在我的另一篇文章中，我简单的介绍了向量的点积，也叫内积。那篇文章的侧重点是点积或者说是点乘。主要是以的方式来定义两个向量的内积。而这篇文章我会见到内积的另外一种表示方式，从
变成了
。
线性代数 --- 内积（点积）（个人学习笔记）_松下J27的博客-CSDN博客向量与向量的乘法 - 内积两个向量的内积，也叫点积（但在我们这个笔记的前半部分，我们说的，或者用到的更多的应该是点积），他的计算方式是两个同维度向量（例如两个n维向量）的内部元素从1到n，逐一相乘再求和，得到的是一个数。注意，这里是两个2x1的向量，而不像我们之前的定义内积等于一个1xn的向量乘以一个nx1的向量，他是用下面的这种表示法表示的。两个相互垂直的向量内积为0 如果两个向量的点积为0，则他们的夹角是90度。就如上图中的w，...https://blog.csdn.net/daduzimama/article/details/124556809
在这篇文章中，我们已经知道了两个向量x,y的点积等于的累加和。而在这个文章里，我们不再用之前的那个“不专业的点乘”来描述点积了，而是用矩阵的方式来描述：
如果说，x,y都是nx1的列向量，那么计算内积的公式就变成了,这是一个1xn的行向量和一个nx1的列向量的乘积，其中T在x和y外的内部，叫内积。而外积，也就是
,是一个nx1的列向量和一个1xn的行向量的乘积，T在x和y的外部。
内积的结果是一个数。
外积的结果是一个矩阵。
这种用矩阵的方式来描述内积的方式，把求两个向量的内积和矩阵的转置，这两个看似毫无关系的事，紧密的联系在了一起。要知道，之前我们在定义矩阵的转置时，只是把他简单的定义为将矩阵A中的元素沿着主对角线翻过去就行了，A的行变成了的列，而A的列变成了
的行。即：
事实上，转置有一种更深刻的含意，这源于它与内积有着密切的联系。而这种联系可以被用来给出转置的一个全新的定义（这是一种非常抽象的定义）：
对于任何向量x,y，矩阵能保证下面等式两边的两个内积相等。
也就是说，Ax与y的内积等于x与y的内积。
转置的这种定义有两个含义：
1，它告诉我们，当我们用其他方式来定义内积时，转置应该怎么变动。
2，它能够被用于证明转置矩阵的一个重要性质：
（一式）
证明：对于第二个等式的证明，只需要把AB作为一个整体带入到上面蓝色定义的等式中去，同时运用这个定理两次。
举个例子：
这是外文教科书中的另外一个例子：
注意：转置矩阵的这个性质和逆矩阵的性质如出一辙：
（二式）
而把一式和二式放在一起，就能得到另外一个著名的公式：
（全文完）
作者 --- 松下J27
格言摘抄：凡 事 都 有 定 期 ， 天 下 萬 務 都 有 定 時 。《传道书》3章1节
鸣谢：
文中截图均来自于：《Introduction to Linear Algebra》,5th Edition - Gilbert Strang
（配图与本文无关）
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