- 前言
- OFDM的数学实现： FFT
- OFDM与DFT
- 循环前缀
在上一篇中， 我们详细讲述了OFDM的重要概念： 【通信原理| OFDM技术的最简讲解（上）】窄带、宽带与频分复用、多载波调制的讲解:
- 宽带和窄带： 宽带的多径干扰是OFDM技术的应用背景。
- 多载波复用： OFDM的本质内核
本篇我们填坑，把上篇未讲完的OFDM的具体实现详细说明一遍。
OFDM的数学实现： FFT早在70年代就已被提出的OFDM技术， 却在4G中才初露峥嵘， 前期正是受制于其较高的计算复杂度。 但后来人们发现， OFDM的调制与解调过程， 可以看做是离散傅里叶变换 (DFT) 和 逆变换IDFT 操作， 而后者， 恰恰可以通过 快速傅里叶变换（FFT）和 IFFT 来快速实现。 可以说， 正是有了FFT的出现， 才让OFDM真正有了实际的用武之地。 关于DFT的介绍我在【通信原理| DFT】 从数学和代码角度理解离散傅里叶变换写过一些相关的介绍， 但这里我们只需要了解：
DFT { x [ n ] } = X [ i ] ≜ 1 N ∑ n = 0 N − 1 x [ n ] e − j 2 π n i N , 0 ≤ i ≤ N − 1 \operatorname{DFT}\{x[n]\}=X[i] \triangleq \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j \frac{2 \pi n i}{N}}, 0 \leq i \leq N-1 DFT{x[n]}=X[i]≜N 1n=0∑N−1x[n]e−jN2πni,0≤i≤N−1 IDFT { X [ i ] } = x [ n ] ≜ 1 N ∑ i = 0 N − 1 X [ i ] e j 2 π n i N , 0 ≤ n ≤ N − 1 \operatorname{IDFT}\{X[i]\}=x[n] \triangleq \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{i=0}^{N-1} X[i] e^{j \frac{2 \pi n i}{N}}, 0 \leq n \leq N-1 IDFT{X[i]}=x[n]≜N 1i=0∑N−1X[i]ejN2πni,0≤n≤N−1 这就是DFT与IDFT的公式。 那这个和多载波调制有什么关系呢？
OFDM与DFT
回顾下上篇博客里写的多载波复用的发送端操作：
N
N
N个符号用不同的N个正交的子载波
cos
(
2
π
f
i
t
)
\cos(2\pi f_it)
cos(2πfit)进行调制， 最后在时域相加， 也就是：
s ( t ) = ∑ i = 0 N − 1 s i cos ( 2 π f i t ) s(t) = \sum_{i=0}^{N-1}s_i\cos(2\pi f_it) s(t)=i=0∑N−1sicos(2πfit),
但我们注意到， sin ( 2 π f i t ) \sin(2\pi f_it) sin(2πfit) 和 cos ( 2 π f i t ) \cos(2\pi f_it) cos(2πfit)其实是正交的。 因此如同【无线通信】女朋友都能看懂的等效基带模型介绍 中所说， 实际中我们是同时发送 I路 和 Q路 两路， 在数学模型上体现为： s i s_i si是一个复数， 因此， 我们可以再有等效基带模型： s ( t ) = ∑ n = 0 N − 1 s i e j 2 π f i t s(t) = \sum_{n=0}^{N-1}s_ie^{j2\pi f_it} s(t)=n=0∑N−1siej2πfit,
从而复用 I路和Q路, 这里用了欧拉公式 （尽管这里 s ( t ) s(t) s(t)是一个复数， 但显然，可以不遗失信息量地将之加在在 sin \sin sin和 cos \cos cos上，同时在接收端做一个相反的操作， 最终形成的效果就是可以看做是上式的等效复数模型， 不深究。）。不失一般性的， 我们假设整个 OFDM 符号的周期为 T T T，那么根据上一篇中的介绍， f 0 f_0 f0应为 1 T \frac{1}{T} T1， 而 f i = i T f_i = \frac{i}{T} fi=Ti, 这是满足载波正交的必要条件。 OK， 下一步我们再对 s ( t ) s(t) s(t)进行采样， 共采样 N N N个点， 即 s ( 0 ) , … , s ( N − 1 ) s(0),\dots, s(N-1) s(0),…,s(N−1), 那么 s ( n ) s(n) s(n)是多少呢？ 显然， 就是把 t = n N T t = \frac{n}{N}T t=NnT代入(1)中计算：
s ( n ) = ∑ n = 0 N − 1 s i e j 2 π f i t = ∑ n = 0 N − 1 s i e j 2 π n i N s(n) = \sum_{n=0}^{N-1}s_ie^{j2\pi f_it} = \sum_{n=0}^{N-1}s_ie^{j\frac{2\pi ni}{N}} s(n)=n=0∑N−1siej2πfit=n=0∑N−1siejN2πni
这是什么？ 这就是IDFT的公式！ 也就是说， 加入我们需要复用 N N N个子载波， 每个子载波上加载的数据是 s 0 , … , s N − 1 s_0,\dots, s_{N-1} s0,…,sN−1, 那我们只需要对这个长度为 N N N的序列进行IDFT操作， 就能得到时域的 N N N个符号了 s ( 0 ) , … , s ( N − 1 ) s(0), \dots, s(N-1) s(0),…,s(N−1). 相同的， 在接收端， DFT操作就可以把接收到的 N N N个时域符号恢复成 N N N个载波频域符号， 这里就不再赘述了。 而对于DFT和IDFT，工业上已经有了成熟的FFT和IFFT运算方法， 来大幅降低复杂度。 正因此， OFDM也走上了时代的舞台。
总结一下： OFDM的思想虽然基于多载波调制， 但可以非常简便地通过DFT和IDFT来实现。 因此， OFDM的系统框图可以表示为： （注意，第一张图是多载波调制的示意图， 而不是OFDM的！在OFDM中， 上述的推导表明， 不需要对不同载波进行乘以 cos \cos cos这样的操作， 直接使用DFT和IDFT即可）
发送端框图： 
接收端框图： 
需要注意一点: IFFT和FFT操作必须在数字上进行！即， IFFT必须在D/A转换之前， FFT必须在A/D转换之后！ 这也是5G毫米波， 混合波束成形技术在宽带OFDM场景下的最大挑战。
OFDM系统中， 不可或缺的循环前缀 （CP）有两个重要的作用。
第一， 防止多径干扰。 如下图， 尽管在OFDM中，由于码元周期极大， 使得多径延时相比于整个周期较小， 但还是会有干扰。 下图为了简便， 直接标了
s
(
1
)
s(1)
s(1)， 这里的
s
(
1
)
s(1)
s(1)代表的是一整个OFDM符号， 也就是说里面包含了上节中说到的
N
N
N个时域采样。 
假设第一行是通过第一径信道的数据， 第二行是通过第二径信道的数据， 相比于第一径有一定的延时。 那么此时， 如果我们对符号进行采样的时候， 比如
s
(
2
)
s(2)
s(2)，也就是图中虚线框出的部分， 本该全是
s
(
2
)
s(2)
s(2)这一帧的内容， 但由于第二径的延时， 混入了
s
(
1
)
s(1)
s(1)的干扰， 也就是箭头标出的部分。 当然啦， 其实这里第二径是对第一径全方位的干扰， 不光是
s
(
1
)
s(1)
s(1)尾部信号对第一径
s
(
2
)
s(2)
s(2)头部的干扰， 还有自己延时的
s
(
2
)
s(2)
s(2)部分和第一径的
s
(
2
)
s(2)
s(2)混叠的干扰。 但后者的干扰在OFDM中是可以直接消除的： 因为他包含的所有信息仍是
s
(
2
)
s(2)
s(2)的信息， 而利用子载波的正交性，最后恢复出的信号不会有任何的干扰。 例如， 对于后半段（即没有箭头指向的那段中）， 对混叠的
s
(
2
)
s(2)
s(2)信号做傅里叶变换， 就会提取出对应子载波的信息， 究其本质， 这是由于
s
(
2
)
s(2)
s(2)的每一个码元都加载了同样的频域信息， 而同样的信息又怎么会干扰呢？
而 s ( 1 ) s(1) s(1)的拖尾的干扰则完全不同了。因为 s ( 1 ) s(1) s(1)和 s ( 2 ) s(2) s(2)是两个不同的OFDM符号， 携带的也就是不同的子载波信息。因此， s ( 1 ) s(1) s(1)的干扰必须要消除。
由于我们最初的假设， 利用OFDM的频分复用， 可以让符号周期大大降低， 因此信道时延是远小于符号周期的。 那么，我们可以选择在头部加入一段前缀， 这样，来自上一个OFDM符号的干扰就被限制在前缀中了。 然后我们再将前缀丢弃即可。
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