对于一个窄带的混合波束成形系统， 导频接收信号可表示为： Y = W H V S T + W Z (1) \mathbf{Y}=\mathbf{W} \mathbf{H} \mathbf{V} \mathbf{S}^{T}+\mathbf{W Z} \tag{1} Y=WHVST+WZ(1)
参数： N t N_\mathrm{t} Nt : 发送天线数 N r N_\mathrm{r} Nr ： 接收天线数 N R F N_\mathrm{RF} NRF : 射频链路， 暂定收发相等 N s N_\mathrm{s} Ns ：数据流数 N w N_w Nw:接收观测次数 N v N_v Nv：发送观测次数
（1）中变量含义：
-
N v N_v Nv次发送观测的发送信号： S = [ s 1 … 0 0 … 0 0 … s N v ] N S N v × N s N v \mathbf{S}=\left[\begin{array}{ccc} \mathbf{s}_{1} & \ldots & 0 \\ 0 & \ldots & 0 \\ 0 & \ldots & \mathbf{s}_{N_{v}} \end{array}\right]_{N_{S} N_{v} \times N_{s} N_{v}} S=⎣⎡s100………00sNv⎦⎤NSNv×NsNv s k \mathbf{s}_k sk代表第 k k k次发送观测时发送的数据流信号。
-
N v N_v Nv次发送观测的发送波束成形矩阵： V = [ V 1 … V N v ] N t × N s N v \mathbf{V}=\left[\begin{array}{lll} \mathbf{V}_{1} & \ldots & \mathbf{V}_{N_{v}} \end{array}\right]_{N_\mathrm{t}\times N_\mathrm{s}N_\mathrm{v}} V=[V1…VNv]Nt×NsNv V k \mathbf{V}_k Vk代表第 k k k次发送观测时的发送波束成形矩阵
-
H \mathbf{H} H： 被假定为时不变的窄带信道 N r × N t N_\mathrm{r}\times N_\mathrm{t} Nr×Nt
-
N w N_w Nw次接收观测的接收波束成形矩阵： W = [ W 1 … W N w ] N s N w × N r \mathbf{W}=\left[\begin{array}{c} \mathbf{W}_{1} \\ \ldots \\ \mathbf{W}_{N_{w}} \end{array}\right]_{N_{s} N_{w} \times N_{r}} W=⎣⎡W1…WNw⎦⎤NsNw×Nr
-
高斯噪声： Z N r × N v N s \mathbf{Z}_{N_\mathrm{r}\times N_\mathrm{v}N_\mathrm{s}} ZNr×NvNs， 每一个元素都为方差为 σ 2 \sigma^2 σ2的高斯变量，因此有： Z Z H = σ 2 N v N s I N r \mathbf{Z}\mathbf{Z}^H=\sigma^2N_vN_\mathrm{s}\mathbf{I}_{N_\mathrm{r}} ZZH=σ2NvNsINr
-
多次观测汇总的接收到的信号(为简洁，省略了噪声项:
可以这样理解：
Y
i
j
\mathbf{Y}_{ij}
Yij对应了使用
W
i
\mathbf{W}_{i}
Wi和
V
j
\mathbf{V}_{j}
Vj进行接收的结果。这个是最通用的模型。 对于比如做基站的信道估计设计，无需考虑用户时， 就可以认为
V
k
\mathbf{V}_k
Vk是不变的， 即
V
1
=
.
.
.
=
V
N
v
\mathbf{V}_1 = ... = \mathbf{V}_{N_v}
V1=...=VNv。
2020/11/25: 发现（1）式错误， 正确的噪声应为： d i a g b l k ( [ W 1 … , W i ] ) Z \mathrm{diagblk}([\mathbf{W}_{1}\dots, \mathbf{W}_{i}])\mathbf{Z} diagblk([W1…,Wi])Z, 其中 $\mathbf{Z} = [\mathbf{Z}1^T, \dots, \mathbf{Z}{N_w}T]T. $
克拉美罗界的求取：回到式(1): Y = W H V S T + W Z (1) \mathbf{Y}=\mathbf{W} \mathbf{H} \mathbf{V} \mathbf{S}^{T}+\mathbf{W Z} \tag{1} Y=WHVST+WZ(1) 利用定理： vec ( A B C ) = ( C T ⊗ A ) vec ( B ) (2) \operatorname{vec}(\boldsymbol{A B C})=\left(\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \otimes \boldsymbol{A}\right) \operatorname{vec}(\boldsymbol{B}) \tag{2} vec(ABC)=(CT⊗A)vec(B)(2) 我们将(1)矢量化： y = ( ( V S T ) ⊗ W ) h + n (3) \mathbf{y}=((\mathbf{V} \mathbf{S}^{T})\otimes \mathbf{W}) \mathbf{h}+\mathbf{n} \tag{3} y=((VST)⊗W)h+n(3)
其中, n = v e c ( W Z ) \mathbf{n}=\mathrm{vec}(\mathbf{W}\mathbf{Z}) n=vec(WZ) 由式(2)， 我们有： n = ( I ⊗ W ) z \mathbf{n} = (\mathbf{I} \otimes \mathbf{W}) \mathbf{z} n=(I⊗W)z 其中 z = v e c ( Z ) \mathbf{z} = \mathrm{vec}(\mathbf{Z}) z=vec(Z) 显然是高斯向量， 满足： z z H = σ 2 I \mathbf{z}\mathbf{z}^H = \sigma^2\mathbf{I} zzH=σ2I 因此： n n H = ( I ⊗ W ) z z H ( I ⊗ W ) H = σ 2 ( I ⊗ W ) ( I ⊗ W ) H \mathbf{n}\mathbf{n}^H = (\mathbf{I} \otimes \mathbf{W}) \mathbf{z} \mathbf{z}^H(\mathbf{I} \otimes \mathbf{W})^H = \sigma^2(\mathbf{I} \otimes \mathbf{W})(\mathbf{I} \otimes \mathbf{W})^H nnH=(I⊗W)zzH(I⊗W)H=σ2(I⊗W)(I⊗W)H 对于(3)式， 令 Φ = ( V S T ) ⊗ W \mathbf{\Phi} = (\mathbf{V} \mathbf{S}^{T})\otimes \mathbf{W} Φ=(VST)⊗W， (3)是满足以下高斯分布的向量：
y ∼ C N ( Φ h , σ 2 ( I ⊗ W ) ( I ⊗ W ) H ) \mathbf{y} \sim \mathcal{CN}(\mathbf{\Phi}\mathbf{h}, \sigma^2(\mathbf{I} \otimes \mathbf{W})(\mathbf{I} \otimes \mathbf{W})^H) y∼CN(Φh,σ2(I⊗W)(I⊗W)H)
为便于后面的分析， 在这一步我进行简化， 但后续的步骤仍可适用于普遍场景。 这一步， 我们假定 波束成形矩阵 W k \mathbf{W}_k Wk 是由partially-connected的结构实现（纯ABF， 没有数字处理， 且 N R F = N s N_\mathrm{RF} = N_\mathrm{s} NRF=Ns）。 即： W k = d i a g ( w 1 , . . . , w N s ) \mathbf{W}_k = \mathrm{diag}(\mathbf{w}_1,..., \mathbf{w}_{N_\mathrm{s}}) Wk=diag(w1,...,wNs)也就是说有： W k W k H = N r N s I \mathbf{W}_k\mathbf{W}_k^H=\frac{N_\mathrm{r}}{N_\mathrm{s}}\mathbf{I} WkWkH=NsNrI,
由此， 根据分块矩阵相乘， 我们有： ( I ⊗ W ) ( I ⊗ W ) H = N r N s I (\mathbf{I} \otimes \mathbf{W})(\mathbf{I} \otimes \mathbf{W})^H=\frac{N_\mathrm{r}}{N_\mathrm{s}}\mathbf{I} (I⊗W)(I⊗W)H=NsNrI, 即：
y ∼ C N ( Φ h , N r N s σ 2 I ) \mathbf{y} \sim \mathcal{CN}(\mathbf{\Phi}\mathbf{h}, \frac{N_\mathrm{r}}{N_\mathrm{s}}\sigma^2\mathbf{I}) y∼CN(Φh,NsNrσ2I).
对于高斯向量 y \mathbf{y} y， 由定理（可以根据克拉美罗定义推出），信息矩阵 F \mathbf{F} F可表示为：
F = 2 R e { ∂ ( Φ h ) H ∂ Ω ( N r N s σ 2 I ) − 1 ∂ ( Φ h ) ∂ Ω T } = 2 N s N r σ 2 R e { ∂ ( Φ h ) H ∂ Ω ∂ ( Φ h ) ∂ Ω T } (4) \mathbf{F} = 2\mathrm{Re}\{\frac{\partial (\mathbf{\Phi}\mathbf{h})^H}{\partial \mathbf{\Omega}} (\frac{N_\mathrm{r}}{N_\mathrm{s}}\sigma^2\mathbf{I})^{-1}\frac{\partial (\mathbf{\Phi}\mathbf{h})}{\partial \mathbf{\Omega}^T}\}=\frac{2N_\mathrm{s}}{N_\mathrm{r}\sigma^2}\mathrm{Re}\{\frac{\partial (\mathbf{\Phi}\mathbf{h})^H}{\partial \mathbf{\Omega}}\frac{\partial (\mathbf{\Phi}\mathbf{h})}{\partial \mathbf{\Omega}^T}\} \tag{4} F=2Re{∂Ω∂(Φh)H(NsNrσ2I)−1∂ΩT∂(Φh)}=Nrσ22NsRe{∂Ω∂(Φh)H∂ΩT∂(Φh)}(4), 其中， Ω = [ θ , ϕ , R e { α } , I m { α } ] T \mathbf{\Omega}=[\theta, \phi, \mathrm{Re}\{\alpha\}, \mathrm{Im}\{\alpha\}]^T Ω=[θ,ϕ,Re{α},Im{α}]T 是需要估计的变量组成的向量。 注意， Ω \mathbf{\Omega} Ω是一个实数向量， 这也是(4)式成立的条件。 因此， 我们除了要估计的两个角度（接收水平角和仰角， 假设发送角度已知无需估计）， 也有要估计的信道增益 α \alpha α, 这是一个复数， 因此被拆成了实部和虚部来作为两个实数估计量。
我们先推下 ∂ ( Φ h ) H ∂ Ω \frac{\partial (\mathbf{\Phi}\mathbf{h})^H}{\partial \mathbf{\Omega}} ∂Ω∂(Φh)H, 由于 Φ \mathbf{\Phi} Φ与 Ω \mathbf{\Omega} Ω无关，由乘积的微分准则: ∂ ( Φ h ) H ∂ Ω = ∂ h H ∂ Ω Φ H = A H Φ H \frac{\partial (\mathbf{\Phi}\mathbf{h})^H}{\partial \mathbf{\Omega}}=\frac{\partial \mathbf{h}^H}{\partial \mathbf{\Omega}}\mathbf{\Phi}^H=\mathbf{A}^H\mathbf{\Phi}^H ∂Ω∂(Φh)H=∂Ω∂hHΦH=AHΦH 为书写方便暂记 A = ∂ h ∂ Ω \mathbf{A}=\frac{\partial \mathbf{h}}{\partial \mathbf{\Omega}} A=∂Ω∂h, 可以将（4）改写为： F = 2 N s N r σ 2 R e { ∂ ( Φ h ) H ∂ Ω ∂ ( Φ h ) ∂ Ω T } = 2 N s N r σ 2 R e { A H Φ H Φ A } (5) \mathbf{F}=\frac{2N_\mathrm{s}}{N_\mathrm{r}\sigma^2}\mathrm{Re}\{\frac{\partial (\mathbf{\Phi}\mathbf{h})^H}{\partial \mathbf{\Omega}}\frac{\partial (\mathbf{\Phi}\mathbf{h})}{\partial \mathbf{\Omega}^T}\}=\frac{2N_\mathrm{s}}{N_\mathrm{r}\sigma^2}\mathrm{Re}\{\mathbf{A}^H\mathbf{\Phi}^H\mathbf{\Phi}\mathbf{A}\} \tag{5} F=Nrσ22NsRe{∂Ω∂(Φh)H∂ΩT∂(Φh)}=Nrσ22NsRe{AHΦHΦA}(5) 那么， CRLB矩阵可写为： C = F − 1 \mathbf{C} = \mathbf{F}^{-1} C=F−1
最后， 只需要求解 A \mathbf{A} A矩阵， 就可以得到 C \mathbf{C} C了。 有： A = ∂ h ∂ Ω = [ ∂ h ∂ θ ∂ h ∂ ϕ ∂ h ∂ Re { α } ∂ h ∂ Im { α } ] \mathbf{A}=\frac{\partial \mathbf{h}}{\partial \mathbf{\Omega}}=\left[\begin{array}{c} \frac{\partial \mathbf{h}}{\partial \theta} \\ \frac{\partial \mathbf{h}}{\partial \phi} \\ \frac{\partial \mathbf{h}}{\partial \operatorname{Re}\{\alpha\}} \\ \frac{\partial \mathbf{h}}{\partial \operatorname{Im}\{\alpha\}} \end{array}\right] A=∂Ω∂h=⎣⎢⎢⎢⎡∂θ∂h∂ϕ∂h∂Re{α}∂h∂Im{α}∂h⎦⎥⎥⎥⎤ 逐个击破即可。 根据信道(只考虑单径这里）： H = α a r a t H \mathbf{H} = \alpha\mathbf{a}_\mathrm{r}\mathbf{a}_\mathrm{t}^H H=αaratH, 其中， 由于考虑的是UPA信道， a r = v e c ( A r ) A r , p q = e j π ( ( q − 1 ) cos θ sin ϕ + ( p − 1 ) cos ϕ ) (6) \mathbf{a}_\mathrm{r}=\mathrm{vec}(\mathbf{A_r})\\ \mathbf{A}_{r, pq}=e^{j\pi((q-1)\cos\theta\sin\phi+(p-1)\cos\phi)} \tag{6} ar=vec(Ar)Ar,pq=ejπ((q−1)cosθsinϕ+(p−1)cosϕ)(6), 这个建模建立： UPA是在y-z轴上， θ \theta θ是入射波投影到x-y平面与x轴的夹角（水平角）， ϕ \phi ϕ是与z轴的夹角。 A r , 11 \mathbf{A}_{r, 11} Ar,11代表的第一个天线是UPA左下角的天线， 即坐标轴原点。注意， 如果是部分连接的话，不能直接列化， 要分段列化。
根据微分的性质，（考虑到 a t \mathbf{a}_t at与到达波的变量（我们要估计的量）无关） 有: ∂ h = ∂ v e c ( H ) = ∂ v e c ( α a r a t H ) = v e c ( ∂ ( α a r a t H ) ) = v e c ( ∂ ( α a r ) a t H ) = v e c ( v e c ( ∂ ( α A r ) ) a t H ) (7) \partial \mathbf{h}=\partial \mathrm{vec}(\mathbf{H})=\partial \mathrm{vec}(\alpha\mathbf{a}_\mathrm{r}\mathbf{a}_\mathrm{t}^H)=\mathrm{vec}(\partial (\alpha\mathbf{a}_\mathrm{r}\mathbf{a}_\mathrm{t}^H) )\\=\mathrm{vec}(\partial (\alpha\mathbf{a}_\mathrm{r}) \mathbf{a}_\mathrm{t}^H)=\mathrm{vec}(\mathrm{vec}(\partial (\alpha\mathbf{A}_\mathrm{r})) \mathbf{a}_\mathrm{t}^H) \tag{7} ∂h=∂vec(H)=∂vec(αaratH)=vec(∂(αaratH))=vec(∂(αar)atH)=vec(vec(∂(αAr))atH)(7)
-
求取 ∂ h ∂ θ \frac{\partial \mathbf{h}}{\partial \theta} ∂θ∂h: 由(7), ∂ h ∂ θ = α v e c ( v e c ( ∂ ( A r ) ∂ θ ) a t H ) (8) \frac{\partial \mathbf{h}}{\partial \theta}=\alpha\mathrm{vec}(\mathrm{vec}(\frac{\partial (\mathbf{A}_\mathrm{r})}{\partial \theta}) \mathbf{a}_\mathrm{t}^H) \tag{8} ∂θ∂h=αvec(vec(∂θ∂(Ar))atH)(8) 由(6)有： [ ∂ ( A r ) ∂ θ ] p q = ∂ ( A r ， p q ) ∂ θ = − j π ( ( q − 1 ) sin θ sin ϕ + ( p − 1 ) cos ϕ ) e j π ( ( q − 1 ) cos θ sin ϕ + ( p − 1 ) cos ϕ ) [\frac{\partial (\mathbf{A}_\mathrm{r})}{\partial \theta}]_{pq}=\frac{\partial (\mathbf{A}_{\mathrm{r}， pq})}{\partial \theta}=-j\pi((q-1)\sin\theta\sin\phi+(p-1)\cos\phi)e^{j\pi((q-1)\cos\theta\sin\phi+(p-1)\cos\phi)} [∂θ∂(Ar)]pq=∂θ∂(Ar，pq)=−jπ((q−1)sinθsinϕ+(p−1)cosϕ)ejπ((q−1)cosθsinϕ+(p−1)cosϕ) 代入可求得(8)。
-
求取 ∂ h ∂ ϕ \frac{\partial \mathbf{h}}{\partial \phi} ∂ϕ∂h: 由（7）， ∂ h ∂ θ = α v e c ( v e c ( ∂ ( A r ) ∂ ϕ ) a t H ) (8) \frac{\partial \mathbf{h}}{\partial \theta}=\alpha\mathrm{vec}(\mathrm{vec}(\frac{\partial (\mathbf{A}_\mathrm{r})}{\partial \phi}) \mathbf{a}_\mathrm{t}^H) \tag{8} ∂θ∂h=αvec(vec(∂ϕ∂(Ar))atH)(8) 由(6)有， [ ∂ ( A r ) ∂ ϕ ] p q = ∂ ( A r ， p q ) ∂ ϕ = j π ( ( q − 1 ) cos θ cos ϕ − ( p − 1 ) sin ϕ ) e j π ( ( q − 1 ) cos θ sin ϕ + ( p − 1 ) cos ϕ ) [\frac{\partial (\mathbf{A}_\mathrm{r})}{\partial \phi}]_{pq}=\frac{\partial (\mathbf{A}_{\mathrm{r}， pq})}{\partial \phi}=j\pi((q-1)\cos\theta\cos\phi-(p-1)\sin\phi)e^{j\pi((q-1)\cos\theta\sin\phi+(p-1)\cos\phi)} [∂ϕ∂(Ar)]pq=∂ϕ∂(Ar，pq)=jπ((q−1)cosθcosϕ−(p−1)sinϕ)ejπ((q−1)cosθsinϕ+(p−1)cosϕ)
-
求取 ∂ h ∂ R e { α } \frac{\partial \mathbf{h}}{\partial \mathrm{Re}\{\alpha\}} ∂Re{α}∂h:
-
由(7): ∂ h R e { α } = v e c ( ∂ ( α a r a t H ) ) R e { α } = ∂ α R e { α } v e c ( a r a t H ) = v e c ( a r a t H ) \frac{\partial \mathbf{h}}{\mathrm{Re}\{\alpha\}}=\frac{\mathrm{vec}(\partial (\alpha\mathbf{a}_\mathrm{r}\mathbf{a}_\mathrm{t}^H) )}{\mathrm{Re}\{\alpha\}}=\frac{\partial \alpha}{\mathrm{Re}\{\alpha\}}\mathrm{vec}(\mathbf{a}_\mathrm{r}\mathbf{a}_\mathrm{t}^H)= \mathrm{vec}(\mathbf{a}_\mathrm{r}\mathbf{a}_\mathrm{t}^H) Re{α}∂h=Re{α}vec(∂(αaratH))=Re{α}∂αvec(aratH)=vec(aratH) 类似的， ∂ h I m { α } = j v e c ( a r a t H ) \frac{\partial \mathbf{h}}{\mathrm{Im}\{\alpha\}}=j \mathrm{vec}(\mathbf{a}_\mathrm{r}\mathbf{a}_\mathrm{t}^H) Im{α}∂h=jvec(aratH)
至此， 求解完毕， 可以得到克拉美罗阵 C \mathbf{C} C。
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