在通信中，大部分的问题都是复数问题， 而大部分其他领域的问题都是实数问题， 也导致许多方法直观上看并不能简单地拓展到复数域来解决通信的问题。 然而事实上， 绝大部分的实数算法都可以拓展到复数域，其核心思想大多都是将复数矩阵等效为一个实数矩阵，这样就可以满足实数算法的要求了。 本文讨论的就是如何将复数矩阵等效为一个实数矩阵。
本文的参考文献为： 复矩阵的两种实表示形式
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定义一： 本文中采用的 等效表示为： 对于任意一个 M × N M\times N M×N的复数矩阵 X = A + B j X = A + Bj X=A+Bj, 其实数等效矩阵为 Y Y Y： Y = R ( X ) = [ A − B B A ] Y = R(X) = \left[\begin{array}{cc} A & -B \\ B & A \end{array}\right] Y=R(X)=[AB−BA] 其中， R ( X ) R(X) R(X)是一个 C M × N → R 2 M × 2 N \mathbb{C}^{M\times N}\rightarrow \mathbb{R}^{2M\times 2N} CM×N→R2M×2N的映射。
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推理一： R ( X 1 ) + R ( X 2 ) = R ( X 1 + X 2 ) R(X_1) + R(X_2) = R(X_1 + X_2) R(X1)+R(X2)=R(X1+X2) 证明： 由定义即可证明， 左边为： R ( X 1 ) + R ( X 2 ) = [ A 1 − B 1 B 1 A 1 ] + [ A 2 − B 2 B 2 A 2 ] = [ A 1 + A 2 − ( B 1 + B 2 ) B 1 + B 2 A 1 + A 2 ] R(X_1) + R(X_2)=\left[\begin{array}{cc} A_1 & -B_1 \\ B_1 & A_1 \end{array}\right] +\left[\begin{array}{cc} A_2 & -B_2 \\ B_2 & A_2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} A_1 +A_2 & -(B_1 + B_2) \\ B_1 + B_2& A_1 + A_2 \end{array}\right] R(X1)+R(X2)=[A1B1−B1A1]+[A2B2−B2A2]=[A1+A2B1+B2−(B1+B2)A1+A2] 显然等于右边。
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推理二： R ( X 1 ) R ( X 2 ) = R ( X 1 X 2 ) R(X_1)R(X_2) = R(X_1X_2) R(X1)R(X2)=R(X1X2) 证明： 由定义及分块矩阵相乘法则可得， 左边为： R ( X 1 ) R ( X 2 ) = [ A 1 − B 1 B 1 A 1 ] [ A 2 − B 2 B 2 A 2 ] = [ A 1 A 2 − B 1 B 2 − ( A 1 B 2 + B 1 A 2 ) A 1 B 2 + B 1 A 2 A 1 A 2 − B 1 B 2 ] R(X_1) R(X_2)=\left[\begin{array}{cc} A_1 & -B_1 \\ B_1 & A_1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} A_2 & -B_2 \\ B_2 & A_2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} A_1 A_2 - B_1B_2& -(A_1B_2+B_1A_2) \\ A_1B_2+B_1A_2& A_1 A_2 - B_1B_2 \end{array}\right] R(X1)R(X2)=[A1B1−B1A1][A2B2−B2A2]=[A1A2−B1B2A1B2+B1A2−(A1B2+B1A2)A1A2−B1B2] 显然等于右边。 这里也可以看出为什么我们要这么设计 R ( X ) R(X) R(X)。同理， 很容易得： R ( X 1 ) R ( X 2 ) . . . R ( X n ) = R ( X 1 X 2 . . . X n ) R(X_1)R(X_2)...R(X_n) = R(X_1X_2...X_n) R(X1)R(X2)...R(Xn)=R(X1X2...Xn), 不赘述。
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推理三： R ( X H ) = R ( X ) T R(X^H) = R(X)^T R(XH)=R(X)T ( R ( X T ) ≠ R ( X ) T R(X^T) \ne R(X)^T R(XT)=R(X)T) 证明： 也是定义即可。
R ( X H ) = [ A T B T − B T A T ] R(X^H) = \left[\begin{array}{cc} A^T & B^T \\ -B^T & A^T \end{array}\right] R(XH)=[AT−BTBTAT] 显然等于右边。这是一个重要的结论。
有这三条基本推理， 可以推导出很多相关的结论了。
- 推理四： 对于奇异值分解 X = U Σ V H X=U\Sigma V^H X=UΣVH: R ( X ) = R ( U ) R ( Σ ) ( R ( V ) ) T R(X) = R(U)R(\Sigma)(R(V))^T R(X)=R(U)R(Σ)(R(V))T 证明： R ( X ) = R ( U Σ V H ) = R ( U ) R ( Σ ) R ( V H ) R(X) = R(U\Sigma V^H)=R(U)R(\Sigma)R(V^H) R(X)=R(UΣVH)=R(U)R(Σ)R(VH) 再由定理三， 可得。
后面再想到一些常用的操作再补充了。
