CG cosh, exp, sinh, smoothstep, tanh, perlin_easeCurve1/2 曲线

xxxh 中的h==>hyperbolic：双曲线的意思

cosh

// see: https://developer.download.nvidia.cn/cg/cosh.html
float cosh(float x)
{
  return 0.5 * (exp(x)+exp(-x));
}

0.5 ∗ ( e x p ( x ) + e x p ( − x ) ) 0.5 * (exp(x)+exp(-x)) 0.5∗(exp(x)+exp(−x))

为何叫双曲线

因为exp(x)就是一个曲线，而cosh中有exp(x)与exp(-x)，所以就是两个（双）曲线咯

exp(x)曲线

e x p ( x ) exp(x) exp(x)

exp(-x) 曲线

e x p ( − x ) exp(-x) exp(−x)

exp(x)+exp(-x) 两曲线叠加

e x p ( x ) + e x p ( − x ) exp(x)+exp(-x) exp(x)+exp(−x)

调整x=0时，y=0

e x p ( x ) + e x p ( − x ) − 2 exp(x)+exp(-x)-2 exp(x)+exp(−x)−2

调整x=-2 or 2时，y=1

( e x p ( x ) + e x p ( − x ) − 2 ) ∗ ( 1 / e x p ( x ) + e x p ( − x ) − 2 ) (exp(x)+exp(-x)-2)*(1/exp(x)+exp(-x)-2) (exp(x)+exp(−x)−2)∗(1/exp(x)+exp(−x)−2) ==> ∵ c u r v = ( e x p ( x ) + e x p ( − x ) − 2 ) \because curv=(exp(x)+exp(-x)-2) ∵curv=(exp(x)+exp(−x)−2) ∵ i n v C u r v = 1 / c u r v \because invCurv=1/curv ∵invCurv=1/curv ∴ 1 = c u r v ∗ i n v C u r v \therefore 1=curv*invCurv ∴1=curv∗invCurv

exp(-x*x)

2022/07/14 再补充一条曲线 因为在制作 SSS 时，看到别人的代码中有一曲线

half3 Transmittance(half transmittanceMask, half3 sssColor, half3 lightDir, half3 normal, half3 viewDir)
{
	half3 lll = normalize(lightDir + normal * 0.1f);
	half VdotL = saturate(dot(viewDir, -lll));
	half thickness = 1.0f - (VdotL * transmittanceMask);
	
	//return exp((thickness) * half3( -8, -40, -64 ) ); // ref
	return exp(-(thickness * thickness)) * sssColor * (1.0 - thickness);
}

其中留意：exp(-(thickness * thickness))

单独查看：exp(-x*x

sinh

float sinh(float x)
{
  return 0.5 * (exp(x)-exp(-x));
}

smoothstep

smoothstep(min,max,x)

它的公式如下： s m o o t h s t e p ( x ) = − 2 ⋅ ( x − m i n m a x − m i n ) 3 + 3 ⋅ ( x − m i n m a x − m i n ) 2 smoothstep(x)=-2 \cdot (\frac{x-min}{max-min})^3+3 \cdot (\frac{x-min}{max-min})^2 smoothstep(x)=−2⋅(max−minx−min​)3+3⋅(max−minx−min​)2

代码是在公式的基础上优化了写法的，可读性会差非常的多！

float smoothstep(float a, float b, float x)
{
    float t = saturate((x - a)/(b - a));
    return t*t*(3.0 - (2.0*t));
}

tanh

float tanh(float x)
{
  float exp2x = exp(2*x);
  return (exp2x - 1) / (exp2x + 1);
}

tanh 的头部过渡速度比较快，中，尾部比较缓慢 一般比较多的动画也会用到类似的曲线

perlin noise ease curve 1

3 ( t 2 ) − 2 ( t 3 ) 3(t^2)−2(t^3) 3(t2)−2(t3)可见perlin noise中初版的平滑插值，与smoothstep非常相似

3(t^2)−2(t^3)

perlin noise ease curve 2

6 ( t 5 ) − 15 ( t 4 ) + 10 ( t 3 ) 6(t^5)−15(t^4)+10(t^3) 6(t5)−15(t4)+10(t3)

6(t^5)−15(t^4)+10(t^3)

curve 2比curve 1的头尾过渡比较缓慢，也就是说作数值过渡会比较饱满的头尾，中部过渡比较快一些

Summary

其实我们在很多平台的动画库（tween）都会有类似的插值过渡算法

excel 文件

cosh_sinh_smoothstep_tanh_perlinEaseCurve1&2.xlsx 提取码: dxnr

References

• Cg / Standard Library / cosh
• Cg / Standard Library / sinh
• Cg / Standard Library / smoothstep
• Cg / Standard Library / tanh
• cg中的关键字、语义词、函数库