好久没更新智能反射面系列的博客了， 离第一篇的相关博客已经过了整整一年，而在2020年中智能反射面的paper日愈增多， 单块智能反射面 （IRS） 的系统及各种问题也被研究地七七八八。 随着研究的日益深入， 同时存在多块智能反射面 （multiple-IRS）的通信系统 近期也已经被广泛讨论。 本篇博客是基于最近的一篇 Jsac论文 ：Robust and Secure Wireless Communications via Intelligent Reflecting Surfaces ( 第一作者也是本博客的老熟人Xianghao Yu学长了）， 以从单IRS拓展的形式， 简单介绍下多IRS系统的建模。
单IRS系统模型这一部分之前写过一些， 可以参考
- Matlab代码实现智能反射面的信道仿真
- 智能反射面综述
- 基于智能反射面的MISO通信的最优波束赋形
简单回顾下： 
y
=
(
h
r
H
Φ
G
+
h
H
)
f
x
+
n
y=\left(\mathbf{h}_{\mathrm{r}}^{H} \mathbf{\Phi} \mathbf{G}+\mathbf{h}^{H}\right) \mathbf{f} x+n
y=(hrHΦG+hH)fx+n
各种参数的意义：
- h r H \mathbf{h}_r^H hrH: IRS-UE的信道
- Φ \mathbf{\Phi} Φ: 智能反射面的相移矩阵， 是一个对角阵
- G \mathbf{G} G ： AP （基站，BS）-IRS的信道
- f \mathbf{f} f: 发送波束成形向量
- n n n: 高斯噪声
现在，我们拓展到同时有多个IRS的系统模型。
图片取自前言中的Jsac论文， 大家可以下载原文拜读。 这应该是现在IRS系统的差不多最复杂场景了： 多IRS， 多用户， 多窃听者。 由于原文考虑的是安全通信的问题， 而许多IRS的研究问题其实没有窃听者的存在， 因此本文重点讨论 基站（AP）通过多IRS和用户间的通信建模。
首先， 有两个非常重要的假设：
- 经过多个IRS反射的信号，认为可忽略。 如 AP-IRS1-IRS2-UE这条link就可以在建模中不考虑。 原因有二： 首先， 合适的波束成形及反射面设计后，由反射面反射出的信号应对准用户， 而因此到达另一块反射面的信号就非常微弱。 其次， 反射面之间的不断反射不仅对信号有衰减作用， 而更远的路程也使得信道增益进一步下降， 因此， 本假设是合理的。
- 多IRS系统仍是一个窄带系统。 这是因为不同智能反射面反射的路径的距离差往往很小， 因此可以认为远小于码元周期。 文章中举的具体数值数据是， 对于一个半径200米的小区， 两个智能反射面的反射路径距离差，即AP-IRS1-UE 和 AP-IRS2-UE的距离差造成的延时最大为 1.7 μ 1.7\mu 1.7μs， 而LTE系统的标准单个码元周期为 70 μ 70\mu 70μs左右， 因此，可以认为系统是个窄带系统， 也就是没有多径干扰。 (宽窄带和多径概念不熟悉的推荐参阅下这篇博客 【OFDM技术的最简讲解（上）】窄带、宽带与频分复用、多载波调制的讲解.
有了这两个假设，建模就非常容易了。以单用户为例，假设共有 L L L 个IRS， 接收到的信号可以表示为：
y = ∑ l = 1 L h l H Φ l G l f s + n y=\sum\limits_{l =1}^L \mathbf{h}_{ l}^{H} \mathbf{\Phi}_{l} \mathbf{G}_{l} \mathbf{f}s+n y=l=1∑LhlHΦlGlfs+n
各种参数的意义：
- h l H \mathbf{h}_l^H hlH: 第 l l l 个 IRS 到UE的信道
- Φ l \mathbf{\Phi}_l Φl: 第 l l l 个智能反射面的相移矩阵， 是一个对角阵
- G l \mathbf{G}_l Gl ：AP （基站，BS）到第 l l l 个IRS的信道
- f \mathbf{f} f: 发送波束成形向量
- n n n: 高斯噪声
对比下单IRS系统， 可以发现， 每个IRS的建模其实就是一个单IRS系统的建模。 最后收到的信号就是 L L L 个智能反射面反射信号的加和。 由于第一条假设， 因此不需要考虑IRS之间再多次反射的路径。 由于第二条假设， 认为是一个窄带模型， 因此直接相加。
接下来， 再将模型用矩阵改写成更简洁的形式：
y = h H Φ G f s + n ， y= \mathbf{h}^{H} \mathbf{\Phi} \mathbf{G} \mathbf{f}s+n， y=hHΦGfs+n，
其中， h = [ h 1 , … , h L ] \mathbf{h} = [\mathbf{h}_1, \dots, \mathbf{h}_L] h=[h1,…,hL], Φ = b l k d i a g ( Φ 1 , … , Φ L ) \mathbf{\Phi} = \mathrm{blkdiag}(\mathbf{\Phi}_1,\dots, \mathbf{\Phi}_L) Φ=blkdiag(Φ1,…,ΦL), G = [ G 1 T , … , G L T ] T \mathbf{G}=[\mathbf{G}_1^T, \dots,\mathbf{G}_L^T]^T G=[G1T,…,GLT]T， 用分块矩阵相乘的性质很容易证明， 是和上面的求和形式是一致的， 而更简洁了。一般俗称把矩阵“摞起来”了， 注意， b l k d i a g \mathrm{blkdiag} blkdiag代表块对角矩阵， 因此 Φ \mathbf{\Phi} Φ显然也是对角阵了。
后话对比多IRS和单IRS的表达式，看上去非常相似， 那么具体有什么不同的细节呢？这里就不点出了， 留给大家思考吧。 今天的上海也太冷了， 坚持写完这篇博客就躺进被窝去。希望本文对你有所帮助。
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