Matrix Inverse -- 逆矩阵

求逆矩阵 方程求解法

如上图所示 [ 1 3 2 7 ] \begin{bmatrix}1 & 3 \\2 & 7\end{bmatrix} [12​37​]是可逆的，只要 [ x 1 x 2 y 1 y 2 ] \begin{bmatrix}x_1 & x_2 \\y_1 & y_2\end{bmatrix} [x1​y1​​x2​y2​​]可求出唯一解即可

图中的 [ 1 3 2 7 ] [ x 1 x 2 y 1 y 2 ] = [ 1 0 0 1 ] \begin{bmatrix}1 & 3 \\2 & 7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 & x_2 \\y_1 & y_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1\end{bmatrix} [12​37​][x1​y1​​x2​y2​​]=[10​01​]可以写成下面形式：

[ 1 3 2 7 ] [ x 1 y 1 ] = [ 1 0 ] \begin{bmatrix}1 & 3 \\2 & 7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\y_1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 \\0 \end{bmatrix} [12​37​][x1​y1​​]=[10​]

[ 1 3 2 7 ] [ x 2 y 2 ] = [ 0 1 ] \begin{bmatrix}1 & 3 \\2 & 7\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_2 \\y_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1\end{bmatrix} [12​37​][x2​y2​​]=[01​]

然后用方程形式求出： x 1 , y 1 , x 2 , y 2 x_1,y_1,x_2,y_2 x1​,y1​,x2​,y2​ x 1 + 3 y 1 = 1 2 x 1 + 7 y 1 = 0 x 2 + 3 y 2 = 0 2 x 2 + 7 y 2 = 1 x_1+3y_1=1\\2x_1+7y_1=0\\x_2+3y_2=0\\2x_2+7y_2=1 x1​+3y1​=12x1​+7y1​=0x2​+3y2​=02x2​+7y2​=1

得： x 1 = 7 , y 1 = 2 , x 2 = − 3 , y 2 = 1 x_1=7,y_1=2,x_2=-3,y_2=1 x1​=7,y1​=2,x2​=−3,y2​=1

即： [ x 1 x 2 y 1 y 2 ] = [ 7 − 3 − 2 1 ] \begin{bmatrix}x_1 & x_2\\y_1 & y_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 7 & -3\\ -2 & 1\end{bmatrix} [x1​y1​​x2​y2​​]=[7−2​−31​]

增广矩阵消元法

还可以使用增广矩阵方式，将系数矩阵与目标变化矩阵（目标为：单位矩阵）放到一块，再一同处理消元法，将系数变化为目标，最终增广矩阵添加的目标矩阵就变为逆矩阵了：

系数矩阵： [ 1 3 2 7 ] \begin{bmatrix}1 & 3 \\2 & 7\end{bmatrix} [12​37​]

目标矩阵： [ 1 0 0 1 ] \begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1\end{bmatrix} [10​01​]

增广矩阵： [ 1 3 ∣ 1 0 2 7 ∣ 0 1 ] \begin{bmatrix}1 & 3 & | & 1 & 0\\2 & 7 & | & 0 & 1\end{bmatrix} [12​37​∣∣​10​01​]

然后处理消元：

• [ 1 3 ∣ 1 0 2 7 ∣ 0 1 ] \begin{bmatrix}1 & 3 & | & 1 & 0\\2 & 7 & | & 0 & 1\end{bmatrix} [12​37​∣∣​10​01​] – 原始第一步
• [ 1 3 ∣ 1 0 0 1 ∣ − 2 1 ] \begin{bmatrix}1 & 3 & | & 1 & 0\\0 & 1 & | & -2 & 1\end{bmatrix} [10​31​∣∣​1−2​01​] – 先消元为上三角：将第二行减去第一行的2倍
• [ 1 0 ∣ 7 − 3 0 1 ∣ − 2 1 ] \begin{bmatrix}1 & 0 & | & 7 & -3\\0 & 1 & | & -2 & 1\end{bmatrix} [10​01​∣∣​7−2​−31​] – 再将上三角，出对角线的都消为0：将第一行减去第二行的3倍

这是可以看到增广矩阵增加的部分 [ 7 − 3 − 2 1 ] \begin{bmatrix} 7 & -3\\ -2 & 1\end{bmatrix} [7−2​−31​]就是我们上面分开来的方程求出来的解。

具象化系数

[ 1 3 ] \begin{bmatrix}1 & 3 \end{bmatrix} [1​3​]大概是这样

[ 1 3 2 7 ] \begin{bmatrix}1 & 3 \\2 & 7\end{bmatrix} [12​37​]大概是这样

可逆总结

• 不共线（不能无数个解）
• 不平行（不能一个解都没）

注意上面是用二维来讲解会比较清楚，推广到N维，也是一样的。

参考

• 网易公开课，Gilbert Strang教授讲的线性代数：乘法和逆矩阵，该课视频中的31:00~34:00之间有说明。