如何记忆快速幂函数模板

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1. 作用

快速幂函数是处理像 a^b%c 这类式子，当a^b特别大的时候，计算它的值就非常浪费时间和空间。

2. 如何记忆 2.1 首先知道如何计算 a^b

举个例子：计算3^10

3^10 = 9^5

9^5 = 9*81^2

81^2 = 6561^1

所以 3^10 可以拆分成 9*6561^1

通过上面的拆分计算，可以减少循环的次数，降低时间复杂度（暴力计算 3^10 需要循环10次）

代码实现：

typedef long long ll;
// a=3,b=10,先忽略c
ll fast_power(ll a,ll b,ll c)
{
//	定义ans记录结果 
	ll ans=1;
//	指数为0时停止循环（指数为1时（ans=9,a=6561），会进入if语句中,ans=9*6561计算出来就是想要的结果了，所以说不能把循环条件改为（b!=1或b>=1），那样就得不到想要的结果了）
	while(b)
	{
//		指数为奇数需要提出一个底数，让指数变成偶数 ，例：（9^5 => 9*9^4） 
		if(b%2==1)
		{
			ans=ans*a;
		}
//		之后进行 底^2，指数/2，例：（8^4 => 81^2） 
//		底数平方 
		a=a*a;
//		指数整除2 
		b=b/2;
	}
	return ans;
}

2.2 对 a^b 代码稍加修改

幂模运算原理：(a * b) % c = [(a % c) * (b % c)] % c

记住下面这句话即可：

每个乘法运算再加上一个模运算（%c）：这样就避免了计算9*6561这种比较大的数

typedef long long ll;
ll fast_power(ll a,ll b,ll c)
{
	ll ans=1;
//	防止a比c大，降低运算难度 
	a%=c;
	while(b)
	{
		if(b%2==1)
		{
//			乘法运算加上模运算 
			ans=(ans*a)%c;
		}
//		乘法运算加上模运算 
		a=(a*a)%c;
		b/=2;
	}
	return ans;
}

2.3 优化代码（最终的代码）

代码中的 if(b%2==1) 和 b/=2 还可以用位运算来优化

位运算详解参考：https://blog.csdn.net/MCotoneaster/article/details/120389035

typedef long long ll;
ll fast_power(ll a,ll b,ll c)
{
	ll ans=1;
	a%=c;
	while(b)
	{
//		b的二进制最后一位是1则是奇数 
		if(b&1)
		{
			ans=(ans*a)%c;
		}
		a=(a*a)%c;
//		b二进制数右移1位（右移1位相当于除以2） 
		b=b>>1;
	}
	return ans;
}