《动手学机器人学》7.3.1齐次坐标变换&&齐次变换矩阵

本系列教程作者：小鱼 公众号：鱼香ROS QQ交流群：139707339 教学视频地址：小鱼的B站 完整文档地址：鱼香ROS官网 版权声明：如非允许禁止转载与商业用途。

7.3.1 齐次坐标变换

前面几节中，小鱼带你一起学习了使用TF进行坐标的变换，也带你通过旋转和平移求解了下坐标的变换关系，但计算的过程中旋转和平移是分开计算的，那有没有一种方法，可以让旋转矩阵和平移向量合并到同一个矩阵里呢？

答案是有的，我们可以将 3 ∗ 3 3*3 3∗3的旋转矩阵和 3 ∗ 1 3*1 3∗1的平移矩阵进行组合，并添加一行(0,0,0,1)使其变成一个 4 ∗ 4 4*4 4∗4的方阵，其组合方式如下：

有旋转矩阵 R = [ r 11 r 12 r 13 r 21 r 22 r 23 r 31 r 32 r 33 ] (旋转矩阵) R = \begin{bmatrix}{r_{11}}&{r_{12}}&{r_{13}}\\{r_{21}}&{r_{22}}&{r_{23}}\\{r_{31}}&{r_{32}}&{r_{33}}\\\end{bmatrix} \tag{旋转矩阵} R=⎣⎡​r11​r21​r31​​r12​r22​r32​​r13​r23​r33​​⎦⎤​(旋转矩阵) 平移矩阵 P = [ x y z ] (平移矩阵) P= \begin{bmatrix}{x}\\{y}\\{z}\\\end{bmatrix} \tag{平移矩阵} P=⎣⎡​xyz​⎦⎤​(平移矩阵)

合并成齐次变换矩阵 T = [ r 11 r 12 r 13 x r 21 r 22 r 23 y r 31 r 32 r 33 z 0 0 0 1 ] (齐次矩阵) T = \begin{bmatrix}{r_{11}}&{r_{12}}&{r_{13}}&{x} \\{r_{21}}&{r_{22}}&{r_{23}}&{y} \\{r_{31}}&{r_{32}}&{r_{33}}&{z} \\0&0&0&1 \\\end{bmatrix} \tag{齐次矩阵} T=⎣⎢⎢⎡​r11​r21​r31​0​r12​r22​r32​0​r13​r23​r33​0​xyz1​⎦⎥⎥⎤​(齐次矩阵)

为什么要这样写，我们可以简单的推导一下，矩阵是支持分块运算的，我们将上面的矩阵进行分块 T = [ R P 0 1 ] (齐次矩阵) T = \begin{bmatrix}{R}&{P} \\0&1\\\end{bmatrix} \tag{齐次矩阵} T=[R0​P1​](齐次矩阵) 假设 B A T ^A_BT BA​T表示A坐标系到B坐标的齐次变换，B坐标系下的点C坐标为 C B P ^B_CP CB​P,求C在A坐标系下的坐标 C A P ^A_CP CA​P

我们将 B A T ^A_BT BA​T乘 C B P ^B_CP CB​P上，可得 C A P = [ B A R B A P 0 1 ] [ C B P 1 ] = B A R C B P + B A P ^A_CP= \begin{bmatrix}{^A_BR}&{^A_BP}\\0&1\\\end{bmatrix} \begin{bmatrix}{^B_CP}\\1\\\end{bmatrix} = {^A_BR}{^B_CP}+^A_BP CA​P=[BA​R0​BA​P1​][CB​P1​]=BA​RCB​P+BA​P 根据前面学习的平移+旋转复合坐标变换公式,正确的结果如下 C A P = B A R C B P + B A P ^A_CP = {^A_BR}{^B_CP}+^A_BP CA​P=BA​RCB​P+BA​P 你会发现，两者最终结果完全相同，也就是说，我们的平移加旋转复合变换，可以直接用齐次变换矩阵代替。

1.齐次变换矩阵特性

接着我们来探索一下齐次变换矩阵的一些特性

2.1.齐次变换矩阵的符号表示

一般使用H或者T来表示齐次变换矩阵，矩阵的左上角标明参考坐标系，矩阵左下角标定目标坐标系，比如 B A T ^A_BT BA​T表示A坐标系到B坐标系的变换关系(平移+旋转)

2.2.齐次变换矩阵的逆的几何含义

就像矩阵的逆一样，齐次变换矩阵也有逆，其的逆也有对应的几何含义，比如

比如 B A T ^A_BT BA​T表示A坐标系到B坐标系的变换关系

那么

B A T ^A_BT BA​T的逆 B A T − 1 = A B T ^A_BT^{-1}=^B_AT BA​T−1=AB​T表示B坐标系到A坐标系的变换关系

2.3.齐次变换矩阵的乘法的几何含义 3.3.1齐次矩阵与平移向量相乘

齐次矩阵与平移向量相乘，即可求出某个向量在另一坐标系下的表示，上面例子中即是如此。

3.3.2齐次矩阵与齐次矩阵相乘

齐次矩阵与齐次矩阵相乘，可以转换不同坐标系之间的关系，比如： B A T C B T = C A T ^A_BT^B_CT=^A_CT BA​TCB​T=CA​T 比如当我们有一个六自由度的机械臂，知道每两个相邻关节之间的关系，那么就可以通过其次矩阵相乘的方法求出，关节6在关节0下的位置和姿态： 1 0 T 2 1 T 3 2 T 4 3 T 5 4 T 6 5 T = 6 0 T ^0_1T^1_2T^2_3T^3_4T^4_5T^5_6T=^0_6T 10​T21​T32​T43​T54​T65​T=60​T

3.练习

练习小鱼放到了下一节了，毕竟不希望大家用手来算~

技术交流&&问题求助：

• 微信公众号及交流群：鱼香ROS

• 小鱼微信：AiIotRobot

• QQ交流群：139707339

• 版权保护：已加入“维权骑士”（rightknights.com）的版权保护计划

作者介绍：

我是小鱼，机器人领域资深玩家，现深圳某独脚兽机器人算法工程师一枚 初中学习编程，高中开始接触机器人，大学期间打机器人相关比赛实现月入2W+（比赛奖金） 目前在输出机器人学习指南、论文注解、工作经验，欢迎大家关注小鱼，一起交流技术，学习机器人