Joint Tx-Rx Beamforming Design for Multicarrier MIMO Channels: A Unified Framework (2)

前言

接上篇博客 Joint Tx-Rx Beamforming Design for Multicarrier MIMO Channels: A Unified Framework (1)。

发射机设计

在上文中我们讲到了，对发射机的设计可以表示为如下问题：

min ⁡ B f 0 ( d ( E ( B ) ) )  s.t.  Tr ⁡ ( B B H ) ≤ P T \begin{array}{ll} \min _{\mathbf{B}} & f_{0}(\mathbf{d}(\mathbf{E}(\mathbf{B}))) \\ \text { s.t. } & \operatorname{Tr}\left(\mathbf{B B}^{H}\right) \leq P_{T} \end{array} minB​ s.t. ​f0​(d(E(B)))Tr(BBH)≤PT​​

其中， d ( E ( B ) ) \mathbf{d}(\mathbf{E}(\mathbf{B})) d(E(B))代表由MSE矩阵对角元素所组成的向量。MSE矩阵在接收机采用MMSE接收时，可表示为： E ( B ) = ( I + B H R H B ) − 1 \mathbf{E}(\mathbf{B})=\left(\mathbf{I}+\mathbf{B}^{H} \mathbf{R}_{H} \mathbf{B}\right)^{-1} E(B)=(I+BHRH​B)−1。( R H k ≜ H k H R n k − 1 H k \mathbf{R}_{H_{k}} \triangleq \mathbf{H}_{k}^{H} \mathbf{R}_{n_{k}}^{-1} \mathbf{H}_{k} RHk​​≜HkH​Rnk​−1​Hk​) B \mathbf{B} B的维度为 n t × L n_t\times L nt​×L，分别代表发送天线数和数据流数。令 L ˇ ≜ min ⁡ ( L , rank ⁡ ( R H ) ) \check{L} \triangleq \min \left(L, \operatorname{rank}\left(\mathbf{R}_{H}\right)\right) Lˇ≜min(L,rank(RH​))。

那么，有如下关键定理：

• 若 f 0 f_0 f0​为Schur-凹函数，则最优解为： B = U H , 1 Σ B , 1 \mathbf{B}=\mathbf{U}_{H, 1} \boldsymbol{\Sigma}_{B, 1} B=UH,1​ΣB,1​ 其中， U H , 1 \mathbf{U}_{H, 1} UH,1​为 R H \mathbf{R}_{H} RH​的最大的 L ˇ \check{L} Lˇ个特征向量组成的矩阵，维度为 n t × L ˇ n_t\times\check{L} nt​×Lˇ。 Σ B , 1 = [ 0 diag ⁡ ( { σ B , i } ) ] ∈ C L ˇ × L \boldsymbol{\Sigma}_{B, 1}=\left[\mathbf{0} \operatorname{diag}\left(\left\{\sigma_{B, i}\right\}\right)\right] \in \mathbb{C}^{\check{L} \times L} ΣB,1​=[0diag({σB,i​})]∈CLˇ×L。也就是说， B \mathbf{B} B的最优解由特征向量组成。
• 若 f 0 f_0 f0​为Schur-凸函数，则最优解为： B = U H , 1 Σ B , 1 V B H \mathbf{B}=\mathbf{U}_{H, 1} \boldsymbol{\Sigma}_{B, 1} \mathbf{V}_{B}^{H} B=UH,1​ΣB,1​VBH​ 其中， V B \mathbf{V}_{B} VB​是一个酉矩阵，负责令MSE矩阵 E \mathbf{E} E的所有对角元素相等。(这个矩阵可以由引文中的算法确定)

这是一个很重要的结论，揭示了绝大部分常见的通信系统指标的最优解结构。我们先抛砖引玉，接下来我们详述Schur-凸函数的定义。

Schur-凸

对于一个降序排列的向量，即 x [ 1 ] ≥ ⋯ ≥ x [ n ] x_{[1]} \geq \cdots \geq x_{[n]} x[1]​≥⋯≥x[n]​ 那么，如果有： ∑ i = 1 k x [ i ] ≤ ∑ i = 1 k y [ i ] , 1 ≤ k ≤ n − 1 ∑ i = 1 n x [ i ] = ∑ i = 1 n y [ i ] \begin{aligned} &\sum_{i=1}^{k} x_{[i]} \leq \sum_{i=1}^{k} y_{[i]}, \quad 1 \leq k \leq n-1 \\ &\sum_{i=1}^{n} x_{[i]}=\sum_{i=1}^{n} y_{[i]} \end{aligned} ​i=1∑k​x[i]​≤i=1∑k​y[i]​,1≤k≤n−1i=1∑n​x[i]​=i=1∑n​y[i]​​ 则记为： x ≺ y \mathbf{x} \prec \mathbf{y} x≺y。这也被称为 y \mathbf{y} y majorize x \mathbf{x} x。

那么， 对于函数 ϕ \phi ϕ，如果： x ≺ y ⇒ ϕ ( x ) ≤ ϕ ( y ) \mathbf{x} \prec \mathbf{y} \Rightarrow \phi(\mathbf{x}) \leq \phi(\mathbf{y}) x≺y⇒ϕ(x)≤ϕ(y) 则称 ϕ \phi ϕ为Schur-凸函数。 反之，当： x ≺ y ⇒ ϕ ( x ) ≥ ϕ ( y ) \mathbf{x} \prec \mathbf{y} \Rightarrow \phi(\mathbf{x}) \geq \phi(\mathbf{y}) x≺y⇒ϕ(x)≥ϕ(y) 则称之为Schur-凹函数。

对于majorize， 这里作者给出了几个将要用到的例子:

• 对于 n × n n\times n n×n共轭对称矩阵 R \mathbf{R} R，其对角线元素组成的向量 d \mathbf{d} d和特征值组成的向量 λ \boldsymbol{\lambda} λ （均降序排列） 有： d ≺ λ . \mathbf{d} \prec \boldsymbol{\lambda} . d≺λ.

证明： 考察 t r ( A H R A ) \mathrm{tr}(\mathbf{A}^H\mathbf{R}\mathbf{A}) tr(AHRA)，其中 A H A = I \mathbf{A}^H\mathbf{A}=\mathbf{I} AHA=I， A \mathbf{A} A为 n × m n\times m n×m维矩阵。这是经典的瑞丽熵形式，因此： ∑ i = 1 m λ i = max ⁡ A t r ( A H R A ) \sum_{i=1}^m\lambda_i=\max_\mathbf{A}\mathrm{tr}(\mathbf{A}^H\mathbf{R}\mathbf{A}) i=1∑m​λi​=Amax​tr(AHRA) 显然，存在 A = [ I 0 ] \mathbf{A}=[\mathbf{I} \quad 0] A=[I0]，使得 t r ( A H R A ) \mathrm{tr}(\mathbf{A}^H\mathbf{R}\mathbf{A}) tr(AHRA)恰为 R \mathbf{R} R的前 m m m个对角元素之和。因此，对于任意 m m m，始终有： ∑ i = 1 m d i ≤ ∑ i = 1 m λ i \sum_{i=1}^m d_i \le \sum_{i=1}^m\lambda_i i=1∑m​di​≤i=1∑m​λi​ 又因为 t r ( R ) = ∑ i = 1 n d i = ∑ i = 1 n λ i \mathrm{tr}(\mathbf{R})= \sum_{i=1}^n d_i = \sum_{i=1}^n\lambda_i tr(R)=i=1∑n​di​=i=1∑n​λi​ 因此得证。

• 对于降序排列的 n n n维向量 x \mathbf{x} x， ∑ i = 1 n x i = n \sum_{i=1}^nx_i=n ∑i=1n​xi​=n，那么显然有： 1 ≺ x \mathbf{1} \prec \mathbf{x} 1≺x 1 \mathbf{1} 1为全 1 1 1向量。这个很容易证明，就不再展开了。

定理的意义

回到一开始介绍的定理，那么：

当 f 0 f_0 f0​为Schur-凹时， B = U H , 1 Σ B , 1 \mathbf{B}=\mathbf{U}_{H, 1} \boldsymbol{\Sigma}_{B, 1} B=UH,1​ΣB,1​ 此时不难发现： B H R H B \mathbf{B}^{H} \mathbf{R}_{H} \mathbf{B} BHRH​B退化为一个对角阵。 因此，MSE矩阵 E ( B ) = ( I + B H R H B ) − 1 \mathbf{E}(\mathbf{B})=\left(\mathbf{I}+\mathbf{B}^{H} \mathbf{R}_{H} \mathbf{B}\right)^{-1} E(B)=(I+BHRH​B)−1也变成了一个对角阵。 类似地，也可以发现接收机 A \mathbf{A} A也将是一个对角阵。 这就说明，对于这一类目标函数，最优的发送策略就是将等效矩阵对角化。此时，接收得到的信号可以写为：

x ^ = ( I + Σ B , 1 H D H , 1 Σ B , 1 ) − 1 Σ B , 1 H D H , 1 1 / 2 ( D H , 1 1 / 2 Σ B , 1 x + w ) \hat{\mathbf{x}}=\left(\mathbf{I}+\boldsymbol{\Sigma}_{B, 1}^{H} \mathbf{D}_{H, 1} \boldsymbol{\Sigma}_{B, 1}\right)^{-1} \boldsymbol{\Sigma}_{B, 1}^{H} \mathbf{D}_{H, 1}^{1 / 2}\left(\mathbf{D}_{H, 1}^{1 / 2} \boldsymbol{\Sigma}_{B, 1} \mathbf{x}+\mathbf{w}\right) x^=(I+ΣB,1H​DH,1​ΣB,1​)−1ΣB,1H​DH,11/2​(DH,11/2​ΣB,1​x+w) 因此MSE矩阵也可以表示为： MSE ⁡ i = { 1 , 1 ≤ i ≤ L 0 1 1 + σ B , ( i − L 0 ) 2 λ H , ( i − L 0 ) , L 0 < i ≤ L \operatorname{MSE}_{i}= \begin{cases}1, & 1 \leq i \leq L_{0} \\ \frac{1}{1+\sigma_{B,\left(i-L_{0}\right)}^{2} \lambda_{H,\left(i-L_{0}\right)}}, & L_{0}