二维几何变换

前言

应用于对象几何描述并改变它的位置、方向或大小的操作称为几何变换。最常见的就是平移、旋转和缩放这三种最基本的几何变换。

相关名词关系示意：

变换公式 平移（translation）

二维平移方程

齐次坐标二维平移矩阵

旋转（rotation）

二维旋转矩阵（相对原点） 

 齐次坐标二维旋转矩阵（相对原点，对于通用矩阵可以先平移到原点，操作完再平移回去）

缩放（scaling）

二维缩放矩阵（相对原点）

 齐次坐标缩放矩阵（相对原点，对于通用矩阵可以先平移到原点，操作完再平移回去）

  

反射（reflection）

产生对象镜像的变换称为反射。画图太费时间了，下面借用下别人的图（https://blog.csdn.net/wcyoot/article/details/33310329）

关于 x 轴对称

关于 y 轴对称

关于原点对称

关于 y=x 轴对称

关于 y=-x 轴对称

错切（shear）

 错切变换的变换矩阵为：

沿 x 方向错切：b=0

沿 y 方向错切：c=0

两个方向错切：b 和 c 都不等于 0。

几种基本几何变换的效果示意： 

复合变换

利用矩阵表达式，可以通过计算单个变换的矩阵乘积，将任意的变换序列组成复合变换矩阵。形成变换矩阵的乘积也叫矩阵的合并或复合。

 （P为坐标点，M为变换矩阵）

矩阵表示和齐次坐标

可以看出，每个基本变换（平移、旋转和缩放）都可以表示为普通矩阵形式：

P' 和 P 为列向量，矩阵 M1 是一个包含乘法系数的 2x2 矩阵， M2 是包含平移项的两元素列矩阵。对于平移，M1 是单位矩阵；对于旋转缩放，M2 包含与基准点或缩放固定点相关的平移项。如果将 2x2 矩阵扩充为 3x3 矩阵，就可以把二维几何变换的乘法和平移项组合成单一矩阵表示。这时将变换矩阵的第三列用于平移项，而所有的变换公式都可以表达为矩阵乘法。

参考 

书籍：《计算机图形学》中文第四版

知乎：https://www.zhihu.com/question/20666664

博客：https://blog.csdn.net/wcyoot/article/details/33310329

博客：https://blog.csdn.net/andylei777/article/details/78333817