例一：
因为，w1与w2线性无关，且二者的第三分量都是0，所以只能张成一个二维平面。又因为w1和w2都是三维向量，所以，是三维空间中的一个二维平面。w1和w3线性相关，又都只有第一个分量起作用，所以只能张成一条直线。
例二：
基底不唯一：
例一：
例10中的列空间属于R3，却因为只存在两个非零主元列，所以是R3的二维子空间。
维数：
就这个定理而言，单从字面意思上去理解，向量空间V的维数，等于该向量空间中，任意一个基底所包含的元素个数。例如，在x-y平面，他的可能的一组基底是[0 1],[1 0]。这两个基底中的任意一个基底的元素个数都是两个，因此，向量空间的维数是2，即二维。
补充：
考虑上面的这个矩阵，已知，A为2x3矩阵，秩r=2。求A或U的列空间：
一方面，列空间的一组基底为[1 0]',[0 1]'，A的列空间是各列的线性组合，当然也是基底的线性组合。基底中的列向量所包含的元素个数为2。因此，列空间的维度为2。另一个方面，根据线性代数中关于四个基本子空间的相关定理，A的列空间的维度等于秩r，等于A中所有线性无关的列向量的个数2。(注意，这里说的是向量的个数，而不是向量中元素的个数，或者说向量的维度)
可见，A的列空间分别从两个角度去理解，得到了相同的维度2。A的列空间充满了整个空间。
对于A的行空间而言，一方面，行空间的基底为[1 0 0]，[0 1 0]共两个行向量，每个行向量包含的元素个数为3。因此，行空间的维度为3。另一方面，A的行空间的维度等于A的秩，又因为，列秩等于行秩，等于A中线性无关行的个数。得出，A的行空间的维数是2。
不矛盾：秩永远小于等于min(m,n)，所以，用第二种方式求得的维数要么是第一种方式求得的维数的子空间，要么就能充满全部空间。
（全文完）
作者 --- 松下J27
鸣谢（参考文献）：
1，《Introduction to Linear Algebra》,5th Edition - Gilbert Strang
2，线性代数及其应用，侯自新，南开大学出版社，1990.
格言摘抄：八戒，八戒，心肠不坏。（天上掉下个猪八戒主题曲）
（配图与本文无关）
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