混合波束成形| 基于坐标迭代更新法的混合波束赋形算法

混合波束赋形专栏|基于坐标迭代更新法的混合波束赋形算法：整理2016年一篇JSAC高引论文中的混合波束赋形算法，一点拙见，如有偏颇，望不吝赐教，盼即赐复。

Hybrid Beamforming（简称 HBF ）的优点是能够以相较于传统Full Digital beamforming（简称FD）更低的功耗和硬件成本实现接近FD的性能。在目前的半导体技术下，HBF更有利于应用到实际的大规模MIMO系统中。本文为了求解最优HBF，提出了一种坐标迭代下降算法，即：通过更新HBF中Analog beamforming的每个元素而达到最佳性能。

考虑一个窄带下行单小区多用户分布式天线系统，具体配置如下：基站端有 N N N根天线， N t R F N_{t}^{\mathrm{RF}} NtRF​条发送射频链， K K K个服务用户，每个用户配有 M M M根天线， N r R F N_{r}^{\mathrm{RF}} NrRF​条接收射频链。每个用户所需的数据流数目为 d d d，并且满足 K d ≤ N t R F ≤ N K d \leq N_{t}^{\mathrm{RF}} \leq N Kd≤NtRF​≤N， d ≤ N r R F ≤ M d \leq N_{r}^{\mathrm{RF}} \leq M d≤NrRF​≤M和 N s = K d N_{s}=K d Ns​=Kd。在混合波束赋形架构中，基站首先在基带使用一个 N t R F × N s N_{t}^{R F} \times N_{s} NtRF​×Ns​的digital precoder V D \mathbf{V}_{D} VD​进行数字波束赋形，然后通过 N t R F N_{t}^{R F} NtRF​条发送射频链上变频到载频。随后使用一个通过模拟移相器实现大小为 N × N t R F N \times N_{t}^{R F} N×NtRF​的RF precoder V R F \mathbf{V}_{RF} VRF​(受到恒模约束： ∣ V R F ( i , j ) ∣ 2 = 1 \left|\mathbf{V}_{R F}(i, j)\right|^{2}=1 ∣VRF​(i,j)∣2=1)构造最终的发射信号。发射信号可以表示为： x = V R F V D s = ∑ l = 1 K V R F V D i s l \mathbf{x}=\mathbf{V}_{R F} \mathbf{V}_{D} \mathbf{s}=\sum_{l=1}^{K} \mathbf{V}_{R F} \mathbf{V}_{D_{i}} \mathbf{s}_{l} x=VRF​VD​s=l=1∑K​VRF​VDi​​sl​

其中 V D = ⌊ V D 1 , V D 2 , … , V D K ⌋ \mathbf{V}_{D}=\left\lfloor\mathbf{V}_{D_{1}}, \mathbf{V}_{D_{2}}, \ldots, \mathbf{V}_{D_{K}}\right\rfloor VD​=⌊VD1​​,VD2​​,…,VDK​​⌋， s ∈ C N s × 1 \mathbf{s} \in \mathbf{C}^{N_{s} \times 1} s∈CNs​×1，其包含了 K K K个用户的数据流。对于第 k k k用户，接收信号可以建模为：

y k = H k V R F V D k s k + H k ∑ l ≠ k V R F V D l s l + z k \mathbf{y}_{k}=\mathbf{H}_{k} \mathbf{V}_{R F} \mathbf{V}_{D_{k}} \mathbf{s}_{k}+\mathbf{H}_{k} \sum_{l \neq k} \mathbf{V}_{R F} \mathbf{V}_{D_{l}} \mathbf{s}_{l}+\mathbf{z}_{k} yk​=Hk​VRF​VDk​​sk​+Hk​l​=k∑​VRF​VDl​​sl​+zk​

其中： H k ∈ C M × N \mathbf{H}_{k} \in \mathbf{C}^{M \times N} Hk​∈CM×N，它是基站发射天线到第 k k k个用户天线的复信道增益矩阵， z k ∼ C N ( 0 , σ 2 I M ) \mathbf{z}_{k} \sim \mathcal{C} N\left(0, \sigma^{2} \mathbf{I}_{M}\right) zk​∼CN(0,σ2IM​)代表高斯加性白噪声。

在接收端，对于用户 k k k首先使用一个大小为 M × N t R F M \times N_{t}^{R F} M×NtRF​的RF combiner(受到恒模约束： ∣ V R F ( i , j ) ∣ 2 = 1 \left|\mathbf{V}_{R F}(i, j)\right|^{2}=1 ∣VRF​(i,j)∣2=1)进行处理，然后通过 N r R F N_{r}^{R F} NrRF​条射频链下变频到基带，经过digital combiner W D k ∈ C N r R F × d \mathbf{W}_{D_{k}} \in \mathbf{C}^{N_{r}^{R F} \times d} WDk​​∈CNrRF​×d处理后得到最终的数据流。因此，最终处理的信号可以表示为： y ~ k = W t k H H k V t k s k + W t k H H k ∑ l ≠ k V t l s l + W t k H z k \widetilde{\mathbf{y}}_{k}=\mathbf{W}_{t_{k}}^{H} \mathbf{H}_{k} \mathbf{V}_{t_{k}} \mathbf{s}_{k}+\mathbf{W}_{t_{k}}^{H} \mathbf{H}_{k} \sum_{l \neq k} \mathbf{V}_{t_{l}} \mathbf{s}_{l}+\mathbf{W}_{t_{k}}^{H} \mathbf{z}_{k} y ​k​=Wtk​H​Hk​Vtk​​sk​+Wtk​H​Hk​l​=k∑​Vtl​​sl​+Wtk​H​zk​ 其中： V t k = V R F V D k \mathbf{V}_{t_{k}}=\mathbf{V}_{R F} \mathbf{V}_{D_{k}} Vtk​​=VRF​VDk​​， W t k = W R F k W D k \mathbf{W}_{t_{k}}=\mathbf{W}_{R F_{k}} \mathbf{W}_{D_{k}} Wtk​​=WRFk​​WDk​​。对于这样一个系统，第 k k k个用户在高斯信号假设下的总频谱效率可以表示为： R k = log ⁡ 2 ∣ I M + W t k C − 1 W t k H H k V t k V t k H H k H ∣ R_{k}=\log _{2}\left|\mathbf{I}_{M}+\mathbf{W}_{t_{k}} \mathbf{C}^{-1} \mathbf{W}_{t_{k}}^{H} \mathbf{H}_{k} \mathbf{V}_{t_{k}} \mathbf{V}_{t_{k}}^{H} \mathbf{H}_{k}^{H}\right| Rk​=log2​∣∣​IM​+Wtk​​C−1Wtk​H​Hk​Vtk​​Vtk​H​HkH​∣∣​ 其中 C k = W t k H H k ( ∑ l ≠ k V t l V t i H ) H k H W t k + σ 2 W t k H W t k \mathbf{C}_{k}=\mathbf{W}_{t_{k}}^{H} \mathbf{H}_{k}\left(\sum_{l \neq k} \mathbf{V}_{t_{l}} \mathbf{V}_{t_{i}}^{H}\right) \mathbf{H}_{k}^{H} \mathbf{W}_{t_{k}}+\sigma^{2} \mathbf{W}_{t_{k}}^{H} \mathbf{W}_{t_{k}} Ck​=Wtk​H​Hk​(∑l​=k​Vtl​​Vti​H​)HkH​Wtk​​+σ2Wtk​H​Wtk​​。考虑恒模约束，功率约束，以最大频谱效率为目标函数的HBF设计问题可以描述为：

P P P是基站的总功率约束， β k \beta_{k} βk​是用户 k k k的优先级， β k / ∑ l = 1 K β l \beta_{k} / \sum_{l=1}^{K} \beta_{l} βk​/∑l=1K​βl​，则代表用户 k k k的优先级越高。

在该窄带场景下， K = 1 K=1 K=1， min ⁡ ( N , M ) ≥ N s \min (N, M) \geq N_{s} min(N,M)≥Ns​。为了不失一般性， N t R F = N r R F = N R F N_{t}^{R F}=N_{r}^{R F}=N^{R F} NtRF​=NrRF​=NRF。此时的总频谱效率可以写为： R = log ⁡ 2 ∣ I M + 1 σ 2 W t ( W t H W t ) − 1 W t H H V t V t H H H ∣ R=\log _{2}\left|\mathbf{I}_{M}+\frac{1}{\sigma^{2}} \mathbf{W}_{t}\left(\mathbf{W}_{t}^{H} \mathbf{W}_{t}\right)^{-1} \mathbf{W}_{t}^{H} \mathbf{H} \mathbf{V}_{t} \mathbf{V}_{t}^{H} \mathbf{H}^{H}\right| R=log2​∣∣∣∣​IM​+σ21​Wt​(WtH​Wt​)−1WtH​HVt​VtH​HH∣∣∣∣​其中 V t = V R F V D \mathbf{V}_{t}=\mathbf{V}_{R F} \mathbf{V}_{D} Vt​=VRF​VD​， W t = W R F W D \mathbf{W}_{t}=\mathbf{W}_{R F} \mathbf{W}_{D} Wt​=WRF​WD​。 作者的思路是：首先假设接收端是最优的，设计最优hybrid precoders。然后针对已经设计好的发送端，在设计最优hybrid combiner。于是，发送端的设计问题可以写为：

对于这样一个非凸问题直接求解仍然是很困难的，作者由将该问题分解为固定 V R F \mathbf{V}_{\mathrm{RF}} VRF​求解 V D \mathbf{V}_{\mathrm{D}} VD​，然后固定 V R F \mathbf{V}_{\mathrm{RF}} VRF​求解 V D \mathbf{V}_{\mathrm{D}} VD​。在求解 V D \mathbf{V}_{\mathrm{D}} VD​时有一个很好的闭式解就是： V D = Q − 1 / 2 U e Γ e \mathbf{V}_{\mathrm{D}}=\mathbf{Q}^{-1 / 2} \mathbf{U}_{e} \mathbf{\Gamma}_{e} VD​=Q−1/2Ue​Γe​该闭式解是通过注水算法得到的。作者假设数据流等功率分配， V R F H V R F ≈ N I \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}^{H} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}} \approx N \mathbf{I} VRFH​VRF​≈NI。可以在 N R F = N s N^{\mathrm{RF}}=N_{s} NRF=Ns​下得到一个很好的结论，即： V D V D H ≈ γ 2 I \mathbf{V}_{\mathrm{D}} \mathbf{V}_{\mathrm{D}}^{H} \approx \gamma^{2} \mathbf{I} VD​VDH​≈γ2I。 其中， γ 2 = P / ( N N R F ) \gamma^{2}=P /\left(N N^{\mathrm{RF}}\right) γ2=P/(NNRF)。利用该近似， V R F \mathbf{V}_{\mathrm{RF}} VRF​的求解问题可以描述为：

其中 F 1 = H H H \mathbf{F}_{1}=\mathbf{H}^{H} \mathbf{H} F1​=HHH 。对于这个问题的求解，作者提出了基于坐标迭代更新法的混合波束赋形算法 （ 也 就 是 本 文 的 重 头 戏 ） \color{red}{（也就是本文的重头戏）} （也就是本文的重头戏）。简单来说，该方法就是提取 V R F \mathbf{V}_{\mathrm{RF}} VRF​中的每个元素 V R F ( i , j ) \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}(i, j) VRF​(i,j)对目标函数的影响。上述的目标函数用 V R F ( i , j ) \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}(i, j) VRF​(i,j)可以表示为： log ⁡ 2 ∣ C j ∣ + log ⁡ 2 ( 2 Re ⁡ { V R F ∗ ( i , j ) η i j } + ζ i j + 1 ) \log _{2}\left|\mathbf{C}_{j}\right|+\log _{2}\left(2 \operatorname{Re}\left\{\mathbf{V}_{\mathrm{RF}}^{*}(i, j) \eta_{i j}\right\}+\zeta_{i j}+1\right) log2​∣Cj​∣+log2​(2Re{VRF∗​(i,j)ηij​}+ζij​+1)其中： C j = I + γ 2 σ 2 ( V ‾ R F j ) H F 1 V ‾ R F j \mathbf{C}_{j}=\mathbf{I}+\frac{\gamma^{2}}{\sigma^{2}}\left(\overline{\mathbf{V}}_{\mathrm{RF}}^{j}\right)^{H} \mathbf{F}_{1} \overline{\mathbf{V}}_{\mathrm{RF}}^{j} Cj​=I+σ2γ2​(VRFj​)HF1​VRFj​， V ‾ R F j \overline{\mathbf{V}}_{\mathrm{RF}}^{j} VRFj​是移除 V R F \mathbf{V}_{\mathrm{RF}} VRF​第 j j j列后的子矩阵。其他参数的定义为： η i j = ∑ ℓ ≠ i G j ( i , ℓ ) V R F ( ℓ , j ) \eta_{i j}=\sum_{\ell \neq i} \mathbf{G}_{j}(i, \ell) \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}(\ell, j) ηij​=ℓ​=i∑​Gj​(i,ℓ)VRF​(ℓ,j) ζ i j = G j ( i , i ) + 2 Re ⁡ { ∑ m ≠ i , n ≠ i V R F ∗ ( m , j ) G j ( m , n ) V R F ( n , j ) } \begin{aligned} \zeta_{i j}=& \mathbf{G}_{j}(i, i) \\ &+2 \operatorname{Re}\left\{\sum_{m \neq i, n \neq i} \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}^{*}(m, j) \mathbf{G}_{j}(m, n) \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}(n, j)\right\} \end{aligned} ζij​=​Gj​(i,i)+2Re⎩⎨⎧​m​=i,n​=i∑​VRF∗​(m,j)Gj​(m,n)VRF​(n,j)⎭⎬⎫​​ G j = γ 2 σ 2 F 1 − γ 4 σ 4 F 1 V ‾ R F j C j − 1 ( V ‾ R F j ) H F 1 \mathbf{G}_{j}=\frac{\gamma^{2}}{\sigma^{2}} \mathbf{F}_{1}-\frac{\gamma^{4}}{\sigma^{4}} \mathbf{F}_{1} \overline{\mathbf{V}}_{\mathrm{RF}}^{j} \mathbf{C}_{j}^{-1}\left(\overline{\mathbf{V}}_{\mathrm{RF}}^{j}\right)^{H} \mathbf{F}_{1} Gj​=σ2γ2​F1​−σ4γ4​F1​VRFj​Cj−1​(VRFj​)HF1​ 虽然上述表达式看似很复杂，但是推导并不困难，只需要将原目标函数逐项展开，表示成 V R F ( i , j ) \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}(i, j) VRF​(i,j)的函数即可。假设除 V R F ( i , j ) \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}(i, j) VRF​(i,j)之外的元素均固定，则对 V R F ( i , j ) \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}(i, j) VRF​(i,j)可以更新可以表示为： V R F ( i , j ) = { 1 ,  if  η i j = 0 η i j ∣ η i j ∣ ,  otherwise  \mathbf{V}_{\mathrm{RF}}(i, j)=\left\{\begin{array}{cl}{1,} & {\text { if } \eta_{i j}=0} \\ {\frac{\eta_{i j}}{\left|\eta_{i j}\right|},} & {\text { otherwise }}\end{array}\right. VRF​(i,j)={1,∣ηij​∣ηij​​,​ if ηij​=0 otherwise ​ 通过逐项更新最后就可以得到最优 V R F \mathbf{V}_{\mathrm{RF}} VRF​。综上所述， V R F \mathbf{V}_{\mathrm{RF}} VRF​的求解可以表示为：

接收端的设计问题为：

其中 F 2 = H V t V t H H H \mathbf{F}_{2}=\mathbf{H} \mathbf{V}_{\mathrm{t}} \mathbf{V}_{\mathrm{t}}^{H} \mathbf{H}^{H} F2​=HVt​VtH​HH，利用 W R F H W R F ≈ M I \mathbf{W}_{\mathrm{RF}}^{H} \mathbf{W}_{\mathrm{RF}} \approx M \mathbf{I} WRFH​WRF​≈MI的假设，该问题可以表示为：

可以看出通过简单的变量代换就能共使用算法1继续求解 W R F \mathbf{W}_{\mathrm{RF}} WRF​。最后再设计 W D \mathbf{W}_{\mathrm{D}} WD​。利用MMSE准则下的闭式解 W D = J − 1 W R F H H V t \mathbf{W}_{\mathrm{D}}=\mathbf{J}^{-1} \mathbf{W}_{\mathrm{RF}}^{H} \mathbf{H} \mathbf{V}_{\mathbf{t}} WD​=J−1WRFH​HVt​，其中 J = W R F H H V t V t H H H W R F + σ 2 W R F H W R F \mathbf{J}=\mathbf{W}_{\mathrm{RF}}^{H} \mathbf{H} \mathbf{V}_{\mathrm{t}} \mathbf{V}_{\mathrm{t}}^{H} \mathbf{H}^{H} \mathbf{W}_{\mathrm{RF}}+\sigma^{2} \mathbf{W}_{\mathrm{RF}}^{H} \mathbf{W}_{\mathrm{RF}} J=WRFH​HVt​VtH​HHWRF​+σ2WRFH​WRF​。 需要注意的是前面的所有假设与近似均是在 N R F = N s N^{\mathrm{RF}}=N_{s} NRF=Ns​进行的，但是可以将目标函数表示成特征值的形式并且证明 N R F = N s N^{\mathrm{RF}}=N_{s} NRF=Ns​下的情况可以作为 N s < N R F < 2 N s N_{s}