&b_1\\ 0&0&1&4&b_2\\ 1&3&1&6&b_3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 &3&0&2&b_1\\ 0&0&1&4&b_2\\ 0&0&0&0&b_3-b_2-b_1 \end{bmatrix} ⎣⎡​101​303​011​246​b1​b2​b3​​⎦⎤​=⎣⎡​100​300​010​240​b1​b2​b3​−b2​−b1​​⎦⎤​ 行向量组合如果是零向量，那么对应的结果向量也必须有相同的变换。 b 3 − b 2 − b 1 = 0 b_3-b_2-b_1=0 b3​−b2​−b1​=0时，最后一个等式才成立；从列空间来看，所有向量都无法对 b b b的最后一行造成任何影响，所以它必须是0。

二、一个特解

还是以上一段提到的矩阵为例： [ 1 3 0 2 1 0 0 1 4 6 0 0 0 0 0 ] \begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 4 & 6\\ 0 & 0& 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} ⎣⎡​100​300​010​240​160​⎦⎤​ 在确保最后一个方程成立后，方程必然有解，因为单位向量能够组成除了零行的任何向量。自由向量依然可以随意选取，最简单的不就是全零，因此我们得到唯一的特解： x p = [ 1 0 6 0 ] x_p=\begin{bmatrix}1\\0\\6\\0\end{bmatrix} xp​=⎣⎢⎢⎡​1060​⎦⎥⎥⎤​，从这个意义上看，特解像是不考虑自由列的，完全由主列决定的唯一解。

主元列是唯一有效输入至结果变量的，其比例是稳定的，再叠加上零空间的解（不会使得已经输出的结果改变）。于是最终方程的解为： x = x p + x n = [ 1 0 6 0 ] + x 2 [ − 3 1 0 0 ] + x 4 [ − 2 0 − 4 1 ] x=x_p+x_n=\begin{bmatrix}1\\0\\6\\0\end{bmatrix}+x_2\begin{bmatrix}-3\\1\\0\\0\end{bmatrix}+x_4\begin{bmatrix}-2\\0\\-4\\1\end{bmatrix} x=xp​+xn​=⎣⎢⎢⎡​1060​⎦⎥⎥⎤​+x2​⎣⎢⎢⎡​−3100​⎦⎥⎥⎤​+x4​⎣⎢⎢⎡​−20−41​⎦⎥⎥⎤​

个人觉得可以这么理解，一个三维空间，主列向量其实就类似于基底，因为所有其他自由向量都可以由他们表示，其他都是基底的线性组合。从图像的角度来看，在四维空间中，他表示一个过 x p x_p xp​的三维空间。

系数矩阵 A A A的行数是 m m m，列数是 n n n，对应的秩为 r r r，在线性代数中行秩等于列秩等于矩阵的秩。

如果矩阵 A A A是列满秩的，那么其零空间为全零向量，全部列向量都为主元列，没有自由向量。

如果矩阵 A A A是行满秩的，那么其列空间为 R m R^m Rm，他始终有解。

三、矩阵秩与解的关系

对于一个秩为 r r r的 m × n m\times n m×n系数矩阵A：（ r < m r