最大化速率的智能反射面波束成形（上）：分式规划

前言

本文是对 IRS论文 Weighted Sum-Rate Optimization for Intelligent Reflecting Surface Enhanced Wireless Networks 的读书笔记。 选择这篇文章首先是因为作者非常良心地分享了具体代码：传送门， 其次文中用到的 分式规划 和 ADMM 也很值得学习， 又恰好是智能反射面背景。 由于本文涉及到的这两种算法都值得细究， 因此分为上下两篇来一一阐述。

系统模型

本文考虑的 IRS 系统模型 其实和之前写过的 基于SDR的智能反射面波束成形设计 中一致， 都是下行的 多单天线用户场景。 而最大的不同点则在于， 本文考虑的是 速率 (rate) 的优化问题， 前者则考虑的是 发送功率 的 优化问题。 不同的优化目标也对应了两文算法的差异。 根据MIMO的基本知识， 每个用户的SINR值为： γ k = ∣ ( h d , k H + h r , k H Θ H G ) w k ∣ 2 ∑ i = 1 , i ≠ k K ∣ ( h d , k H + h r , k H Θ H G ) w i ∣ 2 + σ 0 2 \gamma_{k}=\frac{\left|\left(\mathbf{h}_{\mathrm{d}, k}^{\mathrm{H}}+\mathbf{h}_{\mathrm{r}, k}^{\mathrm{H}} \Theta^{\mathrm{H}} \mathbf{G}\right) \mathbf{w}_{k}\right|^{2}}{\sum_{i=1, i \neq k}^{K}\left|\left(\mathbf{h}_{\mathrm{d}, k}^{\mathrm{H}}+\mathbf{h}_{\mathrm{r}, k}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{\Theta}^{\mathrm{H}} \mathbf{G}\right) \mathbf{w}_{i}\right|^{2}+\sigma_{0}^{2}} γk​=∑i=1,i​=kK​∣∣∣​(hd,kH​+hr,kH​ΘHG)wi​∣∣∣​2+σ02​∣∣∣​(hd,kH​+hr,kH​ΘHG)wk​∣∣∣​2​

此处的符号定义与 基于SDR的智能反射面波束成形设计 基本完全一致， 不再赘述。 而本文对应的优化问题则是：

( P 1 ) max ⁡ W , Θ f 1 ( W , Θ ) = ∑ k = 1 K ω k log ⁡ 2 ( 1 + γ k )  s.t.  θ n ∈ F , ∀ n = 1 , ⋯   , N ∑ k = 1 K ∥ w k ∥ 2 ≤ P T , \begin{array}{cl} (\mathrm{P} 1) \max _{\mathbf{W}, \boldsymbol{\Theta}} & f_{1}(\mathbf{W}, \boldsymbol{\Theta})=\sum_{k=1}^{K} \omega_{k} \log _{2}\left(1+\gamma_{k}\right) \\ \text { s.t. } & \theta_{n} \in \mathcal{F}, \quad \forall n=1, \cdots, N \\ & \sum_{k=1}^{K}\left\|\mathbf{w}_{k}\right\|^{2} \leq P_{\mathrm{T}}, \end{array} (P1)maxW,Θ​ s.t. ​f1​(W,Θ)=∑k=1K​ωk​log2​(1+γk​)θn​∈F,∀n=1,⋯,N∑k=1K​∥wk​∥2≤PT​,​

作者提到： 给定发送功率的情况下最大化速率， 和给定速率约束的情况下最大化用户的最小发送功率，在数学上是等效的。 不管怎么说， 本文应该是第一篇以速率为优化目标的IRS波束成形文章， 而在看他的具体算法推导前， 我们先阐述下 F \mathcal{F} F 的意义。 由于 F \mathcal{F} F 代表的是智能反射面系数矩阵的取值定义域， 作者考虑了三种不同的场景：

• 理想场景： 智能反射面单元对入射信号可以进行幅度和相位的完美调整， 因此唯一的限制就是能量守恒约束， 即： F 1 = { θ n ∣ ∣ θ n ∣ 2 ≤ 1 } \mathcal{F}_{1}=\left\{\left.\theta_{n}|| \theta_{n}\right|^{2} \leq 1\right\} F1​={θn​∣∣θn​∣2≤1}
• 连续相移： 这也是最常见的假设。 认为IRS单元只起到一个相移的作用， 且假设相位可取连续的任意值。 因此， 对应为： F 2 = { θ n ∣ θ n = e j φ n , φ n ∈ [ 0 , 2 π ) } \mathcal{F}_{2}=\left\{\theta_{n} \mid \theta_{n}=e^{j \varphi_{n}}, \varphi_{n} \in[0,2 \pi)\right\} F2​={θn​∣θn​=ejφn​,φn​∈[0,2π)}
• 离散相移： 顾名思义， 相较于 F 2 \mathcal{F}_2 F2​， 只有有限个相位可以选取， 即： F 3 = { θ n ∣ θ n = e j φ n , φ n ∈ { 0 , 2 π τ , ⋯   , 2 π ( τ − 1 ) τ } } \mathcal{F}_{3}=\left\{\theta_{n} \mid \theta_{n}=e^{j \varphi_{n}}, \varphi_{n} \in\left\{0, \frac{2 \pi}{\tau}, \cdots, \frac{2 \pi(\tau-1)}{\tau}\right\}\right\} F3​={θn​∣θn​=ejφn​,φn​∈{0,τ2π​,⋯,τ2π(τ−1)​}}

分式规划

显然， (P1)并不是一个容易求解的问题。 因此在这一节， 作者先使用 分式规划 方法， 对问题进行了简化。 分式规划 的具体参考文献可以参考作者给出的引文 Fractional Programming for Communication Systems—Part I: Power Control and Beamforming。

通过引入一个人工辅助变量， α = [ α 1 , ⋯   , α k , ⋯   , α K ] T \boldsymbol{\alpha}=\left[\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{k}, \cdots, \alpha_{K}\right]^{\mathrm{T}} α=[α1​,⋯,αk​,⋯,αK​]T， (P1) 中的目标函数可以等效转化为： f 1 a ( W , Θ , α ) = ∑ k = 1 K ω k log ⁡ 2 ( 1 + α k ) − ∑ k = 1 K ω k α k + ∑ k = 1 K ω k ( 1 + α k ) γ k 1 + γ k \begin{gathered} f_{1 a}(\mathbf{W}, \boldsymbol{\Theta}, \boldsymbol{\alpha})=\sum_{k=1}^{K} \omega_{k} \log _{2}\left(1+\alpha_{k}\right)-\sum_{k=1}^{K} \omega_{k} \alpha_{k} +\sum_{k=1}^{K} \frac{\omega_{k}\left(1+\alpha_{k}\right) \gamma_{k}}{1+\gamma_{k}} \end{gathered} f1a​(W,Θ,α)=k=1∑K​ωk​log2​(1+αk​)−k=1∑K​ωk​αk​+k=1∑K​1+γk​ωk​(1+αk​)γk​​​ 先说明这一步转化的意义， 当后续固定 α \boldsymbol{\alpha} α 进行交替迭代时， 对 W , Θ \mathbf{W}, \boldsymbol{\Theta} W,Θ 的优化的目标函数就等效为： max ⁡ W , Θ ∑ k = 1 K α ~ k γ k 1 + γ k \max _{\mathbf{W}, \boldsymbol{\Theta}} \sum_{k=1}^{K} \frac{\tilde{\alpha}_{k} \gamma_{k}}{1+\gamma_{k}} W,Θmax​k=1∑K​1+γk​α~k​γk​​ 其中 α ~ k = ω k ( 1 + α k ) \tilde{\alpha}_{k}=\omega_{k}\left(1+\alpha_{k}\right) α~k​=ωk​(1+αk​)。 而这是一个分式， 就可以应用分式规划进行求解了。

那么我们首先讲一下为什么可以这么转化， 这是在 Fractional Programming for Communication Systems—Part II: Uplink Scheduling via Matching 一文中作者给出的定理：

拉格朗日对偶转化： ∑ m = 1 M w m log ⁡ ( 1 + A m ( x ) B m ( x ) ) ⇒ ∑ m = 1 M w m log ⁡ ( 1 + γ m ) − ∑ m = 1 M w m γ m + ∑ m = 1 M w m ( 1 + γ m ) A m ( x ) A m ( x ) + B m ( x ) \sum_{m=1}^{M} w_{m} \log \left(1+\frac{A_{m}(\mathbf{x})}{B_{m}(\mathbf{x})}\right)\Rightarrow \sum_{m=1}^{M} w_{m} \log \left(1+\gamma_{m}\right)-\sum_{m=1}^{M} w_{m} \gamma_{m}+\sum_{m=1}^{M} \frac{w_{m}\left(1+\gamma_{m}\right) A_{m}(\mathbf{x})}{A_{m}(\mathbf{x})+B_{m}(\mathbf{x})} m=1∑M​wm​log(1+Bm​(x)Am​(x)​)⇒m=1∑M​wm​log(1+γm​)−m=1∑M​wm​γm​+m=1∑M​Am​(x)+Bm​(x)wm​(1+γm​)Am​(x)​ 左边是原始目标， A m A_m Am​ 和 B m B_m Bm​ 代表 x \mathbf{x} x 的函数， 右边则是转化的拉格朗日对偶等效目标， γ m \gamma_m γm​则是引入的辅助变量。 两者的等效性可以由下得证：

由于 右边是一个 对于 γ m \gamma_m γm​ 可微的凹函数 ( log ⁡ \log log为凹， 减去一个仿射) ， 因此最大化右边函数的 γ m \gamma_m γm​ 为： ∂ f r / ∂ γ m = 0 ⇒ γ ⋆ = A m ( x ) / B m ( x ) \partial f_{r} / \partial \gamma_{m}=0\Rightarrow \gamma^{\star}=A_{m}(\mathbf{x}) / B_{m}(\mathbf{x}) ∂fr​/∂γm​=0⇒γ⋆=Am​(x)/Bm​(x) 代入最优的 γ m \gamma_m γm​， 形式就和左边一样了。 等效性因此得证。 我们先来看这一步转化的意义 —— 左边的 A m A_m Am​ 和 B m B_m Bm​ 已经不在 log ⁡ \log log 中了， 且成为了标准的 分式和 的形式。 应用此定理相对简单， 只是不知道作者又是如何想到这样进行 γ m \gamma_m γm​ 的构造的！

有了这个定理， 回到文章中来， 对 (P1）的目标的转化就显而易见了。 令 A m ( x ) = γ k A_m(x) = \gamma_k Am​(x)=γk​， B m ( x ) = 1 B_m(x) = 1 Bm​(x)=1， 就不难得到了。

对原文题进行这样的一步等效转化后， 作者采用交替优化的方式来解， 具体如下：

需要指出的是， 当固定其他变量时， 辅助变量 α \alpha α 有闭式解为 ： α k ∘ = γ k \alpha_{k}^{\circ}=\gamma_{k} αk∘​=γk​。 从上面的定理中我们对 A A A B B B 的赋值中也可以看出。 因此关键点就成了当固定 α \alpha α 时， 对其余变量的优化， 即预编码和IRS矩阵的设计。 现在问题可以转化为：

max ⁡ W f 2 ( W )  s.t.  ∑ k = 1 K ∥ w k ∥ 2 ≤ P T . \begin{aligned} \max _{\mathbf{W}} & f_{2}(\mathbf{W}) \\ \text { s.t. } & \sum_{k=1}^{K}\left\|\mathbf{w}_{k}\right\|^{2} \leq P_{\mathrm{T}} . \end{aligned} Wmax​ s.t. ​f2​(W)k=1∑K​∥wk​∥2≤PT​.​

其中， f 2 ( W ) = ∑ k = 1 K α ~ k γ k 1 + γ k = ∑ k = 1 K α ~ k ∣ h k H w k ∣ 2 ∑ i = 1 K ∣ h k H w i ∣ 2 + σ 0 2 \begin{aligned} f_{2}(\mathbf{W}) &=\sum_{k=1}^{K} \frac{\tilde{\alpha}_{k} \gamma_{k}}{1+\gamma_{k}} =\sum_{k=1}^{K} \frac{\tilde{\alpha}_{k}\left|\mathbf{h}_{k}^{\mathrm{H}} \mathbf{w}_{k}\right|^{2}}{\sum_{i=1}^{K}\left|\mathbf{h}_{k}^{\mathrm{H}} \mathbf{w}_{i}\right|^{2}+\sigma_{0}^{2}} \end{aligned} f2​(W)​=k=1∑K​1+γk​α~k​γk​​=k=1∑K​∑i=1K​∣∣​hkH​wi​∣∣​2+σ02​α~k​∣∣​hkH​wk​∣∣​2​​

而进一步的转化则需要用到分式规划中的另一个重要的定理：

二次转换：

对于以下形式的的问题有如下等效转换：

maximize ⁡ x ∑ m = 1 M a m † ( x ) B m − 1 ( x ) a m ( x ) ⇒ maximize ⁡ x , y ∑ m = 1 M ( 2 Re ⁡ { y m † a m ( x ) } − y m † B m ( x ) y m ) \underset{\mathbf{x}}{\operatorname{maximize}} \sum_{m=1}^{M} \mathbf{a}_{m}^{\dagger}(\mathbf{x}) \mathbf{B}_{m}^{-1}(\mathbf{x}) \mathbf{a}_{m}(\mathbf{x})\Rightarrow \underset{\mathbf{x},\mathbf{y}}{\operatorname{maximize}}\sum_{m=1}^{M}\left(2 \operatorname{Re}\left\{\mathbf{y}_{m}^{\dagger} \mathbf{a}_{m}(\mathbf{x})\right\}-\mathbf{y}_{m}^{\dagger} \mathbf{B}_{m}(\mathbf{x}) \mathbf{y}_{m}\right) xmaximize​m=1∑M​am†​(x)Bm−1​(x)am​(x)⇒x,ymaximize​m=1∑M​(2Re{ym†​am​(x)}−ym†​Bm​(x)ym​)

这里 y m y_m ym​ 是引入的人工变量。 这样转换的优势在于， 转换后的问题已经不再有逆矩阵的棘手形式， 从而简化了求解。 其等效性也易求证： 由于右边对于 y \mathbf{y} y 是一个凹函数， 因此通过求导， 可得 y m ⋆ = B m − 1 ( x ) a m ( x ) \mathbf{y}_{m}^{\star}=\mathbf{B}_{m}^{-1}(\mathbf{x}) \mathbf{a}_{m}(\mathbf{x}) ym⋆​=Bm−1​(x)am​(x) 为 其闭式解。 将之代入， 即可发现左右相等。

利用这一定理， f 2 ( W ) f_2(\mathbf{W}) f2​(W) 即可重写为： f 2 ( W , β ) = ∑ k = 1 K 2 α ~ k Re ⁡ { β k ∗ h k H w k } − ∑ k = 1 K ∣ β k ∣ 2 ( ∑ i = 1 K ∣ h k H w i ∣ 2 + σ 0 2 ) \begin{aligned} f_{2}(\mathbf{W}, \boldsymbol{\beta})=& \sum_{k=1}^{K} 2 \sqrt{\tilde{\alpha}_{k}} \operatorname{Re}\left\{\beta_{k}^{*} \mathbf{h}_{k}^{\mathrm{H}} \mathbf{w}_{k}\right\} -\sum_{k=1}^{K}\left|\beta_{k}\right|^{2}\left(\sum_{i=1}^{K}\left|\mathbf{h}_{k}^{\mathrm{H}} \mathbf{w}_{i}\right|^{2}+\sigma_{0}^{2}\right) \end{aligned} f2​(W,β)=​k=1∑K​2α~k​ ​Re{βk∗​hkH​wk​}−k=1∑K​∣βk​∣2(i=1∑K​∣∣​hkH​wi​∣∣​2+σ02​)​ 这里 β k \beta_k βk​ 即是引入的辅助变量。

类似地， 对 f 2 ( W ) f_2(\mathbf{W}) f2​(W) 的优化也是使用了交替优化。 而当固定其他变量时， f 2 ( W f_{2}(\mathbf{W} f2​(W 对于 β \beta β 和 w \mathbf{w} w 都是凹函数， 因此， 可以直接用求导为0， 求出两者的闭式解，即：

β k ∘ = α ~ k h k H w k ∑ i = 1 K ∣ h k H w i ∣ 2 + σ 0 2 ， w k ∘ = α ~ k β k ( λ 0 I M + ∑ i = 1 K ∣ β i ∣ 2 h i h i H ) − 1 h k , \beta_{k}^{\circ}=\frac{\sqrt{\tilde{\alpha}_{k}} \mathbf{h}_{k}^{\mathrm{H}} \mathbf{w}_{k}}{\sum_{i=1}^{K}\left|\mathbf{h}_{k}^{\mathrm{H}} \mathbf{w}_{i}\right|^{2}+\sigma_{0}^{2}}，\mathbf{w}_{k}^{\circ}=\sqrt{\tilde{\alpha}_{k}} \beta_{k}\left(\lambda_{0} \mathbf{I}_{M}+\sum_{i=1}^{K}\left|\beta_{i}\right|^{2} \mathbf{h}_{i} \mathbf{h}_{i}^{\mathrm{H}}\right)^{-1} \mathbf{h}_{k}, βk∘​=∑i=1K​∣∣​hkH​wi​∣∣​2+σ02​α~k​ ​hkH​wk​​，wk∘​=α~k​ ​βk​(λ0​IM​+i=1∑K​∣βi​∣2hi​hiH​)−1hk​, 其中 λ 0 \lambda_0 λ0​ 为由功率约束条件引入的拉格朗日算子， 其值为： λ 0 ∘ = min ⁡ { λ 0 ≥ 0 : ∑ k = 1 K ∥ w k ∥ 2 ≤ P T } \lambda_{0}^{\circ}=\min \left\{\lambda_{0} \geq 0: \sum_{k=1}^{K}\left\|\mathbf{w}_{k}\right\|^{2} \leq P_{\mathrm{T}}\right\} λ0∘​=min{λ0​≥0:k=1∑K​∥wk​∥2≤PT​}

而当这些变量都可以轻松地给出闭式解后（因为都没什么棘手的限制条件）， 也到了本文的重点， 即对 IRS 系数矩阵进行的优化。

优化 IRS系数

固定了其他变量之后， 我们提取出原目标函数中和 IRS 系数矩阵相关的项， 即：

f 3 u ( Θ ) = ∑ k = 1 K α ~ k γ k 1 + γ k = ∑ k = 1 K α ~ k ∣ ( h d , k H + h r , k H Θ H G ) w k ∣ 2 ∑ i = 1 K ∣ ( h d , k H + h r , k H Θ H G ) w i ∣ 2 + σ 0 2 \begin{aligned} f_{3 u}(\boldsymbol{\Theta}) &=\sum_{k=1}^{K} \frac{\tilde{\alpha}_{k} \gamma_{k}}{1+\gamma_{k}} &=\sum_{k=1}^{K} \frac{\tilde{\alpha}_{k}\left|\left(\mathbf{h}_{\mathrm{d}, k}^{\mathrm{H}}+\mathbf{h}_{\mathrm{r}, k}^{\mathrm{H}} \Theta^{\mathrm{H}} \mathbf{G}\right) \mathbf{w}_{k}\right|^{2}}{\sum_{i=1}^{K}\left|\left(\mathbf{h}_{\mathrm{d}, k}^{\mathrm{H}}+\mathbf{h}_{\mathrm{r}, k}^{\mathrm{H}} \Theta^{\mathrm{H}} \mathbf{G}\right) \mathbf{w}_{i}\right|^{2}+\sigma_{0}^{2}} \end{aligned} f3u​(Θ)​=k=1∑K​1+γk​α~k​γk​​​=k=1∑K​∑i=1K​∣∣∣​(hd,kH​+hr,kH​ΘHG)wi​∣∣∣​2+σ02​α~k​∣∣∣​(hd,kH​+hr,kH​ΘHG)wk​∣∣∣​2​​ 这里先使用一个常见的转化， 并令 a i , k = η diag ⁡ ( h r , k H ) G w i , b i , k = h d , k H w i \mathbf{a}_{i, k}=\sqrt{\eta} \operatorname{diag}\left(\mathbf{h}_{\mathrm{r}, k}^{\mathrm{H}}\right) \mathbf{G} \mathbf{w}_{i}, b_{i, k}=\mathbf{h}_{\mathrm{d}, k}^{\mathrm{H}} \mathbf{w}_{i} ai,k​=η ​diag(hr,kH​)Gwi​,bi,k​=hd,kH​wi​，利用：

∣ ( h d , k H + h r , k H Θ H G ) w i ∣ 2 = ∣ b i , k + η θ H diag ⁡ ( h r , k H ) G w i ∣ 2 = ∣ b i , k + θ H a i , k ∣ 2 \begin{aligned} \left|\left(\mathbf{h}_{\mathrm{d}, k}^{\mathrm{H}}+\mathbf{h}_{\mathrm{r}, k}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{\Theta}^{\mathrm{H}} \mathbf{G}\right) \mathbf{w}_{i}\right|^{2} &=\left|b_{i, k}+\sqrt{\eta} \boldsymbol{\theta}^{\mathrm{H}} \operatorname{diag}\left(\mathbf{h}_{\mathrm{r}, k}^{\mathrm{H}}\right) \mathbf{G} \mathbf{w}_{i}\right|^{2} &=\left|b_{i, k}+\boldsymbol{\theta}^{\mathrm{H}} \mathbf{a}_{i, k}\right|^{2} \end{aligned} ∣∣∣​(hd,kH​+hr,kH​ΘHG)wi​∣∣∣​2​=∣∣∣​bi,k​+η ​θHdiag(hr,kH​)Gwi​∣∣∣​2​=∣∣∣​bi,k​+θHai,k​∣∣∣​2​ 可以将 f 3 u f_{3u} f3u​简化为： f 3 ( θ ) = ∑ k = 1 K α ~ k ∣ b k , k + θ H a k , k ∣ 2 ∑ i = 1 K ∣ b i , k + θ H a i , k ∣ 2 + σ 0 2 f_{3}(\boldsymbol{\theta})=\sum_{k=1}^{K} \frac{\tilde{\alpha}_{k}\left|b_{k, k}+\boldsymbol{\theta}^{\mathrm{H}} \mathbf{a}_{k, k}\right|^{2}}{\sum_{i=1}^{K}\left|b_{i, k}+\boldsymbol{\theta}^{\mathrm{H}} \mathbf{a}_{i, k}\right|^{2}+\sigma_{0}^{2}} f3​(θ)=k=1∑K​∑i=1K​∣∣∣​bi,k​+θHai,k​∣∣∣​2+σ02​α~k​∣∣∣​bk,k​+θHak,k​∣∣∣​2​ 这样一个分式并不好直接求解， 但显然， 可以用分式规划进行简化， 通过引入辅助变量 ε \varepsilon ε, 同样利用了上面提到的 二次转化， 就可以把原问题改写为： f 3 a ( θ , ε ) = ∑ k = 1 K 2 α ~ k Re ⁡ { ε k ∗ θ H a k , k + ε k ∗ b k , k } − ∑ k = 1 K ∣ ε k ∣ 2 ( ∑ i = 1 K ∣ b i , k + θ H a i , k ∣ 2 + σ 0 2 ) \begin{aligned} f_{3 a}(\boldsymbol{\theta}, \varepsilon)=& \sum_{k=1}^{K} 2 \sqrt{\tilde{\alpha}_{k}} \operatorname{Re}\left\{\varepsilon_{k}^{*} \boldsymbol{\theta}^{\mathrm{H}} \mathbf{a}_{k, k}+\varepsilon_{k}^{*} b_{k, k}\right\} \\ &-\sum_{k=1}^{K}\left|\varepsilon_{k}\right|^{2}\left(\sum_{i=1}^{K}\left|b_{i, k}+\boldsymbol{\theta}^{\mathrm{H}} \mathbf{a}_{i, k}\right|^{2}+\sigma_{0}^{2}\right) \end{aligned} f3a​(θ,ε)=​k=1∑K​2α~k​ ​Re{εk∗​θHak,k​+εk∗​bk,k​}−k=1∑K​∣εk​∣2(i=1∑K​∣∣∣​bi,k​+θHai,k​∣∣∣​2+σ02​)​ 那么固定 θ \boldsymbol{\theta} θ时， ε \varepsilon ε 的最优解就可以通过求导为0 来推出， 为： ε k ∘ = α ~ k ( b k , k + θ H a k , k ) ∑ i = 1 K ∣ b i , k + θ H a i , k ∣ 2 + σ 0 2 \varepsilon_{k}^{\circ}=\frac{\sqrt{\tilde{\alpha}_{k}}\left(b_{k, k}+\boldsymbol{\theta}^{\mathrm{H}} \mathbf{a}_{k, k}\right)}{\sum_{i=1}^{K}\left|b_{i, k}+\boldsymbol{\theta}^{\mathrm{H}} \mathbf{a}_{i, k}\right|^{2}+\sigma_{0}^{2}} εk∘​=∑i=1K​∣∣∣​bi,k​+θHai,k​∣∣∣​2+σ02​α~k​ ​(bk,k​+θHak,k​)​ 当然啦， 更快捷的方式是正如我们上面二次转化中提到的一样， y m ⋆ = B m − 1 ( x ) a m ( x ) \mathbf{y}_{m}^{\star}=\mathbf{B}_{m}^{-1}(\mathbf{x}) \mathbf{a}_{m}(\mathbf{x}) ym⋆​=Bm−1​(x)am​(x)， 那么轻易就可以得出这个结论了。

那么， 固定 ε \varepsilon ε后， 目标函数可以进一步地被写为如下形式 （具体的过程就是“合并同类项”）：

f 4 ( θ ) = f 3 a ( θ , ε ∘ ) = − θ H U θ + 2 Re ⁡ { θ H ν } + C \begin{aligned} f_{4}(\boldsymbol{\theta}) &=f_{3 a}\left(\boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{\varepsilon}^{\circ}\right) &=-\boldsymbol{\theta}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{U} \boldsymbol{\theta}+2 \operatorname{Re}\left\{\boldsymbol{\theta}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{\nu}\right\}+C \end{aligned} f4​(θ)​=f3a​(θ,ε∘)​=−θHUθ+2Re{θHν}+C​ 其中， U = ∑ k = 1 K ∣ ε k ∣ 2 ∑ i = 1 K a i , k a i , k H ν = ∑ k = 1 K ( α ~ k ε k ∗ a k , k − ∣ ε k ∣ 2 ∑ i = 1 K b i , k ∗ a i , k ) C = ∑ k = 1 K ( 2 α ~ k Re ⁡ { ε k ∗ b k , k } − ∣ ε k ∣ 2 ( σ 0 2 + ∑ i = 1 K ∣ b i , k ∣ 2 ) ) \begin{aligned} \boldsymbol{U} &=\sum_{k=1}^{K}\left|\varepsilon_{k}\right|^{2} \sum_{i=1}^{K} \mathbf{a}_{i, k} \mathbf{a}_{i, k}^{\mathrm{H}} \\ \boldsymbol{\nu} &=\sum_{k=1}^{K}\left(\sqrt{\tilde{\alpha}_{k}} \varepsilon_{k}^{*} \mathbf{a}_{k, k}-\left|\varepsilon_{k}\right|^{2} \sum_{i=1}^{K} b_{i, k}^{*} \mathbf{a}_{i, k}\right) \\ C &=\sum_{k=1}^{K}\left(2 \sqrt{\tilde{\alpha}_{k}} \operatorname{Re}\left\{\varepsilon_{k}^{*} b_{k, k}\right\}-\left|\varepsilon_{k}\right|^{2}\left(\sigma_{0}^{2}+\sum_{i=1}^{K}\left|b_{i, k}\right|^{2}\right)\right) \end{aligned} UνC​=k=1∑K​∣εk​∣2i=1∑K​ai,k​ai,kH​=k=1∑K​(α~k​ ​εk∗​ak,k​−∣εk​∣2i=1∑K​bi,k∗​ai,k​)=k=1∑K​(2α~k​ ​Re{εk∗​bk,k​}−∣εk​∣2(σ02​+i=1∑K​∣bi,k​∣2))​

当目标函数被改写到这一步后实际上是一个很正常的形式了， 也有多种方法得以求解， 作者在文中也提出了三种算法。 先不谈对 θ \theta θ 使用哪种具体的算法求解， 我们先可以形成整个算法框架如下：

这里值得一提的是， 我们知道对于每一次分式规划的拆分， 这一组变量， 如 ε \varepsilon ε 和 θ \theta θ， 其实可以进行多次迭代更新来收敛到一个较好的值。 但如果这样的话， 就成了一个大迭代中套了多个小迭代， 复杂度迅速增大。 因此， 作者提出的思路是， 每一组变量自己不做多次迭代， 正如框图内所示。 比如做完 step 3.2 后， 本可以继续再优化 ε \varepsilon ε 然后又优化 θ \theta θ… 然而无论如何， Algorithm 1 无疑是收敛的， 因为其目标函数始终可以确保单调下降。

后续对 θ \theta θ 的优化的具体算法中， 作者使用到了经典的ADMM方法来处理非凸约束。 因此，这一部分放到下篇博客中再进行详述。