y=sinx的概率分布推导

近期碰到这样一个小问题， 当 x x x 是在 [ 0 , 2 π ] [0, 2\pi] [0,2π] 上均匀分布时， 求 y = sin ⁡ ( x ) y=\sin(x) y=sin(x) 的分布？ 然后发现百度出来的答案都是错的…

先上结论， 用matlab先看一下概率分布图， 代码如下：

for i = 1 : 100000
    a = unifrnd(0, 2 * pi);
    b(i) = sin(a);
end
cdfplot(b)

结果如图所示， 也就是说， sin ⁡ ( x ) \sin(x) sin(x)并不是如直觉所想， 在 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1]上均匀分布！ 注意到由于 sin ⁡ x = − sin ⁡ ( x + π ) \sin x = -\sin(x + \pi) sinx=−sin(x+π)， 因此 sin ⁡ ( x ) 在 [ 0 , π ] \sin(x)在[0,\pi] sin(x)在[0,π]上的分布与 sin ⁡ ( x ) 在 [ π , 2 π ] \sin(x)在[\pi,2\pi] sin(x)在[π,2π]应该刚好对称。 那么我们进行推导, 当 x x x在 [ 0 , π ] [0, \pi] [0,π]上均匀分布时： F Y ( y ) = P ( Y ≤ y ) = P ( sin ⁡ X ≤ y ) = P ( X ≤ sin ⁡ − 1 y ) + P ( X ≥ π − sin ⁡ − 1 y ) F_Y(y)=P(Y\le y)=P(\sin X\le y)=P(X\le\sin^{-1}y)+P(X\ge\pi-\sin^{-1}y) FY​(y)=P(Y≤y)=P(sinX≤y)=P(X≤sin−1y)+P(X≥π−sin−1y) 这里我们假定, arcsin ⁡ : [ − 1 ; 1 ] ↦ [ − π / 2 ; π / 2 ] \arcsin :[-1 ; 1] \mapsto[-\pi / 2 ; \pi / 2] arcsin:[−1;1]↦[−π/2;π/2]。 接着有： P ( X ≤ sin ⁡ − 1 y ) = ∫ − ∞ sin ⁡ − 1 y f X ( x ) d x = 1 π ∫ − ∞ sin ⁡ − 1 y d x = sin ⁡ − 1 y π P(X\le\sin^{-1}y) =\int_{-\infty}^{\sin ^{-1} y} f_{X}(x) d x=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\sin ^{-1} y} d x=\frac{\sin ^{-1} y}{\pi} P(X≤sin−1y)=∫−∞sin−1y​fX​(x)dx=π1​∫−∞sin−1y​dx=πsin−1y​ 类似的， P ( X ≥ π − sin ⁡ − 1 y ) = 1 − P ( X ≤ π − sin ⁡ − 1 y ) = sin ⁡ − 1 y π P(X\ge\pi-\sin^{-1}y)=1 - P(X\le \pi-\sin^{-1}y)=\frac{\sin ^{-1} y}{\pi} P(X≥π−sin−1y)=1−P(X≤π−sin−1y)=πsin−1y​ 因此 F Y ( y ) = 2 sin ⁡ − 1 y π F_Y(y) = \frac{2\sin ^{-1} y}{\pi} FY​(y)=π2sin−1y​. 当 x x x在 [ π , 2 π ] [\pi, 2\pi] [π,2π]上均匀分布时： F Y ( y ) = P ( Y ≤ y ) = P ( sin ⁡ X ≤ y ) = P ( π − sin ⁡ − 1 y ≤ X ≤ 2 π + sin ⁡ − 1 y ) F_Y(y)=P(Y\le y)=P(\sin X\le y)=P(\pi-\sin^{-1}y\le X\le2\pi+\sin^{-1}y) FY​(y)=P(Y≤y)=P(sinX≤y)=P(π−sin−1y≤X≤2π+sin−1y) 接着有： P ( X ≤ 2 π + sin ⁡ − 1 y ) = ∫ − ∞ 2 π + sin ⁡ − 1 y f X ( x ) d x = 1 π ∫ − ∞ 2 π + sin ⁡ − 1 y d x = π + sin ⁡ − 1 y π P(X\le2\pi+\sin^{-1}y) =\int_{-\infty}^{2\pi + \sin ^{-1} y} f_{X}(x) d x=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{2\pi + \sin ^{-1} y} d x=\frac{\pi + \sin ^{-1} y}{\pi} P(X≤2π+sin−1y)=∫−∞2π+sin−1y​fX​(x)dx=π1​∫−∞2π+sin−1y​dx=ππ+sin−1y​ 类似的, P ( X ≤ π − sin ⁡ − 1 y ) = − sin ⁡ − 1 y π P(X\le\pi-\sin^{-1}y)=\frac{-\sin ^{-1} y}{\pi} P(X≤π−sin−1y)=π−sin−1y​, 因此 F Y ( y ) = π + 2 sin ⁡ − 1 y π F_Y(y) = \frac{\pi+2\sin ^{-1} y}{\pi} FY​(y)=ππ+2sin−1y​.

综上， F Y ( y ) = { sin ⁡ − 1 y π + 1 2 y ≥ 0 π + 2 sin ⁡ − 1 y 2 π y < 0 . F_Y(y)= \begin{cases} \frac{\sin ^{-1}y}{\pi} + \frac{1}{2}&y\ge0 \\ \frac{\pi+2\sin ^{-1} y}{2\pi} & y