首先，和微积分类比一下：有测度论和没测度论的概率论，对应到数学分析中，就是有实数完备性理论和没有实数完备性理论的微积分。
看起来是不是有点绕。
事实上，就和实数完备性对于微积分的重要性一样。有了测度论，才可以在集合的基础上完备定义事件的集合（样本空间）、样本空间事件集合的集合（西格玛代数）和对于集合的测度（概率）。这是奠定概率论的基本公理，没有这些数学上的严谨定义，概率论自然不能如此严谨地演绎。如果能学好测度论，对于概率论及其后续课程的理解也会更加透彻，尤其是在大数定律部分。
但是，在实际运用上，同样可以只从概率的角度对实际问题进行研究。也就是说，我们用的时候，一般是不考虑可测性之类的问题。就像很多人不知道实数完备性照样可以计算微积分一样。对于基本公理的理解只是便于对于学科的理解，因此学好了测度，看问题的角度还是会有所不同。建议有能力的同学还是好好学学吧，毕竟之后的课程中如随机过程还是跑不开这类问题。你有了测度的只是再学习类似鞅，西格玛代数域这类问题时，就会有比较清楚的认识。
测度论是概率论的理论基础，所以概率中的一些概念抽象化就是对应的测度论中的概念。
概率是要度量“事件发生的可能性”的大小，事件的抽象化描述就是集合，需要考察“事件的全体”，对应到测度论就是“集合系”。“事件发生的可能性”是对事件的一种度量，对应到测度论就是“集合的测度”。
不是每个事件都可以定义其概率（发生的可能性的大小）的，对应的就是不是每个集合都可以定义测度，可以定义测度集合就是可测集。同时，事件必然要涉及到事件的组合运算（复杂事件是可由基本事件表示出来），对应的就是集合的交、并、差、余、极限的运算到复杂集合，所以又需要保证做可列次这些运算不能超出全体范围（即可测集的范围要足够大，以保证集合的可列次交、并、差、余、极限的运算，之后还在里面）
那么什么样的集合系，才能保证其中的集合是可测集（可以定义测度，又对那些运算封闭）呢？测度论中讲了，只要集合系是σ-代数（也叫σ-域）就可以了。σ-代数的基本定义是：1. 全集在里面；2. 里面每个集合的余集在里面；3. 里面任意可列个集合的并集在里面。有了这三条基本定义，就可以推出：空集、可列次交、并、差、上限集、下限集运算之后都能在里面。就满足需要了。
所以，集合X + 该集合上的一个σ-代数F，（X，F）就是一个可测空间了，即可以定义测度的空间（F中任一集合都可以定义其测度（某种度量））。进一步再定义了测度μ，那么（X, F, μ）就是测度空间。
对应到概率论中，样本空间Ω，事件域F（是个σ-代数），概率测度P，放一起（Ω，F，P）就是概率测度空间。概率测度P是满足特殊要求的一种测度：P(Ω)=1.
Borel Feild就是Borel σ-代数，表示实数轴上的σ-代数，可由实轴上的所有开集生成（的σ-代数），也可由实数轴上所有的(-∞,a]这样的区间生成（σ-代数），是相等的。按σ-代数前面说的，实数轴上开集、闭集的至多可列次交、并、差(余)、上限集、下限集、极限集的运算，都超不出该Borel σ-代数的范围。
Borel σ-代数（我用Br表示）有什么用？其实概率论中的随机变量，对应测度论中的可测函数，而可测函数就是从可测空间（X，F)到（R，Br）的可测映射：即Br中的任一集合在该映射下的原像都属于F（即都是X上的可测集）。
再说说随机变量，前面说了概率论中要用集合表示事件，但事件五花八门，怎么统一用一种简单的集合表示呢？这就用到映射的概念，建立一种从样本空间（基本事件的全体）到实数轴的映射（一一对应）就可以了，这种映射就是随机变量。有了它，基本事件映射到实数轴上就是的基本区间，基本事件经过运算生成的复杂事件，映射到实数轴上就是实数轴上Borel σ-代数中的集合。
因为有了这个对应关系，要度量“事件发生的可能性的大小”（即概率测度），只要度量“实数轴上Borel σ-代数中的集合” 就可以了（前面说了Br因为是σ-代数是可以定义测度的，给Br中的集合定义概率测度就行了）。
所以，随机变量的测度论语言定义是这样的：设（Ω，F，P）为概率测度空间，若对实数轴上Borel σ-代数中的任一集合（称为Borel集）B，都有 {w∈Ω: X(w) ∈B} ∈F，则称X(w)为随机变量。
总之，随机变量就是建立了“随机事件”到“实数轴上Borel σ-代数”的一种对应，并且保证了建立了这种对应的随机事件都是可以定义概率测度的。
既然随机事件{w∈Ω: x(w) ∈B}属于F，那么可以有概率，即P{w∈Ω: x(w) ∈B}是有意义的，为了简单，概率中就记P{w∈Ω: X(w)∈B} = P{X ∈B} 了。
特别地，若取B=(-∞,x), 则事件{X∈B}的概率
P{X∈B} = P{X≤x} :=F(x)
就定义成随机变量X的分布函数。因为对任意的区间(a,b], 都可表示成
P{X ∈(a,b] } =P{a
进而，由这样的区间经过至多可列次交、并、差运算的复杂的实数轴上的Borel集都可以用F(x)给出其概率。
当然，随机变量也可以定义为从样本空间到平面R2上的映射，就是二元随机变量。
