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在无线通信中， 等效基带模型可以说是一切通信设计的基石。 但太多的教材个人觉得写得过于繁琐了， 本文希望用最浅显的方式介绍这个概念， 如题所示。
真实的通信传输我们先花一小节的时间简单讲述下真实的信道传输过程。 假设我们要发送的基带信号是 s ( t ) s(t) s(t)， 那么我们将其调制到射频上， 也就是变成了， s ( t ) cos ( 2 π f t ) s(t)\cos(2\pi ft) s(t)cos(2πft)来发送， 其中 f f f就是载波频率。为什么要调制到载波上呢？ 因为高频信号更适合无线通信， 通过奈奎斯特第一准则， 足够的带宽才能确保高速传输下信号间不互相干扰。 言归正传， 考虑一个简单的AWGN信道， 那么接收端收到的信号就是： y ( t ) = cos ( 2 π f t ) s ( t ) + n ( t ) y(t) = \cos(2\pi ft)s(t) + n(t) y(t)=cos(2πft)s(t)+n(t) 而恢复出基带信号（我们真正要传输的信号） s ( t ) s(t) s(t) 也非常简单 (忽略噪声）， y ( t ) cos ( 2 π f t ) = cos ( 2 π f t ) cos ( 2 π f t ) s ( t ) = 1 2 s ( t ) + cos ( 4 π f t ) 2 s ( t ) y(t)\cos(2\pi ft) = \cos(2\pi ft)\cos(2\pi ft)s(t) = \frac{1}{2}s(t) + \frac{ \cos(4\pi ft)}{2}s(t) y(t)cos(2πft)=cos(2πft)cos(2πft)s(t)=21s(t)+2cos(4πft)s(t) 显然， 第二项可以很容易滤除（如低通滤波器）， 那么就得到了第一项 s ( t ) s(t) s(t)。 考虑衰落信道 h ( t ) h(t) h(t)的影响呢？ 即 y ( t ) = h ( t ) cos ( 2 π f t ) s ( t ) + n ( t ) y(t) = h(t)\cos(2\pi ft)s(t) + n(t) y(t)=h(t)cos(2πft)s(t)+n(t) 同样的， y ( t ) cos ( 2 π f t ) = 1 2 h ( t ) s ( t ) + cos ( 4 π f t ) 2 h ( t ) s ( t ) y(t)\cos(2\pi ft) = \frac{1}{2}h(t)s(t) + \frac{ \cos(4\pi ft)}{2}h(t)s(t) y(t)cos(2πft)=21h(t)s(t)+2cos(4πft)h(t)s(t) 尽管只是一个窄带的模型， 但宽带同理。
等效基带模型传输信号时， 在发送端对基带信号进行 上变频 到射频发送， 再在接收端进行 下变频 回基带处理。 这样两个对称的过程， 完全可以在无线通信系统设计的时候省略嘛。 什么意思？ 就是直接将发送端和接收端的基带信号之间进行建模， 而省略了可以相互抵消的变频过程。 比如上面的传输过程， 我们其实可以很简单的建模为：
y b ( t ) = h b ( t ) s b ( t ) + n b ( t ) (1) y_b(t) = h_b(t)s_b(t) + n_b(t) \tag{1} yb(t)=hb(t)sb(t)+nb(t)(1)
注意， 这里每个符号下面都加了一个 b b b下标代表 baseband 基带。 y b ( t ) = y ( t ) cos ( 2 π f t ) y_b(t) = y(t)\cos(2\pi ft) yb(t)=y(t)cos(2πft)， h b ( t ) = 1 2 h ( t ) h_b(t) = \frac{1}{2}h(t) hb(t)=21h(t), s ( t ) = s b ( t ) s(t) = s_b(t) s(t)=sb(t) ( s ( t ) s(t) s(t)本来就是基带信号)， n b ( t ) = cos ( 2 π f t ) n ( t ) n_b(t) = \cos(2\pi ft)n(t) nb(t)=cos(2πft)n(t)。 注意到：
- 我们并不care载波的频率 f f f什么的， 我们默认： 发端用什么频率发， 收端也自然会以什么频率相干接受， 那么都能化成(1)中这样等效的基带表示形式。
- 从通信设计的角度， (1)式不仅等效地表示了发送和接收间的关系， 而且形式上简化了太多。把（1）中的下标去掉， 就是我们非常熟悉的 y ( t ) = h ( t ) x ( t ) + n ( t ) y(t) = h(t)x(t) + n(t) y(t)=h(t)x(t)+n(t)的典型通信系统表示了。 事实上，绝大部分的论文都不再设计射频而直接从等效基带建模， 因此很少有需要添加角标 b b b的场景，本文也只是为了和实际传输区分， 才添加的。
等效基带模型我认为核心贡献两部分：
- 通过上变频和下变频互相抵消， 在建模时省略而简化了模型
- 通过复数，简洁地合并了 I路 和 Q路。
本节介绍第二点。注意到，在第一节中， 我们用 cos ( 2 π f t ) \cos(2\pi ft) cos(2πft)作为载波传输信号，还有没有更高效的做法呢？ 有，令传输信号为： x ( t ) = cos ( 2 π f t ) s 1 ( t ) + sin ( 2 π f t ) s 2 ( t ) x(t) = \cos(2\pi ft)s_1(t) + \sin(2\pi ft)s_2(t) x(t)=cos(2πft)s1(t)+sin(2πft)s2(t) 注意这里我们相当于同时发送了 s 1 ( t ) s_1(t) s1(t)和 s 2 ( t ) s_2(t) s2(t) 两路信号。 接收端的处理也很简单， 忽略噪声的情况下，我们直接对x(t)： cos ( 2 π f t ) x ( t ) = 1 2 s 1 ( t ) + cos ( 4 π f t ) 2 s 1 ( t ) + sin ( 4 π f t ) 2 s 2 ( t ) \cos(2\pi ft)x(t)= \frac{1}{2}s_1(t) + \frac{ \cos(4\pi ft)}{2}s_1(t) + \frac{ \sin(4\pi ft)}{2}s_2(t) cos(2πft)x(t)=21s1(t)+2cos(4πft)s1(t)+2sin(4πft)s2(t) 注意到， 加载在 sin ( 2 π f t ) \sin(2\pi ft) sin(2πft)上的 s 2 ( t ) s_2(t) s2(t)那一项也变成了高频部分， 可以很容易滤除， 那么就可以剥离出 s 1 ( t ) s_1(t) s1(t)。 同理 sin ( 2 π f t ) x ( t ) = 1 2 s 2 ( t ) + sin ( 4 π f t ) 2 s 1 ( t ) − cos ( 4 π f t ) 2 s 2 ( t ) \sin(2\pi ft)x(t)= \frac{1}{2}s_2(t) + \frac{ \sin(4\pi ft)}{2}s_1(t) - \frac{ \cos(4\pi ft)}{2}s_2(t) sin(2πft)x(t)=21s2(t)+2sin(4πft)s1(t)−2cos(4πft)s2(t) 也能独立地分离出 s 2 ( t ) s_2(t) s2(t)， 也就是说：
- 可以分别在 cos ( 2 π f t ) \cos(2\pi ft) cos(2πft) 和 sin ( 2 π f t ) \sin(2\pi ft) sin(2πft) 上 同时加载两路信号发送。
- 接收端再分别通过 乘以 cos ( 2 π f t ) \cos(2\pi ft) cos(2πft) 和 sin ( 2 π f t ) \sin(2\pi ft) sin(2πft) 解调出两路信号。
为什么可以这样做呢？ 这是因为 cos \cos cos和 sin \sin sin天生的正交性。 在无线通信中，我们可以将 s 1 ( t ) s_1(t) s1(t)那一路（即加载在 cos ( 2 π f t ) \cos(2\pi ft) cos(2πft)上的）称为I路， 同向路， 而 s 2 ( t ) s_2(t) s2(t)那一路（加载在 sin ( 2 π f t ) \sin(2\pi ft) sin(2πft)上的那一路称为Q路， 也叫正交路。
知道了真实的传输， 我们再将其表示为等效基带形式。 注意到之前(1)式中的一路的等效基带模型中， s b ( t ) s_b(t) sb(t)是一个实数。 这是显然的， 因为物理世界中只有实数。 现在如果我们令： s b ( t ) = s 1 ( t ) + j s 2 ( t ) s_b(t) = s_1(t) + js_2(t) sb(t)=s1(t)+js2(t) 即， 实部代表I路， 虚部代表Q路。 那就用一个复数， 就同时代表了两路。 同样的， 把接收信号和信道也类似表示，有 y b ( t ) = h b ( t ) s b ( t ) + n b ( t ) (2) y_b(t) = h_b(t) s_b(t) + n_b(t) \tag{2} yb(t)=hb(t)sb(t)+nb(t)(2) 此时, y b ( t ) y_b(t) yb(t)的实部和虚部则分别对应了接收到的I路和Q路信号。 至此， 这就是等效基带的中心思想了： 用复数来替换繁杂的I路 和Q路表示。 这也是为什么通信中的数学都是复数的场景， 自然界的信号本是实数， 但人为地为了简化模型， 因此有了复数的表示。 经过这么多年的发展， 这基本已经是一个约定俗成的表达了， 也就是说论文了直接就是(2)这样的表示， 而不再涉及射频部分。
关于信道其实还留了一些坑， 比如信道 h b ( t ) h_b(t) hb(t)是什么呢？ 答： 是一个复数。 需要care它的具体形式推导吗？ 其实不需要， 我们只需要他知道系统能建模成(2)这样， 就可以了。 在实际中， 我们需要做的信道估计， 就是你发送 s b ( t ) s_b(t) sb(t) （是一个复数）,接收到 y b ( t ) y_b(t) yb(t)， 就能倒推出 h b ( t ) h_b(t) hb(t)的具体数值。 那这对于系统设计来说就够了。
从物理传输上理解？ 信道 h b ( t ) h_b(t) hb(t) 其实分为两部分：
- 衰减， 是一个实数 α \alpha α， 比如 α = 0.1 \alpha=0.1 α=0.1代表信号经过信道衰减到了十分之一。
- 相位偏转。 由于发送端和接收端间的传输有一定距离， 因此会导致接受信号有一个相位的偏转， 数学上可以建模为 e Δ θ e^{\Delta \theta} eΔθ。 注意， 偏转对于 cos ( 2 π f t ) \cos(2\pi ft) cos(2πft) 和 sin ( 2 π f t ) \sin(2\pi ft) sin(2πft) 都是一样的。
那么 h b ( t ) = α e Δ θ h_b(t) = \alpha e^{\Delta \theta} hb(t)=αeΔθ就是一个典型的复数。 具体是多少？ 用信道估计去算出就行了。
频域解释通信非常美妙的一点就在于， 同一个结论可以在多个角度完美佐证。 本文在此之前都是从时域角度阐述， 因为我觉得相较之下频域更晦涩些， 但显然， 其理论是精美完备的。 回到第一小节， 传输信号为 cos ( 2 π f c t ) s ( t ) \cos(2\pi f_ct)s(t) cos(2πfct)s(t)时， 频域可以表示为：
W
W
W是带宽。 因为信号
s
(
t
)
s(t)
s(t)其实是个实数信号， 因此频谱必定是对称。 那么就可以用下图这样一个基带的频谱来替代 （把上图中的正半轴部分平移到基带）。 注意， 下图的频谱和上图相比， 没有任何的信息损失。 
这个频谱对应的时域信号是什么？ 就是
s
b
(
t
)
s_b(t)
sb(t)。 如何从
S
b
(
f
)
S_b(f)
Sb(f) 重建出
S
(
f
)
S(f)
S(f)呢？
2
S
(
f
)
=
S
b
(
f
−
f
c
)
+
S
b
∗
(
−
f
−
f
c
)
\sqrt{2} S(f)=S_{b}\left(f-f_{c}\right)+S_{b}^{*}\left(-f-f_{c}\right)
2
S(f)=Sb(f−fc)+Sb∗(−f−fc) 两边都做逆傅里叶变换，有：
s
(
t
)
=
1
2
{
s
b
(
t
)
e
j
2
π
f
c
t
+
s
b
∗
(
t
)
e
−
j
2
π
f
c
t
}
=
2
ℜ
[
s
b
(
t
)
e
j
2
π
f
c
t
]
s(t)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left\{s_{b}(t) e^{j 2 \pi f_{c} t}+s_{b}^{*}(t) e^{-j 2 \pi f_{c} t}\right\}=\sqrt{2} \Re\left[s_{b}(t) e^{j 2 \pi f_{c} t}\right]
s(t)=2
1{sb(t)ej2πfct+sb∗(t)e−j2πfct}=2
ℜ[sb(t)ej2πfct] 根据欧拉公式，
ℜ
{
s
b
(
t
)
e
j
2
π
f
c
t
}
=
ℜ
{
s
b
(
t
)
}
cos
(
2
π
f
c
t
)
−
ℑ
{
s
b
(
t
)
}
sin
(
2
π
f
c
t
)
\Re\{s_{b}(t) e^{j 2 \pi f_{c} t}\}=\Re\{s_{b}(t)\}\cos(2\pi f_c t) - \Im\{s_{b}(t)\}\sin(2\pi f_c t)
ℜ{sb(t)ej2πfct}=ℜ{sb(t)}cos(2πfct)−ℑ{sb(t)}sin(2πfct)
如果 s b ( t ) s_b(t) sb(t)是个实数信号， 那么就是： s ( t ) = s b ( t ) cos ( 2 π f c t ) s(t) = s_{b}(t)\cos(2\pi f_c t) s(t)=sb(t)cos(2πfct) 如果是个复数， 此时基带频谱并不对称， 大家应该发现了， 这就是I路Q路对应的复数等效基带模型 （忽略负号，不影响）。
后记参考文献，仍是David Tse的 无线通信基础。
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