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原文：《Compressed Channel Estimation and Joint Beamforming for Intelligent Reflecting Surface-Assisted Millimeter Wave Systems 》 地址：https://arxiv.org/abs/1911.07202
这篇文章考虑的是智能反射面（IRS）辅助的mmWave MISO系统的信道估计问题。作者将BS-IRS、IRS-UE两个信道级联成一个等效信道，利用级联信道的稀疏结构将估计值转化为压缩感知问题。
系统模型
考虑到实际很多情况下，基站到用户的直射路径是被障碍物遮蔽的，本文忽略了直接链路，估计的信道有：基站到反射面
G
G
G、反射面到用户
h
r
{h_r}
hr。
考虑下行链路估计，第t时刻，用户端接收到的信号： 
这表示IRS的相移矩阵，
θ
m
{\theta _m}
θm、
β
m
{\beta _m}
βm表示IRS第m个反射元素的相移和幅值系数，为了简化问题，假设
β
m
{\beta _m}
βm=1。
式中的 H ≜ d i a g ( h r H ) G H \triangleq diag(h_r^H)G H≜diag(hrH)G是级联信道，在用户端单天线的情况下， h r {h_r} hr信道是一个向量形式，因此可以做这样的变换。如果用户端是多天线，信道是矩阵的情况下就行不通了。
信道模型考虑窄带的情况并且IRS为UPA情形，BS-IRS信道可以如下建模： 
考虑到mmWave信道的稀疏性，路径L数很少，G可以这样表示： 
这里的
F
L
{F_L}
FL矩阵每一列都是由取不同
ϕ
l
{\phi _l}
ϕl取值的
∂
t
(
ϕ
l
)
{\partial _t}({\phi _l})
∂t(ϕl)组成，
F
x
{F_x}
Fx、
F
y
{F_y}
Fy同理。
⊗
\otimes
⊗表示克罗内克积，
∑
\sum\limits_{}^{} {}
∑是路径增益对应的稀疏矩阵。
接下来反射面到用户信道的建模与上面类似： 
上式包括克罗内克积和Khatri-Rao积的相关运算，具体知识可查阅张贤达老师的《矩阵分析与应用》。
总之，经过一系列运算后，得到了级联信道H的稀疏表示。接下来，文章中还对这种稀疏表示进行了简化，去除了大量的冗余列。（具体简化的证明可参照原文后的附录）
信道估计接下来便是利用级联信道的稀疏结构将估计值转化为压缩感知问题。 
上面这个式子已经把信道估计问题转化为稀疏信号恢复的问题，许多经典压缩感知算法，如OMP、BP等都可以用来估计稀疏信号X。
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