Uva1356/uvalive3485 Bridge桥上的绳索 (数学推导,曲线长度,定积分)

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/UVA1356 在一条长度为B的线段 l l l上，等距截取一些端点，两个相邻端点的距离为 d d d. ( d ⩽ D ） (d\leqslant D） (d⩽D）。每个端点处，都作了一条长度为 H H H的线段，且与线段 l l l垂直。在两个相邻线段之间，都存在一条全等的抛物线，且所有抛物线的长度总和为L。

给定H,D,B,L，你需要找出一个d（ d ⩽ D d\leqslant D d⩽D），使得抛物线的最小值点距线段l的距离x尽可能小（ y ⩾ 0 y\geqslant0 y⩾0），输出这个x，保留两位小数。 思路:要使得桥的数目最少,那么就让每个桥的间距恰好等于D.那么桥的数目 n = ( B + D − 1 ) / D n=(B+D-1) / D n=(B+D−1)/D. 那么每一条绳索的长度是 L / n L/n L/n,间距是 B / n B/n B/n.令 l = L / n , b = B / n . l=L/n,b=B/n. l=L/n,b=B/n. 现在的目标是知道 l 与 b 要 求 算 出 x l与b要求算出x l与b要求算出x,进一步地,我们知道了 H H H,只用算出 y = H − x y=H-x y=H−x就可以了,那么 y y y的意义就是一个二次函数 y ′ = a x 2 y'=ax^2 y′=ax2,曲线长度为 l l l,在 x = b / 2 处 对 应 的 y ′ 的 值 x=b/2处对应的y'的值 x=b/2处对应的y′的值. 通过微积分的知识,我们知道一个可导函数的曲线长度计算方式是这样的: s = ∫ a b 1 + f ′ ( x ) 2 d x s=\int^b_a\sqrt{1+{f'(x)}^2}dx s=∫ab​1+f′(x)2 ​dx.我们现在知道了曲线长度 l , 想 要 求 得 他 对 应 的 在 横 坐 标 等 于 b / 2 时 , 对 应 的 纵 坐 标 值 , 假 设 这 个 纵 坐 标 是 l,想要求得他对应的在横坐标等于b/2时,对应的纵坐标值,假设这个纵坐标是 l,想要求得他对应的在横坐标等于b/2时,对应的纵坐标值,假设这个纵坐标是y. 那么代入坐标(b/2,y)进入 f ( x ) = a x 2 f(x)=ax^2 f(x)=ax2,解得 a = 4 ∗ y / b 2 a=4*y/b^2 a=4∗y/b2 那么 f ( x ) = 4 y b 2 ∗ x 2 f(x)=\frac{4y}{b^2}*x^2 f(x)=b24y​∗x2 并且对 f ( x ) 求 导 , f ′ ( x ) = 8 y b 2 ∗ x f(x)求导,f'(x)=\frac{8y}{b^2}*x f(x)求导,f′(x)=b28y​∗x f ′ ( x ) 2 = 64 y 2 b 4 ∗ x 2 f'(x)^2=\frac{64y^2}{b^4}*x^2 f′(x)2=b464y2​∗x2 代入我们已知的值进入上面的式子,由于二次函数在 [ ( − b / 2 ) , ( b / 2 ) ] 的 积 分 区 域 是 对 称 的 , 可 以 转 化 为 两 倍 的 [ 0 , b / 2 ] 对 应 积 分 区 域 的 值 , 也 就 是 [(-b/2),(b/2)]的积分区域是对称的,可以转化为两倍的[0,b/2]对应积分区域的值,也就是 [(−b/2),(b/2)]的积分区域是对称的,可以转化为两倍的[0,b/2]对应积分区域的值,也就是 l = 2 ∗ ∫ 0 b / 2 1 + f ′ ( x ) 2 d x l=2*\int^{b/2}_0 {\sqrt{1+{f'(x)^2}} dx} l=2∗∫0b/2​1+f′(x)2 ​dx l = 2 ∗ ∫ 0 b / 2 1 + 16 y 2 b 4 ∗ x 2 d x l=2*\int^{b/2}_0{\sqrt{1+\frac{16y^2}{b^4}*x^2} dx} l=2∗∫0b/2​1+b416y2​∗x2 ​dx 我们似乎陷入迷茫了,这该怎么办,我们现在知道的是 l l l与求出 l l l的公式,我们的目标是求得一个y值,尽量满足上述式子.显然当 y y y的值越大时,弧长是越大的,我们考虑用二分 y y y的值来解决这题. 显然 0 < = y < = H . 0