【配套教材】概率论与数理统计教程（第三版）——茆诗松
1.1.1 随机现象- 随机现象：在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。
例如：掷一颗骰子，结果不止一个，哪一个结果出现，人们事先也不知道。
- 确定性现象：只有一个结果的现象称为确定性现象。
例如：太阳从东方升起，水往低处流，异性电荷相吸等等。
- 随机试验：对在相同条件下可以重复的随机现象的观察、记录、试验称为随机试验。
- 样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，记为 Ω \Omega Ω = { ω \omega ω }，其中 ω \omega ω 表示基本结果，又称为样本点，样本点是今后抽样的最基本单元。
例如，抛一枚硬币的样本空间为 Ω 1 \Omega_1 Ω1 = { ω 1 ， ω 2 \omega_1，\omega_2 ω1，ω2}，其中 ω 1 \omega_1 ω1表示正面朝上， ω 2 \omega_2 ω2表示反面朝上。
注意：
（1）样本空间中的元素可以是数也可以不是数。
（2）随机现象的样本空间至少有两个样本点，如果将确定性现象放在一起考虑，则含有一个样本点的样本空间对应的为确定性现象。
（3）按样本点的个数可分为离散样本空间与连续样本空间。
1.1.3 随机事件- 随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件，常用大写字母表示。
- 维恩（Venn）图：在概率论中常用一个长方形表示样本空间 Ω \Omega Ω，用其中一个圆或者其他几何图形表示事件，这类图形称为维恩（Venn）图。
注意：
由样本空间 Ω \Omega Ω中的单个元素组成的子集称为基本事件，而样本空间 Ω \Omega Ω的最大子集（即 Ω \Omega Ω本身）称为必然事件，样本空间 Ω \Omega Ω的最小子集（即空集 ∅ \varnothing ∅）称为不可能事件。
1.1.4 随机变量- 随机变量：用来表示随机现象结果的变量称为随机变量。
- 包含关系
如果属于A的样本点必属于B，则称A被包含在B中（如图1），或称B包含A，记为A ⊂ \subset ⊂B，或B ⊃ \supset ⊃A。用概率论的语言说：事件A发生必然导致事件B发生。
例如，掷一颗骰子，事件A=“出现4点”，事件B=“出现偶数点”，事件A的发生必然导致事件B的发生，故A ⊂ \subset ⊂B。
图1 包含关系
- 相等关系
如果事件A与事件B满足：属于A的样本点必属于B，而且属于B的样本点必属于A，即A ⊂ \subset ⊂B且B ⊂ \subset ⊂A，则称事件A与B相等，记为A=B。
例如，掷两颗骰子，以A记事件“两颗骰子的点数之和为奇数”，以B记事件“两颗骰子的点数为一奇一偶”。很容易证明：A发生必然导致B发生，而且B发生也必然导致A发生，所以A=B。
- 互不相容
如果A与B没有相同的样本点（如图2），则称A与B互不相容。用概率论的语言说：A与B互不相容就是事件A与事件B不可能同时发生。
例如，在电视机寿命试验中，“寿命小于1万小时”与“寿命大于5万小时”是两个互不相容的事件，因为它们不可能同时发生。
图2 互不相容
1.1.6 事件间的运算- 事件A与B的并
记为A ∪ \cup ∪B，事件A与B中至少有一个发生（如图3左）。
例如，在掷一颗骰子的试验中，记事件A=“出现奇数点”={1,3,5}，记事件B=“出现的点数不超过3”={1,2,3}，则A与B的并为A ∪ \cup ∪B={1,2,3,5}。
- 事件A与B的交
记为A ∩ \cap ∩B，事件A与B同时发生（如图3右）。
例如，在掷一颗骰子的试验中，记事件A=“出现奇数点”={1,3,5}，记事件B=“出现的点数不超过3”={1,2,3}，则A与B的交为A ∩ \cap ∩B={1,3}。
图3 并与交
- 事件A对B的差
记为A-B，事件A发生而B不发生（如图4）。
例如，在掷一颗骰子的试验中，记事件A=“出现奇数点”={1,3,5}，记事件B=“出现的点数不超过3”={1,2,3}，则A与B的交为A-B={5}。
图4 差
- 对立事件
事件A的对立事件，记为 A ‾ \overline{A} A，也就是A不发生，即 A ‾ = Ω − A \overline{A}=\Omega-A A=Ω−A。
例如，在掷一颗骰子的试验中，事件A=“出现奇数点”={1,3,5}的对立事件是 A ‾ \overline{A} A={2,4,6}。
注意：
（1）对立事件一定是互不相容的事件，即 A ∩ A ‾ = ∅ A\cap\overline{A}=\varnothing A∩A=∅。但互不相容的事件不一定是对立事件。
（2） A − B A-B A−B可以记为 A B ‾ A\overline{B} AB。
- 事件的运算性质
（1）交换律 A ∪ B = B ∪ A ， A B = B A A \cup B = B \cup A，AB=BA A∪B=B∪A，AB=BA （2）结合律 （ A ∪ B ） ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) （A \cup B）\cup C = A \cup (B \cup C) （A∪B）∪C=A∪(B∪C) ( A B ) C = A ( B C ) (AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC)
（3）分配律 ( A ∪ B ) ∩ C = A C ∪ B C (A \cup B)\cap C=AC \cup BC (A∪B)∩C=AC∪BC
( A ∩ B ) ∪ C = ( A ∪ C ) ∩ ( B ∪ C ) (A \cap B)\cup C=(A \cup C)\cap(B \cup C) (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)
（4）对偶律（德摩根公式） A ∪ B ‾ = A ‾ ∩ B ‾ , A ∩ B ‾ = A ‾ ∪ B ‾ \overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B}, \overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B} A∪B=A∩B,A∩B=A∪B
1.1.7 事件域设 Ω \Omega Ω为一样本空间， F \mathcal{F} F为 Ω \Omega Ω的某些子集所组成的集合类。如果 F \mathcal{F} F满足：
（1） Ω ∈ F \Omega\in\mathcal{F} Ω∈F；
（2）若 A ∈ F A\in\mathcal{F} A∈F，则对立事件 A ‾ ∈ F \overline{A}\in\mathcal{F} A∈F；
（3）若 A n ∈ F A_n\in\mathcal{F} An∈F， n = 1 , 2 ， . . . n=1,2，... n=1,2，...，则可列并 ⋃ n = 1 ∞ A n ∈ F \bigcup_{n=1}^\infty A_n\in\mathcal{F} ⋃n=1∞An∈F
则称 F \mathcal{F} F为一个事件域，又称为 σ \sigma σ域或 σ \sigma σ代数。
在概率论中，又称（ Ω ， F \Omega，\mathcal{F} Ω，F）为可测空间。
例如，若样本空间只含有两个样本点 Ω \Omega Ω={ ω 1 ， ω 2 \omega_1， \omega_2 ω1，ω2 }，记 A A A={ ω 1 \omega_1 ω1 }， A ‾ \overline{A} A={ ω 2 \omega_2 ω2 }，则其事件域为 F \mathcal{F} F= { ∅ ， A ， A ‾ ， Ω \varnothing，A，\overline{A}，\Omega ∅，A，A，Ω }。
