数值计算 --- B样条函数（B-spline）

松下J27 发布时间：2021-09-27 19:38:35 ，浏览量：0

B样条函数（B-spline）

B-spline就是Basis Spline的简称：

术语B-spline一词，是由罗马尼亚裔美国数学家Isaac Jacob Schoenberg创造的（就是下图的这个老爷爷，我在wiki百科上找到了他的照片）。一个n阶的B-spline函数，是一个变量为x的n-1次分段多项式函数f(x)。分段函数之间，段与段之间的断点被称为knots。

B-spline的定义：（虽然我也很不想一上来就给个定义）

B-spline函数(上图中的f(t))，可以看成是一系列控制点 $P_{i}$ (Control points)和权重函数 $N_{i,D}$ (Weight function)的线性组合。简而言之，B-spline曲线就是每个控制点乘以与之对应的权重函数的加权和。控制点是我们后期指定的，而权重函数是我们预先定义好的，只跟阶数D有关，不会因为控制点的变化而改变。

权重函数 $\large N_{i,D}(t)$

（注意：以下只讨论权重函数N(t)，暂时还不涉及控制点P）

权重函数 $N_{i,D}(t)$ 的定义：

当阶数D=1时：

函数 $N_{i,D}(t)$ 的定义，可以参考Cox–de Boor的递归公式。对于给定的knots，当D=1时，一阶权重函数 $N_{i,1}(t)$ 可以定义为：

（公式1）

当阶数D>1时：

有了一阶权重函数 $N_{i,1}(t)$ 以后，其他所有阶数(D)大于1的高阶权重函数都可以按照如下递归表达式来定义的：

（公式2）

公式1和公式2合称为Cox-de Boor recursion formula。

且有如下性质：

1，阶数为D的权重函数 $N_{i,D}(t)$ 的，是关于t的D-1次多项式。

2，Positivity: 当t在此区间 $t_{i} t t_{i+D}$ 内时，函数值一定不为0，即 $N_{i,D}(t)0$ 。

3，Local support: 前面的Positivity定义了高阶权重函数在哪里有值，而这里的local support则是定义了高阶权重函数在哪里没有值。和一阶权重函数一样，对于区间[ $t_{i}$ ~ $t_{i+D}$ ]之外的t， $N_{i,D}(t)=0$ 。 4，Partition of Unity: 在区间[ $t_{i}$ ~ $t_{i+1}$ ]内，所有非0阶权重函数的和为1。(这个性质我自己也没看懂)

5，Recursion: 递归性，这一性质由公式2决定。

例如，当D=2时：

$\LARGE \mathbf N_{i,2}(t)=\frac{(t-t_{i})N_{i,1}(t)}{t_{i+1}-t_{i}}+\frac{(t_{i+2}-t)N_{i+1,1}(t)}{t_{i+2}-t_{i+1}},t_{i}\leqslant t t_{i+2}$

其中 $\LARGE N_{i,1}(t)$ 和 $\LARGE N_{i+1,1}(t)$ 都是已知的一阶权重函数。

6，一个D阶B-spline函数是由一些D-1阶多项式曲线连起来的(参考性质1)。每段函数之间的断点/连接点(breakpoints)，被称为knot，用非递减序列 $t_{0}\leqslant t_{1}\leqslant t_{2}...\leqslant t_{m}$ 表示，这些knot的合集被称为knot vector list，共m+1个knot。

$T=(t_{0},t_{1},...,t_{m})$

knot与knot之间的半开半闭区间[ $t_{i}$ , $t_{i+1}$ )被称为knot span或i-th knot span，意思就是两个knot之间的跨度。如果knot vector list中，所有的knot都是等间隔的，即 $t_{1}-t_{0}=t_{2}-t_{1}=t_{3}-t_{2}=....=t_{m}-t_{m-1}$ ，则我们说T是uniform的，否则，称之为non-uniform。(本文中讨论的都是uniform B-spline)

7，一但knot vector list确定了以后，对于阶数为D的B-spline函数，每段函数与函数之间在断点knot处保证 $C^{D-2}$ 阶连续。（注：函数的连续性和knot的选择方式有关）

举个例子，简要的说明一下上述性质。对于一阶权重函数 $N_{i,1}(t)$ 而言，阶数D=1，每段函数都是一个D-1=0阶多项式。当i=0时，有一阶权重函数 $N_{0,1}(t)$ ，对应knot span[0，1)。在[0，1)之间的函数值不为0，在这之外函数值都等于0。

权重函数 $N_{i,D}(t)$ 定义的简化：

为了方便计算，上面定义的权重函数可以做进一步的简化。一般情况下，会把knot vector list也就是函数之间的断点 $t_{0},t_{1},t_{2},...,t_{m}$ ，简化成一组非递减的正整数。简而言之，就是把原来的 $t_{0},t_{1},t_{2},...,t_{m}$ 变成非递减的正整数0,1,2,...m。

（简化后的公式1）

（简化后的公式2）

为了更好的说明当D>1时的Cox–de Boor递归公式，我这里借鉴了一张别人网站里的插图，为了后续描述方便，我这里暂且称它为Cox–de Boor递归流程图（见参考文献1）。

首先，让我们把目光放在图中三角形的最左上角的一个小三角形 $N_{0,1}$ , $N_{1,1}$ 和 $N_{0,2}$ ，他所要表达的是，要想求出二阶函数 $N_{0,2}$ ，我们需要先知道一阶函数 $N_{0,1}$ 和 $N_{1,1}$ 。这就是说，要想知道上图中左起第二列的所有二阶函数 $N_{0,2}$ ， $N_{1,2}$ ，。。。 $N_{4,2}$ ，必须先知道他们所对应的左起第一列的一阶函数 $N_{0,1}$ ， $N_{1,1}$ 。。。 $N_{5,1}$ 。依此类推，当我们要计算六阶函数 $N_{0,6}$ 时，首先需要先知道五阶函数 $N_{0,5}$ 和 $N_{1,5}$ ，其次我们需要相应的所有四阶函数，三阶函数。。。直到一阶函数。

从公式的角度看也一样，根据简化后的公式，我们发现要想得到阶数为D的第i段函数 $N_{i,D}(t)$ ，需要先知道阶数为D-1的第i段函数 $N_{i,D-1}(t)$ 和阶数为D-1的第i+1段函数 $N_{i+1,D-1}(t)$ 。以此类推，要想知道D-1阶的第i段函数 $N_{i,D-1}(t)$ 和第i+1段函数 $N_{i+1,D-1}(t)$ ，我们又分别需要 $N_{i,D-2}(t),N_{i+1,D-2}(t)$ 和 $N_{i+1,D-2}(t),N_{i+2,D-2}(t)$ ，以此类推直到对应的一阶权重函数。

下面我们由低到高，详细探讨一下几个不同阶数的权重函数 $N_{i,D}(t)$ 。我这里再次强调，到目前为止都没有讨论过控制点 $P_{i}$ ，而只讨论权重函数，目的是为了避免混淆对权重函数 $N_{i,D}(t)$ 和控制点 $P_{i}$ ，这两个B-spline中最重要的概念的理解。因为，所谓的B-spline就是这两个概念的线性组合，只有分别理解他们的各自的作用，才能更好的理解B-spline。

一阶权重函数 $N_{i,1}(t)$ :

一阶权重函数，D=1，t=[i,i+1)，有效区间为i+1。

首先，我们知道权重函数都有一个有效区间，这里我暂且把他称之为t的定义域，毕竟函数在定义域之外是有值的，且值为0。

这里我们统一以7个knots为例，knot vector list T={0,1,2,3,4,5,6}，每段函数的knot span为1。对于第0段函数，也就是当i=0时，t的定义域为[0,1)，函数 $N_{0,1}(u)$ 的断点knot为0，1。对于最后一段函数，也就是第5段函数，此时，i=5，u=[5,6)，函数两端的端点knot为5，6。(注意，此时还没有用到递归函数。)

一阶权重函数 $N_{i,1}(t)$ 的图像:

注意：相对于第i段权重函数的图像而言，第i+1段权重函数只不过是对第i段函数向右移动一位后的结果，以此类推。

Matlab code:

%% B-spline demo for CSDN
% Created: early fall, 2022. (2022/09/02)
% Author: Z.Zhu, J27
% Copy Rights Reserved.

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Data=[6,6,6,6,1,1];
%% 一阶B-spline中的权重函数Ni,1(u),ti为正整数的定义域
%n=6, i=0~6,共7个点, each knot span=order=1,总共可以生成7-1=6段曲线。
%N0,1(u),u=[t0~t1)=[0~1)
freq=0.01;
ti_D1=0:freq:6;
step=1/freq;
%第一段函数
u0=ti_D1(1:step);
N01=ones(1,step);
figure;
subplot(3,1,1);
plot(u0,N01);
xlabel('0

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