这篇博客是对经典论文 Linear Transmit Processing in MIMO Communications Systems的摘记。这篇文章考虑的是收发端的各自独立信号处理设计，而非联合设计。继而，给出了匹配滤波、迫零滤波与维纳滤波这三种常见滤波方式的具体数学形式。
考虑如图所示的一个线性系统模型， 有：
y
=
P
s
∈
C
N
s
~
=
G
(
H
P
s
+
η
)
∈
C
B
\boldsymbol{y}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{s} \in \mathbb{C}^{N}\\ \tilde{\boldsymbol{s}}=\boldsymbol{G}(\boldsymbol{H P s}+\boldsymbol{\eta}) \in \mathbb{C}^{B}
y=Ps∈CNs~=G(HPs+η)∈CB
B
B
B代表了数据流数。
N
N
N代表发送天线数，
M
M
M代表接收天线数。需要解释的是， 最后的方框中的
α
1
B
\alpha\mathbf{1}_B
α1B是指将
s
~
\tilde{\boldsymbol{s}}
s~乘上一个标量实数
α
\alpha
α，这对系统性能并不会有任何影响，但会影响发射机的设计，后面将会揭示。 同时，定义平均发送能量为：
E
[
∥
y
∥
2
2
]
=
E
[
∥
P
s
∥
2
2
]
=
tr
(
P
R
s
P
H
)
=
E
t
r
⋅
\mathrm{E}\left[\|\boldsymbol{y}\|_{2}^{2}\right]=\mathrm{E}\left[\|\boldsymbol{P} \boldsymbol{s}\|_{2}^{2}\right]=\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{P} \boldsymbol{R}_{\boldsymbol{s}} \boldsymbol{P}^{\mathrm{H}}\right)=E_{\mathrm{tr}} \cdot
E[∥y∥22]=E[∥Ps∥22]=tr(PRsPH)=Etr⋅ 信噪比可以定义为 （平均了流数与接收天线数）：
γ
=
E
t
r
/
B
tr
(
R
η
)
/
M
\gamma=\frac{E_{\mathrm{tr}} / B}{\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{R}_{\boldsymbol{\eta}}\right) / M}
γ=tr(Rη)/MEtr/B 其中
R
η
\boldsymbol{R}_{\boldsymbol{\eta}}
Rη代表噪声的协方差矩阵。
Receive matched filter (RxMF) RxMF 旨在最大化滤波器 G G G的输出信噪比，这在噪声极大的场景下是最优的。具体地： G M F = argmax G ∣ E [ s H s ~ ] ∣ 2 E [ ∥ G η ∣ 2 2 ] \boldsymbol{G}_{\mathrm{MF}}=\operatorname{argmax}_{G} \frac{\left|\mathrm{E}\left[\boldsymbol{s}^{\mathrm{H}} \tilde{\boldsymbol{s}}\right]\right|^{2}}{\mathrm{E}\left[\|\left.\boldsymbol{G} \boldsymbol{\eta}\right|_{2} ^{2}\right]} GMF=argmaxGE[∥Gη∣22]∣∣E[sHs~]∣∣2 分子中，通过作相关，提取出处理后信号中包含真实信号信息的能量值，去除掉噪声。 分母则是经过滤波后的噪声能量。因此通过对上式求导置0，得到： G M F = α ′ R s P H H H R η − 1 ∈ C B × M \boldsymbol{G}_{\mathrm{MF}}=\alpha^{\prime} \boldsymbol{R}_{\boldsymbol{s}} \boldsymbol{P}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{R}_{\boldsymbol{\eta}}^{-1} \in \mathbb{C}^{B \times M} GMF=α′RsPHHHRη−1∈CB×M 其中， α ′ \alpha^{\prime} α′为标量可以任意选取，并不影响接收信噪比， 因此后文中可置为1. 相关简要推导放在了附录中。观察可以看到， 接收信号抵达接收端时经历了 H P HP HP,则对其的处理就是其转置 P H H H P^HH^H PHHH。
接收迫零滤波Receive Zero-Forcing Filter （RxZF) 迫零均衡的思路很简单，假定没有噪声，令处理后信号与原信号相等。也即: s ~ ∣ η = 0 M = G H P s ≡ s \left.\tilde{\boldsymbol{s}}\right|_{\eta=\mathbf{0}_{M}}=\boldsymbol{G H P} \boldsymbol{s} \equiv \boldsymbol{s} s~∣η=0M=GHPs≡s 因此， G H P G H P GHP应为单位阵。 E [ ∥ s − s ~ ∥ 2 2 ] = E [ ∥ G η ∥ 2 2 ] \mathrm{E}\left[\|\boldsymbol{s}-\tilde{\boldsymbol{s}}\|_{2}^{2}\right]=\mathrm{E}\left[\|G \boldsymbol{\eta}\|_{2}^{2}\right] E[∥s−s~∥22]=E[∥Gη∥22] 因此，RxZF的推导可以通过求解如下问题： G Z F = argmin G E [ ∥ G η ∥ 2 2 ] s.t.: G H P = 1 B \boldsymbol{G}_{\mathrm{ZF}}=\operatorname{argmin}_{\boldsymbol{G}} \mathrm{E}\left[\|\boldsymbol{G} \boldsymbol{\eta}\|_{2}^{2}\right] \quad \text { s.t.: } \boldsymbol{G H} \boldsymbol{P}=\mathbf{1}_{B} GZF=argminGE[∥Gη∥22] s.t.: GHP=1B 1 B \mathbf{1}_{B} 1B就是单位阵。该问题可以通过拉格朗日乘子法求解，过程也放在了附录之中。最优解为： G Z F = ( P H H H R η − 1 H P ) − 1 P H H H R η − 1 ∈ C B × M . \boldsymbol{G}_{\mathrm{ZF}}=\left(\boldsymbol{P}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{R}_{\boldsymbol{\eta}}^{-1} \boldsymbol{H} \boldsymbol{P}\right)^{-1} \boldsymbol{P}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{R}_{\boldsymbol{\eta}}^{-1} \in \mathbb{C}^{B \times M} . GZF=(PHHHRη−1HP)−1PHHHRη−1∈CB×M. 相较于匹配滤波，这里多了一项 G Z F = ( P H H H R η − 1 H P ) − 1 \boldsymbol{G}_{\mathrm{ZF}}=\left(\boldsymbol{P}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{R}_{\boldsymbol{\eta}}^{-1} \boldsymbol{H} \boldsymbol{P}\right)^{-1} GZF=(PHHHRη−1HP)−1，因此迫零滤波可以理解为是匹配滤波后再做了一步干扰消除。当 R η \boldsymbol{R}_{\boldsymbol{\eta}} Rη为单位阵 (或单位阵乘上标量）时，原式就退化为 G Z F = ( P H H H H P ) − 1 P H H H \boldsymbol{G}_{\mathrm{ZF}}=\left(\boldsymbol{P}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{H} \boldsymbol{P}\right)^{-1} \boldsymbol{P}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} GZF=(PHHHHP)−1PHHH。
接收维纳滤波Receive Wiener Filter （RxWF） 维纳滤波器旨在最小化MSE值，也即: G W F = argmin G E [ ∥ s − s ~ ∥ 2 2 ] \boldsymbol{G}_{\mathrm{WF}}=\operatorname{argmin}_{\boldsymbol{G}} \mathrm{E}\left[\|\boldsymbol{s}-\tilde{\boldsymbol{s}}\|_{2}^{2}\right] GWF=argminGE[∥s−s~∥22] 令导数为0，可以得到： G W F = ( P H H H R η − 1 H P + R s − 1 ) − 1 P H H H R η − 1 \boldsymbol{G}_{\mathrm{WF}}=\left(\boldsymbol{P}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{R}_{\boldsymbol{\eta}}^{-1} \boldsymbol{H} \boldsymbol{P}+\boldsymbol{R}_{\boldsymbol{s}}^{-1}\right)^{-1} \boldsymbol{P}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{R}_{\boldsymbol{\eta}}^{-1} GWF=(PHHHRη−1HP+Rs−1)−1PHHHRη−1 这里运用到了矩阵求逆引理，详见附录。注意到， 当信噪比较低时， ( P H H H R η − 1 H P + R s − 1 ) − 1 \left(\boldsymbol{P}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{R}_{\boldsymbol{\eta}}^{-1} \boldsymbol{H} \boldsymbol{P}+\boldsymbol{R}_{\boldsymbol{s}}^{-1}\right)^{-1} (PHHHRη−1HP+Rs−1)−1退化为 R s \boldsymbol{R}_{\boldsymbol{s}} Rs，维纳滤波器退化为匹配滤波。当信噪比较高时，退化为迫零滤波。
发送滤波 发送匹配滤波类似地，可以通过如下优化问题求解： P M F = argmax P ∣ E [ s H s ~ ] ∣ 2 E [ ∥ G η ∣ ∣ 2 2 ] s.t.: E [ ∥ P s ∥ 2 2 ] = E t r \boldsymbol{P}_{\mathrm{MF}}=\operatorname{argmax}_{\boldsymbol{P}} \frac{\left|\mathrm{E}\left[\boldsymbol{s}^{\mathrm{H}} \tilde{\boldsymbol{s}}\right]\right|^{2}}{\mathrm{E}\left[\| \boldsymbol{G} \boldsymbol{\eta}||_{2}^{2}\right]} \quad \text { s.t.: } \mathrm{E}\left[\|\boldsymbol{P} \boldsymbol{s}\|_{2}^{2}\right]=E_{\mathrm{tr}} PMF=argmaxPE[∥Gη∣∣22]∣∣E[sHs~]∣∣2 s.t.: E[∥Ps∥22]=Etr 这比接收滤波要容易求解因为分母是一个常数，直接通过拉格朗日乘子法可以得到： P M F = β T x M F H H G H ∈ C N × B β T x M F = E t r tr ( H H G H R s G H ) \begin{aligned} \boldsymbol{P}_{\mathrm{MF}} &=\beta_{\mathrm{TxMF}} \boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}^{\mathrm{H}} \in \mathbb{C}^{N \times B} \\ \beta_{\mathrm{TxMF}} &=\sqrt{\frac{E_{\mathrm{tr}}}{\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{R}_{\mathbf{s}} \boldsymbol{G H}\right)}} \end{aligned} PMFβTxMF=βTxMFHHGH∈CN×B=tr(HHGHRsGH)Etr 可以看到，发送匹配滤波和接收匹配滤波一样，都是信号接下来要经过的线性变换的共轭转置。
发送迫零滤波与接收迫零滤波不同的时，此时除了令 G H P GHP GHP为单位阵外，也期望最小化发送功率，因此优化问题可以表示为： P ~ Z F = argmin P E [ ∥ P s ∥ 2 2 ] s.t.: G H P = 1 B \widetilde{\boldsymbol{P}}_{\mathrm{ZF}}=\operatorname{argmin}_{\boldsymbol{P}} \mathrm{E}\left[\|\boldsymbol{P s}\|_{2}^{2}\right] \quad \text { s.t.: } \boldsymbol{G H} \boldsymbol{P}=\mathbf{1}_{B} P ZF=argminPE[∥Ps∥22] s.t.: GHP=1B 通过拉格朗日乘子法可以得到： P ~ Z F = H H G H ( G H H H G H ) − 1 ∈ C N × B . \tilde{\boldsymbol{P}}_{\mathrm{ZF}}=\boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}^{\mathrm{H}}\left(\boldsymbol{G} \boldsymbol{H} \boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}^{\mathrm{H}}\right)^{-1} \in \mathbb{C}^{N \times B} . P~ZF=HHGH(GHHHGH)−1∈CN×B. 然而这一解并不一定能满足功率约束。因此一种直觉的做法就是引入一个常数标量进行归一化。即： P Z F = β T x Z F H H G H ( G H H H G H ) − 1 ∈ C N × B \boldsymbol{P}_{\mathrm{ZF}}=\beta_{\mathrm{TxZF}} \boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}^{\mathrm{H}}\left(\boldsymbol{G} \boldsymbol{H} \boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}^{\mathrm{H}}\right)^{-1} \in \mathbb{C}^{N \times B} PZF=βTxZFHHGH(GHHHGH)−1∈CN×B 其中， β T x Z F = E t r tr ( ( G H H H G H ) − 1 R s ) \beta_{\mathrm{TxZF}}=\sqrt{\frac{E_{\mathrm{tr}}}{\operatorname{tr}\left(\left(\boldsymbol{G H \boldsymbol { H } ^ { \mathrm { H } } \boldsymbol { G } ^ { \mathrm { H } } ) ^ { - 1 } \boldsymbol { R } _ { \boldsymbol { s } } )}\right.\right.}} βTxZF=tr((GHHHGH)−1Rs)Etr
发送维纳滤波假如仍以基本的MMSE为目标，维纳滤波的解由下式给出: P C M M S E = argmin P E [ ∥ s − s ~ ∥ 2 2 ] s.t.: E [ ∥ P s ∥ 2 2 ] ≤ E t r ⋅ \boldsymbol{P}_{\mathrm{CMMSE}}=\operatorname{argmin}_{\boldsymbol{P}} \mathrm{E}\left[\|\boldsymbol{s}-\tilde{\boldsymbol{s}}\|_{2}^{2}\right] \quad \text { s.t.: } \mathrm{E}\left[\|\boldsymbol{P} \boldsymbol{s}\|_{2}^{2}\right] \leq E_{\mathrm{tr}} \cdot PCMMSE=argminPE[∥s−s~∥22] s.t.: E[∥Ps∥22]≤Etr⋅ 其解为： P C M M S E = ( H H G H G H + λ 1 N ) − 1 H H G H ∈ C N × B \boldsymbol{P}_{\mathrm{CMMSE}}=\left(\boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G} \boldsymbol{H}+\lambda \mathbf{1}_{N}\right)^{-1} \boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}^{\mathrm{H}} \in \mathbb{C}^{N \times B} PCMMSE=(HHGHGH+λ1N)−1HHGH∈CN×B 其中 λ \lambda λ为拉格朗日乘子，用以满足功率约束。然而问题来了，此时发现 λ \lambda λ只与发送功率有关。当发送功率较大但噪声功率更大的低信噪比情况下，维纳滤波器仍会迫近与迫零滤波。根据push-through公式，有： ( H H G H G H + λ 1 N ) − 1 H H G H = H H G H ( G H H H G H + λ 1 N ) − 1 \left(\boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G} \boldsymbol{H}+\lambda \mathbf{1}_{N}\right)^{-1} \boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}^{\mathrm{H}} =\boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}^{\mathrm{H}}\left(\boldsymbol{G} \boldsymbol{H}\boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}^{\mathrm{H}} +\lambda \mathbf{1}_{N}\right)^{-1} (HHGHGH+λ1N)−1HHGH=HHGH(GHHHGH+λ1N)−1 也就是说，这样的滤波器并不具备考虑噪声的能力。
因此，进行改进，求解如下问题： { P W F , β T x W F } = argmin { P , β } E [ ∥ s − β − 1 s ~ ∥ 2 2 ] s.t.: E [ ∥ P s ∥ 2 2 ] = E t r . \begin{aligned} \left\{\boldsymbol{P}_{\mathrm{WF}}, \beta_{\mathrm{TxWF}}\right\} &=\operatorname{argmin}_{\{\boldsymbol{P}, \beta\}} \mathrm{E}\left[\left\|\boldsymbol{s}-\beta^{-1} \tilde{\boldsymbol{s}}\right\|_{2}^{2}\right] \\ \text { s.t.: } \mathrm{E}\left[\|\boldsymbol{P} \boldsymbol{s}\|_{2}^{2}\right] &=E_{\mathrm{tr}} . \end{aligned} {PWF,βTxWF} s.t.: E[∥Ps∥22]=argmin{P,β}E[∥∥s−β−1s~∥∥22]=Etr. 引入了标量因子 β \beta β，可以理解为接收机要将最后得到的信号除以 β \beta β。那么， β \beta β将是越大越好的。因为如果发送滤波得到了更大的 β \beta β，意味着最后除掉时将噪声的能量也降低了。因此，问题成了寻找满足上述优化问题的 P P P和最大的 β \beta β，通过拉格朗日乘子法，得到： P W F = β T x W F F − 1 H H G H ∈ C N × B \boldsymbol{P}_{\mathrm{WF}}=\beta_{\mathrm{TxWF}} \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}^{\mathrm{H}} \in \mathbb{C}^{N \times B} PWF=βTxWFF−1HHGH∈CN×B and β T x W F = E t r tr ( F − 2 H H G H R s G H ) \beta_{\mathrm{TxWF}}=\sqrt{\frac{E_{\mathrm{tr}}}{\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{F}^{-2} \boldsymbol{H}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{R}_{\boldsymbol{s}} \boldsymbol{G H}\right)}} βTxWF=tr(F−2HHGHRsGH)Etr where we defined F = H H G H G H + tr ( G R η G H ) E t r 1 N ∈ C N × N \boldsymbol{F}=H^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{G} H+\frac{\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{G} \boldsymbol{R}_{\eta} \boldsymbol{G}^{\mathrm{H}}\right)}{E_{\mathrm{tr}}} \mathbf{1}_{N} \in \mathbb{C}^{N \times N} F=HHGHGH+Etrtr(GRηGH)1N∈CN×N 可以看到，它与不引入 β \beta β时的维纳滤波的差别在于，此时没有了拉格朗日乘子，且解与信噪比直接相关。
性能结果
其中的求逆公式参照博客： https://zhuyulab.blog.csdn.net/article/details/118761178?spm=1001.2014.3001.5502
