MIMO信道容量、SVD与预编码的最优性推导

由之前的博客 https://zhuyulab.blog.csdn.net/article/details/116051540 可知， 事实上无线通信中最常用的 metric, 信道容量 / 速率 / 互信息 / 信息熵 其实是由下式给出的： R = l o g ∣ I + 1 σ 2 H F F H H H ∣ R = log|I + \frac{1}{\sigma^2}HFF^HH^H| R=log∣I+σ21​HFFHHH∣

这里 H ∈ C N s × N t H\in\mathbb{C}^{N_s\times N_t} H∈CNs​×Nt​代表信道（或是等效信道）， F ∈ C N t × N s F\in \mathbb{C}^{N_t\times N_s} F∈CNt​×Ns​代表预编码矩阵。上式事实上是通过微分熵严谨推导得到的。由于 σ 2 \sigma^2 σ2一项代表噪声能量为常数项，并不影响我们的推导， 因此后续的推导中省略。

大家之前看到的资料大部分应该都是 MIMO下的预编码理应用 H 的SVD结果进行设计， 即将MIMO信道等效为 N s N_s Ns​个并行独立高斯信道。 但是， 为什么这样？ 这样是最优的嘛？ 非常遗憾的是， 这样一个并不straightforward的结论似乎没有相关的中文资料， 因此， 在本文里笔者进行推导。

首先， 有个非常重要的公式是： ∣ I + A B ∣ = ∣ I + B A ∣ |I+AB| = |I + BA| ∣I+AB∣=∣I+BA∣ 这个公式源于行列式和特征值的关系， 以及 A B AB AB的特征值和 B A BA BA的关系。 有了这个式子， 我们首先令 Q = F F H Q=FF^H Q=FFH以便后续推导的简洁， 有： R = l o g ∣ I + H Q H H ∣ = l o g ∣ I + Q H H H ∣ R = log|I +HQH^H| = log|I +QH^HH| R=log∣I+HQHH∣=log∣I+QHHH∣ 显然半正定阵 H H H H^HH HHH可以进行特征分解， 得到 H H H = U H Σ U H^HH=U^H\Sigma U HHH=UHΣU，因此：

l o g ∣ I + Q H H H ∣ = l o g ∣ I + Q U H Σ U ∣ = l o g ∣ I + Σ 1 2 U Q U H Σ 1 2 ∣ log|I +QH^HH| = log|I +QU^H\Sigma U| =log|I+\Sigma^{\frac{1}{2}}UQU^H\Sigma^{\frac{1}{2}}| log∣I+QHHH∣=log∣I+QUHΣU∣=log∣I+Σ21​UQUHΣ21​∣ 令 Q ^ = U Q U H \hat{Q} = UQU^H Q^​=UQUH， 上式变为： l o g ∣ I + Σ 1 2 Q ^ Σ 1 2 ∣ log|I+\Sigma^{\frac{1}{2}}\hat{Q}\Sigma^{\frac{1}{2}}| log∣I+Σ21​Q^​Σ21​∣.

接下来，是一个核心的公式， 对于正定矩阵 A A A： ∣ A ∣ ≤ ∏ A i i |A|\le \prod A_{ii} ∣A∣≤∏Aii​ 即， 矩阵 A A A的行列式小于其对角线元素之积， 当且仅当 A A A为对角阵时，等号成立。 公式的证明在附录中给出。 我们先继续向下，

由此可知， 要想最大化 l o g ∣ I + Σ 1 2 Q ^ Σ 1 2 ∣ log|I+\Sigma^{\frac{1}{2}}\hat{Q}\Sigma^{\frac{1}{2}}| log∣I+Σ21​Q^​Σ21​∣，必须要求 Q ^ \hat{Q} Q^​ 为对角阵。 （因为 ∥ Q ^ ∥ F \|\hat{Q}\|_F ∥Q^​∥F​受限，那么应当将非对角元素全归0，才能使对角元素最大化。）

那么只需令 Q = U H Λ U Q=U^H\Lambda U Q=UHΛU， 即 F = U H Λ 1 2 F=U^H\Lambda^{\frac{1}{2}} F=UHΛ21​ 即可。

这就是为什么预编码矩阵要使用 H H H的奇异值分解的原因。

但是一般情况下， 由于 N s < N t N_s