线性代数 --- 矩阵与向量的乘法

松下J27 发布时间：2021-09-27 14:57:21 ，浏览量：0

矩阵与向量相乘

part I 矩阵与向量的乘法：

矩阵x向量（注：可以把列向量看成是nx1的矩阵）

现有如下方程组：

9个系数，3个未知数，等式右边有3个数

上述方程组可用矩阵的方式改写成，一个系数矩阵A与一个未知数向量x的乘积，乘积的结果等于右端向量b：

现在我们分别用两种方法，行乘和列乘来计算系数矩阵A和未知数向量x的乘法。

第一种方法，行乘：用A矩阵中的每一行row去乘以x，如下

这种计算方法得到的结果，正好是原始方程组中的第一个方程。依此类推，也就是用A矩阵中的第二，第三行，逐一与向量x相乘，就能得到原始方程。

$\large \begin{bmatrix} 2 &1 &1 \\ 4&-6 &0 \\ -2&7 &2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u \\v \\w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2u+w+w\\ 4u-6v\\ -2u+7v+2w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5\\ -2\\ 9 \end{bmatrix}$

一个1xn的行向量乘以一个nx1的列向量是一个非常基本的操作，他会得到一个数1x1。这个算法又叫矩阵的内积（Inner product）。例如，用A中的第一行[2 1 1]乘以另外一个列向量[1 1 2]，得到的就是一个数[5]。

另一种方法就是，列乘：把b看成是A中各列（column）与未知数向量x线性组合的结果，其中，u,v,w分别代表了矩阵A中第1，2，3列所对应的权重。

$\large u\begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\-2 \end{bmatrix}+v\begin{bmatrix} 1 \\ -6 \\7 \end{bmatrix}+w\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5 \\ -2 \\9 \end{bmatrix}$

这种计算方法是首选，也是学习线性代数该有的视角(强烈推荐)。因为他是在用线性组合的方式来看问题。（在后面的学习中，我们会用空间Space这种更高的视角来看Ax=b。）就好像我在另外一篇自己的学习总结中写的那样，学习线性代数的重点，不应该是只学习如果求解Ax=b，而是去学习如果表达Ax=b。

矩阵与向量相乘 part II 矩阵与矩阵的乘法：

有了前面的基础知识，我们就应该摈弃早年学习线性代数时，早已形成的那种，用A中的逐行乘以列的方式计算Ax，“一头扎进”列向量的线性组合的视角。矩阵与矩阵相乘分为矩阵的左(前)乘与矩阵的右(后)乘，矩阵的右(后)乘即为对矩阵的列操作，而矩阵的左(前)乘即为矩阵的行操作。

矩阵的右(后)乘：矩阵B右乘矩阵A，AB

矩阵B右乘矩阵A。首先，把矩阵B看成一个个列向量 $col_{1}$ , $col_{2}$ ...... $col_{n}$ ，其次，把这些列向量看成对A中各列线性组合的列权重，即， $col_{1}=W_{1},col_{2}=W_{2},...,col_{n}=W_{n}$ 。（牢记口诀：后乘矩阵，列操作。）

矩阵的左(前)乘：矩阵B左乘矩阵A，BA

矩阵B左乘矩阵A。首先，把矩阵B看成一个个行向量 $row_{1}$ , $row_{2}$ ,... $row_{n}$ ，其次，把这些行向量看成对A中各行线性组合的行权重，即， $row_{1}=W_{1},row_{2}=W_{2},...,row_{n}=W_{n}$ 。（牢记口诀：前乘矩阵，行操作。）