线性代数 --- 线性代数基本定理上（四个基本子空间的维数，行秩=列秩）

由向量张成VS用条件约束

构造子空间的方法主要有两种：

1，一种是给出一组向量，由他们来张成子空间。

        例如，矩阵的列空间和行空间就是通过这种方法来构造的，他们分别是由矩阵的各列和各行张成的。

2，一种是给出子空间所应受到的约束，满足这些约束条件的向量构成了该子空间。

        比如说，矩阵的零空间，就是由满足齐次方程组Ax=0的所有解构成的，方程组Ax=0中的每一个方程都是一个约束条件。

        对于第一种方法而言，可以有多余的向量，即，线性相关的向量。对于第二种方法而言也可以有多余的约束条件。

        "下面我们逐一讨论四个基本子空间，并讨论基底的求法。我们指出，这四个基本子空间都与矩阵U有关系，我们的问题是找出他们与原矩阵A的关系。"(打引号的这句话，不仅仅是原作者的重点，也是本文的重点。)

A的行空间与零空间都是的子空间

1，A的行空间,C for Column --- 他是由A的各个行向量张成的

补充，上文中所提到的2L，所强调的应该是文中的第二句：

如何构造行空间：

        A的行空间包含了U的行空间，是用阶梯矩阵U中的r个非零行作为基底去张成的。（注：不同的消元方式可能会产生不同的U矩阵，但不论用什么消元法，最终产生的U矩阵中的r个非零行，都可以作为A的行空间的基底，因为，基底不唯一。）A和U的行空间的维数相同，都等于r。不论是A的行空间还是U行空间都是由行向量所张成的，因此，只要行向量中有多少个元素，所张成的空间就是几维。但是，如果秩r不等于方程组的行数m，也就是说消元后得到的阶梯矩阵U中存在全零行，则原矩阵A中有m-r个线性相关的行。否则，阶梯矩阵U中不存在全零行，即m=r，A中各行都线性无关。

行空间的维数：

        A的行空间是由A的各行线性组合得到的，又因为每个行向量都是由n个元素组成的。因此， 他是的一个子空间。A的行空间的维数等于阶梯矩阵U中非零行的个数，等于线性无关的行向量的个数，等于基底的个数，等于矩阵A的秩r。

举例：

        首先，对这个矩阵而言，A=mxn=2x3，秩r=1。A的行空间是A的行向量的线性组合，又因为A的每行都是包含三个元素的行向量，所以，行空间是R3的子空间。

        其次，A的行空间的维数等于r=1，从消元后的阶梯矩阵U中，可以发现，只有第一行对于行的线性组合有贡献。U的行空间，是用行向量[1 0 0]所张成的一条直线。是R3中的一个一维子空间。而A的行空间需要用A中的对应行向量张成。

2， A的零空间,N for Null --- 他是由齐次方程组 Ax=0的所有解构成的

如何构造零空间：

        首先，对A进行高斯消元化简得到阶梯型矩阵U。观察矩阵U，看看是否存在全零行，如果有全零行，就有自由列。若存在自由列，则一定有n-r个自由列，对应有n-r个自由变量。依次让每一个自由变量为1，其余的自由变量都为0，求解Ux=0，求出n-r个特解向量x=[x1,x2,....xm]。用这n-r个特解向量作为基底，就能张成矩阵的整个零空间。（也可以看成是用n-r个自由列（特解列向量）合成0列的所有权重组合。）

Tips: A的零空间=U的零空间

零空间的维度：

        对于任何mxn，即m个方程组，n个未知数的矩阵A而言，因为，零空间是矩阵A解的空间，每个解向量x都包含n个未知数，因此，他是的一个子空间。理论上说，零空间的维度=解向量的维度=未知数的个数=n，若高斯消元后的阶梯矩阵U不满秩，在U的n个列向量中，有r个主元列和n-r个自由列，n-r个自由列，对应了n-r个自由变量。则，A的零空间的维度=n-r=自由变量的个数。

A的零空间也叫A的核。

举例：

        A=mxn=2x3，秩r=1。A有2个方程，3个未知数。A的零空间就是A的解的空间，任何一个解空间中的向量，都包含三个未知数，因此是R3的子空间。

        A的零空间的维数等于n-r=2。因为，消元后的阶梯矩阵U有n-r=2个自由列，对应了两个自由变量。对自由变量取特殊值求解后，会得到两个特解向量。分别是列向量[0 1 0]和列向量[0 0 1]，他们可以分别张成两条相互正交的直线。A的零空间是这两条直线张成的一个二维平面，是R3中的一个二维子空间。

A的列空间与左零空间都是的子空间 

3，A的列空间,C for column --- 他是由A的各个列向量张成的

补充，上文中所提到的2F，即，行秩=列秩：

 

如何构造列空间：

        A的列空间由矩阵A中的r个线性无关的列向量（即，基底）所张成的。矩阵A中的r个线性无关的列向量所在的位置，就是阶梯矩阵U中，非零主元列的位置。

 列空间的维数：

           A的列空间是由A的各列线性组合得到的，又因为每个列向量都包含m个元素。因此， 他是的一个子空间。根据定理2F，阶梯矩阵U有多少个（r个）线性无关的非零行，就有多少个（r个）线性无关的非零主元列。又因为，矩阵A中线性无关的r个列向量，不仅在数量上等于，阶梯矩阵U中线性无关的列向量，并且，两个矩阵中线性无关的列向量在各自矩阵中所处的位置也相同。由此，我们得出，A的列空间的维数等于A的秩r，因为它是由r个线性无关的列向量（即，r个基底）所张成的。而这r个线性无关的列向量在A中所处的位置，等有阶梯矩阵U中r个主元列所处的位置。（注意：对于矩阵A和矩阵U而言，他们的基底所处的位置相同，但经过高斯消元后对应位置的各列向量中的元素已经发生了改变，因此，我们再次强调，A和U的列空间不同。）

 

关于列空间的小结：

1，A的列空间就是A的值域。

2，A的列空间和U的列空间不同，高斯消元后改变了A的列空间。

3，A和U构造基底所需的列向量所处的位置相同。阶梯矩阵U中哪几列线性无关，原矩阵A中的哪几列也线性无关。这是因为Ax=0的解和Ux=0的解相同，也就是说，A的零空间和U的零空间相同。

4，定理2F可简写为，行秩=列秩。

举例：

         A=mxn=2x3，秩r=1。A的列空间是A中各列的线性组合，A中的每行都是包含两个元素的列向量，所以，是R2的子空间。

        A的列空间的维数等于秩r=1。从消元后的阶梯矩阵U中，可以看到，只有第一个主元列有用，另外两个自由列对于线性组合，并没有贡献。所以，U的列空间C(U),只能是由列向量[1 0]所张成的一条过原点的直线。是R2中的一个一维子空间。而A的列空间需要用A中对应位置的列向量张成。

 4，A的左零空间/的零空间 ，N for Null --- 他是由齐次方程组 x=0的所有解构成的

左零空间的维数：

        按照零空间的定义，零空间的维数，等于解向量的维数，等于未知数的个数。回到我们之前学习的行视图与列视图，从列视图的角度看齐次方程组Ax=0，列向量x中的每一个元素（也就是未知数）就是矩阵A中每个列向量线性组合所对应的权重，而A的零空间，就是能让A的各列线性组合后得到全零列，所有可能的权重x。或者说，满足Ax=0的这一约束的全部x。mxn矩阵A共有n个列向量，每个列向量对应一个权重，共n个权重（未知数），因此，A的零空间是的子空间（从另一个角度讲，因为解向量x是一个n维向量，包含n个元素（即，未知数））。 

        而现在我们要求解的矩阵变成了A的转置，这样一来，零空间的求解就变成了，能够保证中各列线性组合后得到全零列的所有可能的权重x。又因为，中的列，就是A中的行，因此，我们可以认为的零空间是满足A的各行(共m行)线性组合后能够生成全零行的所有可能的权重x(即，未知数)。（这也是我自己比较满意的一种解释） 

        现在我们把列组合的模式x=0（这里列向量x是未知数向量），变成行组合的模式，即，用行向量左乘A，即：

(原始矩阵A )

 (如何通过列组合的方式得到全零列？注：A中的行等于A的转置中的列)

 (如何通过行组合的方式得到全零行？) 

        x=0的零空间，是满足令A中各行的线性组合得到全零行的所有可能的权重,A共有m行，需要m个权重。因此，的零空间或者说A的左零空间的是的子空间。

         同理，经过高斯消元后，可能会出现不满秩的情况，即出现了全零行，使得，非零行的个数矩阵的行数n。那么在全部的m个列向量中，有r个主元列和m-r个自由列。m-r个自由列，对应了m-r个自由变量。则，A的左零空间的维度=m-r=自由变量的个数。

举例：

        A=mxn=2x3，秩r=1。A的左零空间是A的转置矩阵的解空间，变成了3个方程，2个未知数。因此，是R2的子空间。

        A的左零空间的维数等于m-r=1。A的左零空间为A的转置矩阵的零空间。转置矩阵A共有2列，根据行秩=列秩=1，则剩下一列为自由列，对应了一个自由变量，因此只能得到一个特解向量，列向量[0 1]。这一个特解向量张成了一条过零点的直线，正是A的左零空间。是R2中的一个一维子空间。

补充：

线性代数基本定理（上）

       

        对于任意mxn矩阵A都包含4个基本子空间，线性代数基本定理的上半部分指出了每一个子空间的维度。

A:

 A的零空间和行空间都是的子空间。

A的左零空间和列空间都是的子空间。

B:

1，A的列空间的维数等于秩r。

2，A的零空间的维数等于n-r。

3，A的行空间的维数等于r。

4，A的左零空间的维数等于m-r。

   注意：

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