线性代数 --- 如何求解不可逆的mxn长方形矩阵Ax=0的通解Null(A)和Ax=b的通解

松下J27 发布时间：2022-04-27 22:05:15 ，浏览量：0

Solve Ax=0 and Ax=b

我们先从一个未知数，一个方程的1x1方程组Ax=b说起，他的解可以有三种情况：

（i）当a $\neq$ 0时，对于任意的b都有解x=b/a，这时方程有唯一解。（这种情况叫相容且非奇异）

（ii）若a=0,b=0。无论x取多少，等式0x=0恒成立，有无穷多个解。（这种情况叫相容，但奇异）

（iii）若a=0,b $\neq$ 0，无解。因为，没有x可以让等式0x=b成立。（这种情况叫不相容）

对于mxn的长方形矩阵而言，无论是m>n（方程的个数大于未知数的个数）还是mm的矩阵。由于最多只能有m个非零主元（每行一个），因此，当U存在全零行时，至少有n-m个自由变量,且,自由变量的个数可以多余n-m个。就本例而言，自由变量的个数就大于n-m（n-m=4-3=1）个，但自由变量却有2个，事实上他就等于行阶梯型矩阵U非零行的个数rank 。

这里我们对齐次方程Ax=0的解，做一个重要小结，并给出对于秩(Rank)的定义：

1，Ax=0(Ux=0)的所有解，即A的零空间，就是n-r个特解的线性组合。

2，对于未知数个数大于方程个数的方程组（n>m），齐次方程组Ax=0，必有除了x=0以外的非平凡解。其中，零空间N(A)的维数等于自由变量的个数等于特解的个数,在本例中就是 $\large R^{2}$ 。

3，就mxn的矩阵A而言，经过高斯消元后得到阶梯矩阵U。如果U中有r个非零主元，那么矩阵U的底部会出现m-r个全0行。就本例而言，r=2（共两个非零主元，用红色方框框出）,m=3,m-r=1。可以看到矩阵U的底部有一个全0行。

同时，根据r=2，说明有两个非零主元列，对应了r个基本变量。自由列的个数等于2，等于n-r，就本例而言，n=4，n-r=2，对应了n-r个自由变量。齐次方程组Ax=0的零空间N(A)，由n-r个自由变量决定，零空间的维度=n-r。如果，r=n，也就是r的个数等于A的列的个数，表示该齐次方程组没有自由变量（也就没有自由列），A的零空间只有平凡解x=0(而在我们之前所学的知识里，只有平凡解的情况，只在我们平常所讨论的方阵中出现)。

4，这里,我们反复提及的数r叫做矩阵A的秩(Rank)。它等于矩阵U中非零行的行数，也等于矩阵U中非零主元的个数，它代表了矩阵A中真正独立的行的行数。在本例中，第三行实际上是前两行的线性组合。第二行乘以2减去第一行乘以5，得到第三行。

Ax=b的解是一个Ax=b的特解和Ax=0的通解的和，他不是一个向量空间

2，现在考虑非齐次方程组Ax=b的解

对于同样的矩阵A,我们有：

$\large x=\begin{bmatrix} u\\ v\\ w\\ y \end{bmatrix}$ $\large b=\begin{bmatrix} b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3} \end{bmatrix}$

把等式右端b和A放在一起得到增广矩阵：

$\large \begin{bmatrix} 1& 3& 3 & 2& b_{1}\\ 2& 6& 9& 5 & b_{2}\\ -1& -3 &3 &0 &b_{3} \end{bmatrix}$

按照相同的步骤对增广矩阵化简，得到Ux=c

对于所有有解的b而言，应该是由A的各列所张成的。（注意：不是U的列）b属于A的列空间。

因为，列2可以由列1合成(col2=3*col1), 而列4可以由列1和列3组成(col4=col1+col3/3)，其中，列2和列4就是前面提到的两个自由列。所以，这里虽然有四个列向量，但他们的线性组合只能张成三维空间中的一个平面。因此，对于A的列空间而言，一方面，可以把他看成是由col1和col3这两个主元列所张成的三维空间中的一个平面。另一方面，要想方程有解，则必须要保证最后一个方程b3-2b2+5b1=0成立(下图中用红色方框标出)，因为，如果b3-2b2+5b1 $\neq$ 0，则该方程组无解。这样一来A的列空间可以理解为，满足约束方程b3-2b2+5b1=0的所有b向量(b1,b2,b3)，所构成的三维空间中的一个平面。这一平面和前面所张成的平面一模一样，A的四个列向量都满足这一约束。（我们暂且称这个平面为平面P）

此外，如果我们把满足方程组成立的约束方程b3-2b2+5b1=0的左边，看成是一个列向量x=[5，-2，1]'的转置与一个列向量b=[b1, b2, b3]'的乘积，那么我们会发现列向量x不仅垂直于b(他们的内积为0，如下图所示), 也垂直于我们上面提到的平面P，因而也垂直于A的每一列(P是由于A中的主元列所张成的，且自由列也在这一平面上)。实际上，只要方程组有解，b也一定在平面P内。

$\LARGE x^{T}b=\begin{bmatrix} 5 &-2 &1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} b1\\ b2\\ b3 \end{bmatrix} =0$

前面说到，列向量x垂直于A中的每一个列向量。根据向量内积的定义和向量正交的定义，我们来逐一验证一下：

现在，假定方程有解，即，b在A的列空间中，显然要保证最后一行方程0x=0成立。和前面一样，经过高斯消元后，用自由变量v,y（已知数）来表示基本变量u,w。

得到如下通解（为了便于比较，我把前面的齐次方程组的解也放在下面了）：

（图为非齐次方程的解）

（图为齐次方程的解）

首先，我们可以看到非齐次方程Ax=b也有无穷多个解，且，也有“双无穷“的特性。与之前算出的齐次方程Ax=0的解相比，多了一组向量，用红色的方框标注，这个向量是Ax=b的一个特解（这个特解就是保证最后一个方程约束b3-2b2+5b1=0成立的一个解）。可见，非齐次方程Ax=b的通解，是Ax=b的这个特解和Ax=0的通解的和。从空间的角度讲，

注意，前面提到的"满足方程b3-2b2+5b1=0的所有点（b1,b2,b3）构成的一个平面。"平面上的任意一点，都可以作为Ax=b的特解。

例如，为满足b3-2b2+5b1=0，我们找到一个点b1=1,b2=5,b3=5，满足该约束。并得到如下矩阵Ax=b：