我们令 H H H为等效信道， R R R为模拟阵 V R F V_{RF} VRF的简写。 V V V为数字阵的简写 。
目标函数为：
M S E = t r ( V H R H H H H R V − H H R V − V H R H H + σ 2 w β − 2 + I ) MSE = \mathrm{tr}(V^HR^HHH^HRV - H^HRV - V^HR^HH + \sigma^2w\beta^{-2} + I) MSE=tr(VHRHHHHRV−HHRV−VHRHH+σ2wβ−2+I)
其中 w w w 是和接收端有关的一个常量。 优化变量为 V V V 和 β \beta β， 我们认为 R R R暂时固定。
限制条件为：
t r ( R V V H R H ) ≤ β − 2 \mathrm{tr}(RVV^HR^H)\le \beta^{-2} tr(RVVHRH)≤β−2
通过拉格朗日乘数法， 得到拉格朗日函数为:
L = t r ( V H R H H H H R V − H H R V − V H R H H + σ 2 w β − 2 + I ) + λ ( t r ( R V V H R H ) − β − 2 ) L = \mathrm{tr}(V^HR^HHH^HRV - H^HRV - V^HR^HH + \sigma^2w\beta^{-2} + I) + \lambda (\mathrm{tr}(RVV^HR^H) - \beta^{-2}) L=tr(VHRHHHHRV−HHRV−VHRHH+σ2wβ−2+I)+λ(tr(RVVHRH)−β−2) 根据KKT条件， 需要满足： ∂ L ∂ β = 0 \frac{\partial L}{\partial \beta}=0 ∂β∂L=0 和 ∂ L ∂ V = 0 \frac{\partial L}{\partial V}=0 ∂V∂L=0，分别可得： λ = σ 2 w V = ( R H H H H R + λ R H R ) − 1 R H H \lambda = \sigma^2w\\ V = (R^HHH^HR + \lambda R^HR)^{-1}R^HH λ=σ2wV=(RHHHHR+λRHR)−1RHH
令 T = ( R H H H H R + λ R H R ) T= (R^HHH^HR + \lambda R^HR) T=(RHHHHR+λRHR), 注意到：
0 = ( V − T − 1 R H H ) H T ( V − T − 1 R H H ) = ( V H T − H H R ) ( V − T − 1 R H H ) = V H T V − V H R H H − H H R V + H H R T − 1 R H H = V H R H H H H R V + λ V H R H R V − V H R H H − H H R V + H H R T − 1 R H H 0=(V-T^{-1}R^HH)^HT(V-T^{-1}R^HH)=(V^HT -H^HR)(V-T^{-1}R^HH)\\ =V^HTV - V^HR^HH - H^HRV + H^HRT^{-1}R^HH\\ =V^HR^HHH^HRV + \lambda V^HR^HRV- V^HR^HH - H^HRV + H^HRT^{-1}R^HH 0=(V−T−1RHH)HT(V−T−1RHH)=(VHT−HHR)(V−T−1RHH)=VHTV−VHRHH−HHRV+HHRT−1RHH=VHRHHHHRV+λVHRHRV−VHRHH−HHRV+HHRT−1RHH
而对比之下， 发现 M S E = t r ( 0 + I − H H R T − 1 R H H ) = t r ( I − H H R T − 1 R H H ) MSE = \mathrm{tr}(0 + I - H^HRT^{-1}R^HH)= \mathrm{tr}( I - H^HRT^{-1}R^HH) MSE=tr(0+I−HHRT−1RHH)=tr(I−HHRT−1RHH)
根据求逆准则：
( A − U D − 1 V ) − 1 = A − 1 + A − 1 U ( D − V A − 1 U ) − 1 V A − 1 \left(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{U} \boldsymbol{D}^{-1} \boldsymbol{V}\right)^{-1}=\boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{U}\left(\boldsymbol{D}-\boldsymbol{V} \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{U}\right)^{-1} \boldsymbol{V} \boldsymbol{A}^{-1} (A−UD−1V)−1=A−1+A−1U(D−VA−1U)−1VA−1
可知：
M S E = t r ( 0 + I − H H R T − 1 R H H ) = t r ( I − H H R T − 1 R H H ) = t r ( ( I + H H R ( R H R ) − 1 R H H ) − 1 ) MSE = \mathrm{tr}(0 + I - H^HRT^{-1}R^HH)= \mathrm{tr}( I - H^HRT^{-1}R^HH)=\mathrm{tr}( (I +H^HR(R^HR)^{-1}R^HH)^{-1}) MSE=tr(0+I−HHRT−1RHH)=tr(I−HHRT−1RHH)=tr((I+HHR(RHR)−1RHH)−1)
