智能反射面信道估计：基于原子范数最小化

前言

在上一篇博客 压缩感知的尽头: 原子范数最小化， 笔者记录介绍了一种新的算法：原子范数最小化。 主要停留在算法理论的推导层面。 这篇博客则介绍在 IRS信道估计方向上， 利用原子范数最小化来求解问题的文章 Channel Estimation for RIS-Aided mmWave MIMO Systems via Atomic Norm Minimization， 今年发表在 IEEE TWC上。选取这篇文章，一方面是趁热打铁地掌握 原子范数方法的具体使用， 一方面笔者接触到原子范数的相关材料，也正是来自于文章作者何继光老师的无私分享。

系统模型

文中考虑的是如图的场景， 假设装有 N B N_B NB​ 根天线的 基站 (BS) 与 装有 N M N_M NM​ 根天线 用户 (MS) 之间没有直射径， 通过安装在大楼墙面上的 有 N R N_R NR​ 个 单元的智能反射面 （RIS/IRS）来进行通信。 本文的目的是对信道进行估计。 一个重要的简化假设是：认为IRS的响应可以看做 ULA线天线响应， 以此简化后续的推导。 然而拓展到 UPA面天线场景是非常容易的。

根据常用的 SV 几何信道建模， BS-RIS 信道可以被写为： H B , R = ∑ l = 1 L B , R [ ρ B , R ] l α ( [ ϕ B , R ] l ) α H ( [ θ B , R ] l ) = A ( ϕ B , R ) diag ⁡ ( ρ B , R ) A H ( θ B , R ) , \begin{aligned} \mathbf{H}_{\mathrm{B}, \mathrm{R}} &=\sum_{l=1}^{L_{\mathrm{B}, \mathrm{R}}}\left[\boldsymbol{\rho}_{\mathrm{B}, \mathrm{R}}\right]_{l} \boldsymbol{\alpha}\left(\left[\phi_{\mathrm{B}, \mathrm{R}}\right]_{l}\right) \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{H}}\left(\left[\boldsymbol{\theta}_{\mathrm{B}, \mathrm{R}}\right]_{l}\right) \\ &=\mathbf{A}\left(\phi_{\mathrm{B}, \mathrm{R}}\right) \operatorname{diag}\left(\boldsymbol{\rho}_{\mathrm{B}, \mathrm{R}}\right) \mathbf{A}^{\mathrm{H}}\left(\boldsymbol{\theta}_{\mathrm{B}, \mathrm{R}}\right), \end{aligned} HB,R​​=l=1∑LB,R​​[ρB,R​]l​α([ϕB,R​]l​)αH([θB,R​]l​)=A(ϕB,R​)diag(ρB,R​)AH(θB,R​),​ 而 RIS-MS 信道可以写为： H R , M = ∑ l = 1 L R , M [ ρ R , M ] l α ( [ ϕ R , M ] l ) α H ( [ θ R , M ] l ) = A ( ϕ R , M ) diag ⁡ ( ρ R , M ) A H ( θ R , M ) , \begin{aligned} \mathbf{H}_{\mathrm{R}, \mathrm{M}} &=\sum_{l=1}^{L_{\mathrm{R}, \mathrm{M}}}\left[\boldsymbol{\rho}_{\mathrm{R}, \mathrm{M}}\right]_{l} \boldsymbol{\alpha}\left(\left[\phi_{\mathrm{R}, \mathrm{M}}\right]_{l}\right) \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{H}}\left(\left[\boldsymbol{\theta}_{\mathrm{R}, \mathrm{M}}\right]_{l}\right) \\ &=\mathbf{A}\left(\phi_{\mathrm{R}, \mathrm{M}}\right) \operatorname{diag}\left(\boldsymbol{\rho}_{\mathrm{R}, \mathrm{M}}\right) \mathbf{A}^{\mathrm{H}}\left(\boldsymbol{\theta}_{\mathrm{R}, \mathrm{M}}\right), \end{aligned} HR,M​​=l=1∑LR,M​​[ρR,M​]l​α([ϕR,M​]l​)αH([θR,M​]l​)=A(ϕR,M​)diag(ρR,M​)AH(θR,M​),​ 这是很常见的毫米波信道建模，因此不展开叙述了。缺乏相关知识的可以参考之前的博客或文章原文。 那么考虑 BS-MS 的等效点对点信道， 可以写为： H = H R , M Ω H B , R = A ( ϕ R , M ) diag ⁡ ( ρ R , M ) A H ( θ R , M ) Ω A ( ϕ B , R ) diag ⁡ ( ρ B , R ) A H ( θ B , R ) \begin{aligned} \mathbf{H}=& \mathbf{H}_{\mathrm{R}, \mathrm{M}} \boldsymbol{\Omega} \mathbf{H}_{\mathrm{B}, \mathrm{R}} \\ =& \mathbf{A}\left(\phi_{\mathrm{R}, \mathrm{M}}\right) \operatorname{diag}\left(\boldsymbol{\rho}_{\mathrm{R}, \mathrm{M}}\right) \mathbf{A}^{\mathrm{H}}\left(\boldsymbol{\theta}_{\mathrm{R}, \mathrm{M}}\right) \Omega \mathbf{A}\left(\phi_{\mathrm{B}, \mathrm{R}}\right) \operatorname{diag}\left(\boldsymbol{\rho}_{\mathrm{B}, \mathrm{R}}\right) \mathbf{A}^{\mathrm{H}}\left(\boldsymbol{\theta}_{\mathrm{B}, \mathrm{R}}\right) \end{aligned} H==​HR,M​ΩHB,R​A(ϕR,M​)diag(ρR,M​)AH(θR,M​)ΩA(ϕB,R​)diag(ρB,R​)AH(θB,R​)​ 我们定义： G = diag ⁡ ( ρ R , M ) A H ( θ R , M ) Ω A ( ϕ B , R ) diag ⁡ ( ρ B , R ) \mathbf{G}=\operatorname{diag}\left(\boldsymbol{\rho}_{\mathrm{R}, \mathrm{M}}\right) \mathbf{A}^{\mathrm{H}}\left(\boldsymbol{\theta}_{\mathrm{R}, \mathrm{M}}\right) \boldsymbol{\Omega} \mathbf{A}\left(\boldsymbol{\phi}_{\mathrm{B}, \mathrm{R}}\right) \operatorname{diag}\left(\boldsymbol{\rho}_{\mathrm{B}, \mathrm{R}}\right) G=diag(ρR,M​)AH(θR,M​)ΩA(ϕB,R​)diag(ρB,R​) 可以将等效信道进一步化简为： H = A ( ϕ R , M ) G A H ( θ B , R ) (1) \mathbf{H}=\mathbf{A}\left(\phi_{\mathrm{R}, \mathrm{M}}\right) \mathbf{G} \mathbf{A}^{\mathrm{H}}\left(\theta_{\mathrm{B}, \mathrm{R}}\right) \tag{1} H=A(ϕR,M​)GAH(θB,R​)(1) 至此， (1)其实是传统MIMO信道的经典角域形式。 而最大的区别在于，对于传统MIMO信道， G \mathbf{G} G 是一个对角阵。 而对于 RIS 等效信道， G \mathbf{G} G则是一个普通矩阵。 事实上，可以通过控制 RIS 相控阵， 对 G \mathbf{G} G 进行人为的调控。

回到信道估计问题本身： 即使使用了参数化建模， 即估计物理角度信息和路损， 而非估计信道矩阵元素， 仍有较多的未知代估变量——两组 AOA 和 AOD， 以及两组路损 ρ \rho ρ。

作者采用的思路是： 先估计基站和用户端的角度， 再据此设计接收波束和发送波束，最后估计RIS上的AoA与AoD。

第一阶段

首先， 对 接收 AoA ϕ R , M \phi_{R, M} ϕR,M​ 进行估计。接收信号模型为： Y t = W t H H ( Ω t ) X t + W t H Z t = W t H A ( ϕ R , M ) G t A H ( θ B , R ) X t + W t H Z t  for  t = 0 \begin{aligned} \mathbf{Y}_{t}=& \mathbf{W}_{t}^{\mathrm{H}} \mathbf{H}\left(\boldsymbol{\Omega}_{t}\right) \mathbf{X}_{t}+\mathbf{W}_{t}^{\mathrm{H}} \mathbf{Z}_{t} \\ =& \mathbf{W}_{t}^{\mathrm{H}} \mathbf{A}\left(\phi_{\mathrm{R}, \mathrm{M}}\right) \mathbf{G}_{t} \mathbf{A}^{\mathrm{H}}\left(\boldsymbol{\theta}_{\mathrm{B}, \mathrm{R}}\right) \mathbf{X}_{t}+\mathbf{W}_{t}^{\mathrm{H}} \mathbf{Z}_{t} \text { for } t=0 \end{aligned} Yt​==​WtH​H(Ωt​)Xt​+WtH​Zt​WtH​A(ϕR,M​)Gt​AH(θB,R​)Xt​+WtH​Zt​ for t=0​ 其中， X 0 ∈ C N B × N 0 \mathbf{X}_{0} \in \mathbb{C}^{N_{\mathrm{B}} \times N_{0}} X0​∈CNB​×N0​。 这里 N 0 N_0 N0​代表第一阶段所需的训练时隙数， 也即开销。 Ω t \boldsymbol{\Omega}_{t} Ωt​代表了 智能反射面矩阵。 W t \mathbf{W}_t Wt​是接收矩阵。 Z t \mathbf{Z}_t Zt​为噪声。**因此， 作者假定了在基站发送不同的训练序列（组成了 X 0 \mathbf{X}_0 X0​）时， 接收矩阵和 IRS矩阵是固定的。 准确而言， 作者假定是随机的。

我们令 U ‾ = A ( ϕ R . M ) G 0 A H ( θ B , R ) X 0 \overline{\mathbf{U}}=\mathbf{A}\left(\phi_{\mathrm{R} . \mathrm{M}}\right) \mathbf{G}_{0} \mathbf{A}^{\mathrm{H}}\left(\boldsymbol{\theta}_{\mathrm{B}, \mathrm{R}}\right) \mathbf{X}_{0} U=A(ϕR.M​)G0​AH(θB,R​)X0​， 那么有： U ‾ = A ( ϕ R , M ) C ‾ \overline{\mathbf{U}}=\mathbf{A}\left(\phi_{\mathrm{R}, \mathrm{M}}\right) \overline{\mathbf{C}} U=A(ϕR,M​)C 其中， C ‾ = G 0 A t H ( θ B , R ) X 0 \overline{\mathbf{C}}=\mathbf{G}_{0} \mathbf{A}_{t}^{\mathrm{H}}\left(\boldsymbol{\theta}_{\mathrm{B}, \mathrm{R}}\right) \mathbf{X}_{0} C=G0​AtH​(θB,R​)X0​。 根据原子范数最小化理论 （见上一篇博客 压缩感知的尽头: 原子范数最小化），对 A ( ϕ R . M ) \mathbf{A}\left(\phi_{\mathrm{R} . \mathrm{M}}\right) A(ϕR.M​) 的估计可转化为求解如下问题（事实上是凸松弛）：

{ u ^ 1 , Z ^ , U ^ } = arg ⁡ min ⁡ u ‾ 1 , Z , U μ 2 N 0 Tr ⁡ ( Z ‾ ) + μ 2 N M Tr ⁡ ( Toep ⁡ ( u ‾ 1 ) ) + 1 2 ∥ Y 0 − W 0 H U ‾ ∥ F 2  s.t.  [ Toep ⁡ ( u ‾ 1 ) U ‾ U ‾ H Z ‾ ] ⪰ 0 , \begin{aligned} \left\{\hat{\mathbf{u}}_{1}, \hat{\mathbf{Z}}, \hat{\mathbf{U}}\right\}&=\arg \min _{\overline{\mathbf{u}}_{1}, \mathbf{Z}, \mathbf{U}} \frac{\mu}{2 N_{0}} \operatorname{Tr}(\overline{\mathbf{Z}})+\frac{\mu}{2 N_{\mathrm{M}}} \operatorname{Tr}\left(\operatorname{Toep}\left(\overline{\mathbf{u}}_{1}\right)\right) +\frac{1}{2}\left\|\mathbf{Y}_{0}-\mathbf{W}_{0}^{\mathrm{H}} \overline{\mathbf{U}}\right\|_{\mathrm{F}}^{2} \\ &\text { s.t. }\left[\begin{array}{cc} \operatorname{Toep}\left(\overline{\mathbf{u}}_{1}\right)\quad& \overline{\mathbf{U}} \\ \overline{\mathbf{U}}^{\mathrm{H}} & \overline{\mathbf{Z}} \end{array}\right] \succeq 0, \end{aligned} {u^1​,Z^,U^}​=argu1​,Z,Umin​2N0​μ​Tr(Z)+2NM​μ​Tr(Toep(u1​))+21​∥∥​Y0​−W0H​U∥∥​F2​ s.t. [Toep(u1​)UH​UZ​]⪰0,​ 这里 μ \mu μ 是惩罚系数。 这个问题是一个凸问题， 因此可以直接通过 CVX 进行求解。

得到了矩阵 Toep ⁡ ( u ‾ 1 ) \operatorname{Toep}\left(\overline{\mathbf{u}}_{1}\right) Toep(u1​) 后， 就可以通过 root-MUSIC 算法， 求解出对应的 ϕ R . M \phi_{\mathrm{R} . \mathrm{M}} ϕR.M​ 了。

那么基于原子范数最小化方法， θ B , R \theta_{\mathrm{B}, \mathrm{R}} θB,R​也可以用一模一样的算法进行估计。

第二阶段

基于第一阶段的估计结果， 我们可以先对 发送波束成形和接收波束成形进行设计： X t = 1 N B A ( θ ^ B , R ) W t = 1 N M A ( ϕ ^ R , M ) \begin{aligned} \mathbf{X}_{t} &=\frac{1}{\sqrt{N_{\mathrm{B}}}} \mathbf{A}\left(\hat{\boldsymbol{\theta}}_{\mathrm{B}, \mathrm{R}}\right) \\ \mathbf{W}_{t} &=\frac{1}{\sqrt{N_{\mathrm{M}}}} \mathbf{A}\left(\hat{\phi}_{\mathrm{R}, \mathrm{M}}\right) \end{aligned} Xt​Wt​​=NB​ ​1​A(θ^B,R​)=NM​ ​1​A(ϕ^​R,M​)​

作者指出， 当 θ ^ B , R ≈ θ B , R \hat{\theta}_{\mathrm{B}, \mathrm{R}} \approx \theta_{\mathrm{B}, \mathrm{R}} θ^B,R​≈θB,R​ 和 ϕ ^ R , M ≈ ϕ R , M \hat{\phi}_{\mathrm{R}, \mathrm{M}} \approx \phi_{\mathrm{R}, \mathrm{M}} ϕ^​R,M​≈ϕR,M​ 时， 这样做的目的在于会有以下结论： A H ( θ B , R ) X t ≈ N B I W t H A ( ϕ R , M ) ≈ N M I \begin{aligned} \mathbf{A}^{\mathrm{H}}\left(\boldsymbol{\theta}_{\mathrm{B}, \mathrm{R}}\right) \mathbf{X}_{t} & \approx \sqrt{N_{\mathrm{B}}} \mathbf{I} \\ \mathbf{W}_{t}^{\mathrm{H}} \mathbf{A}\left(\phi_{\mathrm{R}, \mathrm{M}}\right) & \approx \sqrt{N_{\mathrm{M}}} \mathbf{I} \end{aligned} AH(θB,R​)Xt​WtH​A(ϕR,M​)​≈NB​ ​I≈NM​ ​I​

但这里笔者想指出其实是要有一个前提条件的， 即不同径之间的正弦差 sin ⁡ ( θ i ) − sin ⁡ ( θ j ) \sin(\theta_i)- \sin(\theta_j) sin(θi​)−sin(θj​)要不小于 4 N \frac{4}{N} N4​。 只有在正弦差大于 4 N \frac{4}{N} N4​ 时， 不同的 a ( θ ) \mathbf{a}(\theta) a(θ) 才是近似正交的。 仿真部分作者也提到了这一前提条件是需要的， 当然， 这也是原子范数最小化法所需要的。

在重新设计了发送和接收波束后， 第二阶段的接收信号可以表示为： Y t = W t H A ( ϕ R , M ) G t A H ( θ B , R ) X t + W t H Z t ≈ N B N M G t + W t H Z t ,  for  t = 1 , … , T (2) \begin{aligned} \mathbf{Y}_{t} &=\mathbf{W}_{t}^{\mathrm{H}} \mathbf{A}\left(\boldsymbol{\phi}_{\mathrm{R}, \mathrm{M}}\right) \mathbf{G}_{t} \mathbf{A}^{\mathrm{H}}\left(\boldsymbol{\theta}_{\mathrm{B}, \mathrm{R}}\right) \mathbf{X}_{t}+\mathbf{W}_{t}^{\mathrm{H}} \mathbf{Z}_{t} \approx \sqrt{N_{\mathrm{B}} N_{\mathrm{M}}} \mathbf{G}_{t}+\mathbf{W}_{t}^{\mathrm{H}} \mathbf{Z}_{t}, \text { for } t=1, \ldots, T \end{aligned} \tag{2} Yt​​=WtH​A(ϕR,M​)Gt​AH(θB,R​)Xt​+WtH​Zt​≈NB​NM​ ​Gt​+WtH​Zt​, for t=1,…,T​(2)

回顾我们的定义： G t = diag ⁡ ( ρ R , M ) A H ( θ R , M ) Ω t A ( ϕ B , R ) diag ⁡ ( ρ B , R ) \mathbf{G}_{t}=\operatorname{diag}\left(\boldsymbol{\rho}_{\mathrm{R}, \mathrm{M}}\right) \mathbf{A}^{\mathrm{H}}\left(\boldsymbol{\theta}_{\mathrm{R}, \mathrm{M}}\right) \boldsymbol{\Omega}_{t} \mathbf{A}\left(\boldsymbol{\phi}_{\mathrm{B}, \mathrm{R}}\right)\operatorname{diag}\left(\rho_{\mathrm{B}, \mathrm{R}}\right) Gt​=diag(ρR,M​)AH(θR,M​)Ωt​A(ϕB,R​)diag(ρB,R​)

这里注意到， 式子可以被化简为： [ G t ] m n = [ ρ R , M ] m ω t ⊤ α ( [ Δ ] m n ) [ ρ B , R ] n ,  for  m = 1 , … , L R , M , n = 1 , … , L B , R \begin{aligned} &{\left[\mathbf{G}_{t}\right]_{m n}=\left[\boldsymbol{\rho}_{\mathrm{R}, \mathrm{M}}\right]_{m} \boldsymbol{\omega}_{t}^{\top} \boldsymbol{\alpha}\left([\boldsymbol{\Delta}]_{m n}\right)\left[\boldsymbol{\rho}_{\mathrm{B}, \mathrm{R}}\right]_{n}} ,\text { for } m=1, \ldots, L_{\mathrm{R}, \mathrm{M}}, n=1, \ldots, L_{\mathrm{B}, \mathrm{R}} \end{aligned} ​[Gt​]mn​=[ρR,M​]m​ωt⊤​α([Δ]mn​)[ρB,R​]n​, for m=1,…,LR,M​,n=1,…,LB,R​​ 其中， [ Δ ] m n = asin ⁡ ( sin ⁡ ( [ ϕ B , R ] n ) − sin ⁡ ( [ θ R , M ] m ) ) [\boldsymbol{\Delta}]_{m n}=\operatorname{asin}\left(\sin \left(\left[\boldsymbol{\phi}_{\mathrm{B}, \mathrm{R}}\right]_{n}\right)-\sin \left(\left[\boldsymbol{\theta}_{\mathrm{R}, \mathrm{M}}\right]_{m}\right)\right) [Δ]mn​=asin(sin([ϕB,R​]n​)−sin([θR,M​]m​)) 笔者认为， 这是在 IRS 信道估计中， 极为重要的一个式子。 他的 推导比较简单，最笨的办法可以一项项手算， 能得到上面这个式子。 简单的提示就是因为 Ω t \Omega_t Ωt​ 是对角阵， 那么 Ω t A \Omega_t\mathbf{A} Ωt​A 等于用 Ω t \Omega_t Ωt​ 的对角元素向量 ω t \omega_t ωt​ 哈达玛积 A \mathbf{A} A 中的每一列。 再根据线性代数， 就可以得到上面的结果。

这里，我们关注到两个非常重要的事实：

• IRS 估计中， BS-IRS 和 UE-IRS 两个信道各自的增益，即 [ ρ R , M ] m \left[\boldsymbol{\rho}_{\mathrm{R}, \mathrm{M}}\right]_{m} [ρR,M​]m​ 和 [ ρ B , R ] n \left[\boldsymbol{\rho}_{\mathrm{B}, \mathrm{R}}\right]_{n} [ρB,R​]n​， 是无法精确估计的。 因为有无数组增益， 对应相同的 G t \mathbf{G}_t Gt​。 例如， 当 G t = 2 \mathbf{G}_t=2 Gt​=2 时， [ ρ R , M ] m \left[\boldsymbol{\rho}_{\mathrm{R}, \mathrm{M}}\right]_{m} [ρR,M​]m​ 和 [ ρ B , R ] n \left[\boldsymbol{\rho}_{\mathrm{B}, \mathrm{R}}\right]_{n} [ρB,R​]n​可以是 1 1 1 和 2 2 2， 也可以是 4 4 4 和 0.5 0.5 0.5， 然而这两组情况对应接收到的导频（通过 G t \mathbf{G}_t Gt​）得到的信号却是完全一样的。 也就是说， 这是绝不可能精确分辨的。
• 角度值也是不可分辨的。 因为可以有不同的两组角， 却对应相同的 Δ \Delta Δ。

但同时， 这也给了我们启示：

• 估计 IRS 的增益时， 只需要估计等效信道的增益，即 [ ρ R , M ] m [ ρ B , R ] n \left[\boldsymbol{\rho}_{\mathrm{R}, \mathrm{M}}\right]_{m}\left[\boldsymbol{\rho}_{\mathrm{B}, \mathrm{R}}\right]_{n} [ρR,M​]m​[ρB,R​]n​ 的结果。
• 而估计角度时， 也只需要估计 IRS 到达角与发送角之间的 角度正弦差。

回到我们的估计问题中， 根据 (2)， 通过收集多个时隙的导频信号如下： Y = [ vec ⁡ ( Y 1 ) , … , vec ⁡ ( Y T ) ] \mathbf{Y}=\left[\operatorname{vec}\left(\mathbf{Y}_{1}\right), \ldots, \operatorname{vec}\left(\mathbf{Y}_{T}\right)\right] Y=[vec(Y1​),…,vec(YT​)] [ Y ] i , : ⊤ ≈ N B N M v e c ( G i ) T + z i , = N B N M [ ω 1 , … , ω T ] ⊤ ρ i α ( θ ~ i ) + z i , = N B N M Ω ‾ ρ i α ( θ ~ i ) + z i , (3) \begin{aligned} [\mathbf{Y}]_{i,:}^{\top} & \approx \sqrt{N_{\mathrm{B}} N_{\mathrm{M}}}\mathrm{vec}(\mathbf{G}_\mathrm{i})^T+\mathbf{z}_{i}, \\ &=\sqrt{N_{\mathrm{B}} N_{\mathrm{M}}}\left[\boldsymbol{\omega}_{1}, \ldots, \boldsymbol{\omega}_{T}\right]^{\top} \rho_{i} \boldsymbol{\alpha}\left(\tilde{\theta}_{i}\right)+\mathbf{z}_{i}, \\ &=\sqrt{N_{\mathrm{B}} N_{\mathrm{M}}} \overline{\boldsymbol{\Omega}} \rho_{i} \boldsymbol{\alpha}\left(\tilde{\theta}_{i}\right)+\mathbf{z}_{i}, \end{aligned} \tag{3} [Y]i,:⊤​​≈NB​NM​ ​vec(Gi​)T+zi​,=NB​NM​ ​[ω1​,…,ωT​]⊤ρi​α(θ~i​)+zi​,=NB​NM​ ​Ωρi​α(θ~i​)+zi​,​(3) 其中， ρ i = [ ρ R , M ] m [ ρ B , R ] n θ ~ i = asin ⁡ ( sin ⁡ ( [ ϕ B , R ] n ) − sin ⁡ ( [ θ R , M ] m ) ) Ω ‾ = [ ω 1 , … , ω T ] ⊤ z i = [ vec ⁡ ( W 1 H Z 1 ) , … , vec ⁡ ( W T H Z T ) ] i , : T \begin{aligned} \rho_{i} &=\left[\boldsymbol{\rho}_{\mathrm{R}, \mathrm{M}}\right]_{m}\left[\boldsymbol{\rho}_{\mathrm{B}, \mathrm{R}}\right]_{n} \\ \tilde{\theta}_{i} &=\operatorname{asin}\left(\sin \left(\left[\boldsymbol{\phi}_{\mathrm{B}, \mathrm{R}}\right]_{n}\right)-\sin \left(\left[\boldsymbol{\theta}_{\mathrm{R}, \mathrm{M}}\right]_{m}\right)\right)\\ \overline{\boldsymbol{\Omega}}&=\left[\boldsymbol{\omega}_{1}, \ldots, \boldsymbol{\omega}_{T}\right]^{\top}\\ \mathbf{z}_{i}&=\left[\operatorname{vec}\left(\mathbf{W}_{1}^{\mathrm{H}} \mathbf{Z}_{1}\right), \ldots, \operatorname{vec}\left(\mathbf{W}_{T}^{\mathrm{H}} \mathbf{Z}_{T}\right)\right]_{i,:}^{\mathbf{T}} \end{aligned} ρi​θ~i​Ωzi​​=[ρR,M​]m​[ρB,R​]n​=asin(sin([ϕB,R​]n​)−sin([θR,M​]m​))=[ω1​,…,ωT​]⊤=[vec(W1H​Z1​),…,vec(WTH​ZT​)]i,:T​​

可以看到， 经过这样的转化， Y \mathbf{Y} Y 的 第 i i i 行中， 包含了 第 i i i 条路径的信息。 i = 1 , … , L B , R L R , M i=1, \ldots, L_{\mathrm{B}, \mathrm{R}} L_{\mathrm{R}, \mathrm{M}} i=1,…,LB,R​LR,M​。 而根据 (3)， 又可以看出这可以转化为经典的原子范数最小化问题。 这里就不再赘述具体的过程了， 可以查阅博客和原文。

得到信息后， 就可以恢复出 G t \mathbf{G}_t Gt​， 再结合第一阶段已估计的两个 A \mathbf{A} A 矩阵， 就完成了整个信道估计的过程。

波束成形

在得到了信道估计结果后， 作者给出了一种可行的波束成形（包括基站和用户的发送和接收波束成形， 以及IRS的被动波束成形）。尽管这并不是一种最优的方案， 但无疑其复杂度非常之低。

作者首先设计 Ω \Omega Ω， 其目标如下： Ω ⋆ = arg ⁡ max ⁡ Ω ∥ G ∥ F 2 \boldsymbol{\Omega}^{\star}=\arg \max _{\boldsymbol{\Omega}}\|\mathbf{G}\|_{\mathrm{F}}^{2} Ω⋆=argΩmax​∥G∥F2​

这样做的原因是， 在第二阶段的类似假设下， 这等价于最大化接收信噪比。 这个问题可以进而展开为： ω ⋆ = arg ⁡ max ⁡ ω ∑ i = 1 L B , R L R , M ∣ ρ ^ i ω ⊤ α ( θ ~ ^ i ) ∣ 2 = arg ⁡ max ⁡ ω ω ⊤ E E H ω ∗ , \begin{aligned} \boldsymbol{\omega}^{\star} &=\arg \max _{\omega} \sum_{i=1}^{L_{B, R} L_{R, M}}\left|\hat{\rho}_{i} \boldsymbol{\omega}^{\top} \boldsymbol{\alpha}\left(\hat{\tilde{\theta}}_{i}\right)\right|^{2} \\ &=\arg \max _{\omega} \boldsymbol{\omega}^{\top} \mathbf{E E}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{\omega}^{*}, \end{aligned} ω⋆​=argωmax​i=1∑LB,R​LR,M​​∣∣∣​ρ^​i​ω⊤α(θ~^i​)∣∣∣​2=argωmax​ω⊤EEHω∗,​ 便可以通过常见的 EVD 特征分解进行求解。 而 IRS 的恒模约束， 则只需对 EVD 的结果保留相位即可。

当确定了 Ω \Omega Ω 后， 等效的 BS-UE信道可以写为： H ^ = A ( ϕ ^ R , M ) G ^ A H ( θ ^ B , R ) \hat{\mathbf{H}}=\mathbf{A}\left(\hat{\phi}_{\mathrm{R}, \mathrm{M}}\right) \hat{\mathbf{G}} \mathbf{A}^{\mathrm{H}}\left(\hat{\boldsymbol{\theta}}_{\mathrm{B}, \mathrm{R}}\right) H^=A(ϕ^​R,M​)G^AH(θ^B,R​) 那么发送和接收波束就可以直接通过对其 SVD分解得到。 也就是可以把这个 IRS 的波束成形看做是传统的 MIMO波束成形即可。 可以看到， 尽管这并不是一个最优的方案， 但它不需要迭代， 行之有效。

仿真性能

最后是文章的性能仿真部分。 与一般的将信道矩阵的NMSE作为指标不同， 它以如下一些具体的信道参数的MSE作为指标： MSE ⁡ ( sin ⁡ ( θ B , R ) ) = E [ ∥ sin ⁡ ( θ B , R ) − sin ⁡ ( θ ^ B , R ) ∥ 2 2 L B , R ] MSE ⁡ ( sin ⁡ ( ϕ R , M ) ) = E [ ∥ sin ⁡ ( ϕ R , M ) − sin ⁡ ( ϕ ^ R , M ) ∥ 2 2 L R , M ] MSE ⁡ ( sin ⁡ ( Δ ) ) = E [ ∥ sin ⁡ ( Δ ) − sin ⁡ ( Δ ^ ) ∥ F 2 L B , R L R , M ] MSE ⁡ ( ρ ) = E [ ∥ ρ − ρ ^ ∥ 2 2 L B , R L R , M ] \begin{aligned} \operatorname{MSE}\left(\sin \left(\boldsymbol{\theta}_{\mathrm{B}, \mathrm{R}}\right)\right) &=\mathbb{E}\left[\frac{\left\|\sin \left(\boldsymbol{\theta}_{\mathrm{B}, \mathrm{R}}\right)-\sin \left(\hat{\boldsymbol{\theta}}_{\mathrm{B}, \mathrm{R}}\right)\right\|_{2}^{2}}{L_{\mathrm{B}, \mathrm{R}}}\right] \\ \operatorname{MSE}\left(\sin \left(\phi_{\mathrm{R}, \mathrm{M}}\right)\right) &=\mathbb{E}\left[\frac{\left\|\sin \left(\phi_{\mathrm{R}, \mathrm{M}}\right)-\sin \left(\hat{\boldsymbol{\phi}}_{\mathrm{R}, \mathrm{M}}\right)\right\|_{2}^{2}}{L_{\mathrm{R}, \mathrm{M}}}\right] \\ \operatorname{MSE}(\sin (\boldsymbol{\Delta})) &=\mathbb{E}\left[\frac{\|\sin (\boldsymbol{\Delta})-\sin (\hat{\boldsymbol{\Delta}})\|_{\mathrm{F}}^{2}}{L_{\mathrm{B}, \mathrm{R}} L_{\mathrm{R}, \mathrm{M}}}\right] \\ \operatorname{MSE}(\boldsymbol{\rho}) &=\mathbb{E}\left[\frac{\|\boldsymbol{\rho}-\hat{\boldsymbol{\rho}}\|_{2}^{2}}{L_{\mathrm{B}, \mathrm{R}} L_{\mathrm{R}, \mathrm{M}}}\right] \end{aligned} MSE(sin(θB,R​))MSE(sin(ϕR,M​))MSE(sin(Δ))MSE(ρ)​=E⎣⎢⎡​LB,R​∥∥∥​sin(θB,R​)−sin(θ^B,R​)∥∥∥​22​​⎦⎥⎤​=E⎣⎢⎡​LR,M​∥∥∥​sin(ϕR,M​)−sin(ϕ^​R,M​)∥∥∥​22​​⎦⎥⎤​=E[LB,R​LR,M​∥sin(Δ)−sin(Δ^)∥F2​​]=E[LB,R​LR,M​∥ρ−ρ^​∥22​​]​ 另外， 如同上面我们所提到过的， 在生成信道时， 他假定了两条路径的正弦差要大于 4 / N B , 4 / N R 4 / N_{\mathrm{B}}, 4 / N_{\mathrm{R}} 4/NB​,4/NR​, and 4 / N M 4 / N_{\mathrm{M}} 4/NM​。