参考维基百科: https://en.wikipedia.org/wiki/QR_decomposition
在线性代数中， 对于一个矩阵 A A A， 我们有 A = Q R A = QR A=QR 其中， Q Q Q是一个正交矩阵， 而 R R R是一个上三角矩阵。 这样的分解我们称之为 QR分解。
下三角矩阵： 方阵的一种特殊类型， 对角线上方的元素全为0。 同理上三角矩阵指的就是对角线下方的元素全为0。
当 A A A为方阵时， A = Q R A=QR A=QR, Q Q Q和 R R R均为方阵， 此时 Q T Q = Q Q T = I Q^TQ=QQ^T=I QTQ=QQT=I, 在复数情况下， Q H Q = Q Q H = I Q^HQ=QQ^H=I QHQ=QQH=I.
对于非方阵的QR分解若 A A A的维度为 m × n m\times n m×n， m ≥ n m\ge n m≥n，QR分解为： A = Q R = Q [ R 1 0 ] = [ Q 1 , Q 2 ] [ R 1 0 ] = Q 1 R 1 A=Q R=Q\left[\begin{array}{c} R_{1} \\ 0 \end{array}\right]=\left[Q_{1}, Q_{2}\right]\left[\begin{array}{c} R_{1} \\ 0 \end{array}\right]=Q_{1} R_{1} A=QR=Q[R10]=[Q1,Q2][R10]=Q1R1 Q Q Q 仍是一个正交矩阵（酉阵）， R R R是一个上三角矩阵（上面部分的是一个上三角矩阵， 下面为0矩阵）。 Q 1 Q_1 Q1的维度为 m × n m\times n m×n， Q 2 Q_2 Q2的维度为 m × ( m − n ) m\times (m-n) m×(m−n)。 显然有 Q 1 T Q 1 = I Q_1^TQ_1=I Q1TQ1=I。
计算QR分解的方法利用 Gram–Schmidt正交化： 定义投影操作为: proj u a = ⟨ u , a ⟩ ⟨ u , u ⟩ u \operatorname{proj}_{\mathbf{u}} \mathbf{a}=\frac{\langle\mathbf{u}, \mathbf{a}\rangle}{\langle\mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle} \mathbf{u} projua=⟨u,u⟩⟨u,a⟩u， 也就是获取 a \mathbf{a} a在 u \mathbf{u} u方向上的分量。 对于一个满秩矩阵 A = [ a 1 , … , a n ] A=\left[\mathbf{a}_{1}, \ldots, \mathbf{a}_{n}\right] A=[a1,…,an]，
u 1 = a 1 , e 1 = u 1 ∥ u 1 ∥ u 2 = a 2 − proj u 1 a 2 , e 2 = u 2 ∥ u 2 ∥ u 3 = a 3 − proj u 1 a 3 − proj u 2 a 3 , e 3 = u 3 ∥ u 3 ∥ ⋮ u k = a k − ∑ j = 1 k − 1 proj u j a k , e k = u k ∥ u k ∥ \begin{aligned} &\begin{array}{ll} \mathbf{u}_{1}=\mathbf{a}_{1}, & \mathbf{e}_{1}=\frac{\mathbf{u}_{1}}{\left\|\mathbf{u}_{1}\right\|} \\ \mathbf{u}_{2}=\mathbf{a}_{2}-\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_{1}} \mathbf{a}_{2}, & \mathbf{e}_{2}=\frac{\mathbf{u}_{2}}{\left\|\mathbf{u}_{2}\right\|} \\ \mathbf{u}_{3}=\mathbf{a}_{3}-\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_{1}} \mathbf{a}_{3}-\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_{2}} \mathbf{a}_{3}, & \mathbf{e}_{3}=\frac{\mathbf{u}_{3}}{\left\|\mathbf{u}_{3}\right\|} \end{array}\\ &\vdots\\ &\mathbf{u}_{k}=\mathbf{a}_{k}-\sum_{j=1}^{k-1} \operatorname{proj}_{\mathbf{u}_{j}} \mathbf{a}_{k}, \quad \mathbf{e}_{k}=\frac{\mathbf{u}_{k}}{\left\|\mathbf{u}_{k}\right\|} \end{aligned} u1=a1,u2=a2−proju1a2,u3=a3−proju1a3−proju2a3,e1=∥u1∥u1e2=∥u2∥u2e3=∥u3∥u3⋮uk=ak−j=1∑k−1projujak,ek=∥uk∥uk
因为我们可以将 a i \mathbf{a}_i ai表示为： a 1 = ⟨ e 1 , a 1 ⟩ e 1 a 2 = ⟨ e 1 , a 2 ⟩ e 1 + ⟨ e 2 , a 2 ⟩ e 2 a 3 = ⟨ e 1 , a 3 ⟩ e 1 + ⟨ e 2 , a 3 ⟩ e 2 + ⟨ e 3 , a 3 ⟩ e 3 ⋮ a k = ∑ j = 1 k ⟨ e j , a k ⟩ e j \begin{aligned} \mathbf{a}_{1} &=\left\langle\mathbf{e}_{1}, \mathbf{a}_{1}\right\rangle \mathbf{e}_{1} \\ \mathbf{a}_{2} &=\left\langle\mathbf{e}_{1}, \mathbf{a}_{2}\right\rangle \mathbf{e}_{1}+\left\langle\mathbf{e}_{2}, \mathbf{a}_{2}\right\rangle \mathbf{e}_{2} \\ \mathbf{a}_{3} &=\left\langle\mathbf{e}_{1}, \mathbf{a}_{3}\right\rangle \mathbf{e}_{1}+\left\langle\mathbf{e}_{2}, \mathbf{a}_{3}\right\rangle \mathbf{e}_{2}+\left\langle\mathbf{e}_{3}, \mathbf{a}_{3}\right\rangle \mathbf{e}_{3} \\ & \vdots \\ \mathbf{a}_{k} &=\sum_{j=1}^{k}\left\langle\mathbf{e}_{j}, \mathbf{a}_{k}\right\rangle \mathbf{e}_{j} \end{aligned} a1a2a3ak=⟨e1,a1⟩e1=⟨e1,a2⟩e1+⟨e2,a2⟩e2=⟨e1,a3⟩e1+⟨e2,a3⟩e2+⟨e3,a3⟩e3⋮=j=1∑k⟨ej,ak⟩ej
那么 A A A的QR分解就可以写为： Q = [ e 1 , … , e n ] Q=\left[\mathbf{e}_{1}, \ldots, \mathbf{e}_{n}\right] Q=[e1,…,en]
和
R = ( ⟨ e 1 , a 1 ⟩ ⟨ e 1 , a 2 ⟩ ⟨ e 1 , a 3 ⟩ … 0 ⟨ e 2 , a 2 ⟩ ⟨ e 2 , a 3 ⟩ … 0 0 ⟨ e 3 , a 3 ⟩ … ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ) R=\left(\begin{array}{cccc} \left\langle\mathbf{e}_{1}, \mathbf{a}_{1}\right\rangle & \left\langle\mathbf{e}_{1}, \mathbf{a}_{2}\right\rangle & \left\langle\mathbf{e}_{1}, \mathbf{a}_{3}\right\rangle & \ldots \\ 0 & \left\langle\mathbf{e}_{2}, \mathbf{a}_{2}\right\rangle & \left\langle\mathbf{e}_{2}, \mathbf{a}_{3}\right\rangle & \ldots \\ 0 & 0 & \left\langle\mathbf{e}_{3}, \mathbf{a}_{3}\right\rangle & \ldots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{array}\right) R=⎝⎜⎜⎜⎛⟨e1,a1⟩00⋮⟨e1,a2⟩⟨e2,a2⟩0⋮⟨e1,a3⟩⟨e2,a3⟩⟨e3,a3⟩⋮………⋱⎠⎟⎟⎟⎞
