对于常见MIMO系统，我们知道对于确定性信道，性能通常由速率衡量，如下： R = log det ( I + H Q H H ) R = \log\det(I +HQH^H) R=logdet(I+HQHH) 其中， H H H代表信道， Q = F F H Q = FF^H Q=FFH， F F F为预编码矩阵。 而对于随机信道，性能往往由遍历速率衡量，即速率的期望如下： R = E { log det ( I + H Q H H ) } , R = E\{\log\det(I + HQH^H)\} , R=E{logdet(I+HQHH)}, 其中 E E E是对 H H H取期望。
那么，由于 log det ( X ) \log\det(X) logdet(X)为凹函数， 因此有： E { log det ( I + H Q H H ) } ≤ log det ( I + E { H Q H H } ) E\{\log\det(I + HQH^H)\}\le \log\det(I + E\{HQH^H\}) E{logdet(I+HQHH)}≤logdet(I+E{HQHH}) 也即琴生不等式。 log det ( Z ) \log\det(Z) logdet(Z)的凹性证明如下， 根据定义， 其等价于证明 g ( t ) = log det ( Z + t V ) g(t)=\log\det(Z+tV) g(t)=logdet(Z+tV)对于任意 V V V和 Z Z Z都是凸的。 而： g ( t ) = log det ( Z + t V ) = log det ( Z 1 / 2 ( I + t Z − 1 / 2 V Z − 1 / 2 ) Z 1 / 2 ) = ∑ i = 1 n log ( 1 + t λ i ) + log det Z \begin{aligned} g(t) &=\log \operatorname{det}(Z+t V) \\ &=\log \operatorname{det}\left(Z^{1 / 2}\left(I+t Z^{-1 / 2} V Z^{-1 / 2}\right) Z^{1 / 2}\right) \\ &=\sum_{i=1}^{n} \log \left(1+t \lambda_{i}\right)+\log \operatorname{det} Z \end{aligned} g(t)=logdet(Z+tV)=logdet(Z1/2(I+tZ−1/2VZ−1/2)Z1/2)=i=1∑nlog(1+tλi)+logdetZ 其中 λ i \lambda_i λi为 ( I + t Z − 1 / 2 V Z − 1 / 2 ) \left(I+t Z^{-1 / 2} V Z^{-1 / 2}\right) (I+tZ−1/2VZ−1/2)的特征值。 而 log \log log是凹函数，故 g ( t ) g(t) g(t)显然是关于 t t t的凹函数。 第二步等式中，用到了性质 det ( A B ) = det ( A ) det ( B ) \det(AB)=\det(A)\det(B) det(AB)=det(A)det(B)。
