中值定理习题

1.1、证明方程 x5 + x + 1 = 0 只有一个正根。 1.1.1、通过零点定理，证明存在性

1.1.2、通过反证法，假设有两个正根，然后通过罗尔定理的至少有一点f’(x0) = 0 , x0属于（x1,x2）, 但是与原方程矛盾，从而证明唯一性。

1.2、f(x)在[0, 1]有三阶导数，且f(0) = f(1) = 0, F(x) = x3f(x),

证: 在（0， 1）内至少有一点b， 使得F’’’(b) = 0

使用三次罗尔定理

1.3、例3： 拉格朗日中值定理

1.4、例4： 使用两次拉格朗日中值定理

1.5、试确定常数a和b,使得f(x)=x-(a+bcosx)sinx为x趋于0时关于x的5阶无穷小。

1.5.1、什么是5阶无穷小? (具体见无穷小的商) 先进行一步简化cosxsinx = 1/2sin(2x) 极限存在，x->0, 就是一个0/0型， 可以运用洛必达法则， 继续运用洛必达法则：

由a+b=1和a+4b=0计算a,b值