微积分基本定理

目前为止，我们通过逼近和的极限，得到了一个相当复杂的连续函数定积分的定义，

∫baf(x)dx=limmax Δxk→∞∑k=1nf(x∗k)Δxk(1)

之前我们已经用这个定义计算了一些简单的积分，例如

∫b0xdx=b22,∫b0x2dx=b33,and∫b0x3dx=b44(2)

这些计算有两个目的：通过提供一些逼近和的直观经验来强调积分的基本性质，并且这种方法得到的极限值可以作为计算其他积分的实用工具。那么，我们可以利用极限和的方方求解下面更复杂的积分吗？

∫10x47+x5−−−−−√3dxand∫21(1+1x)4dxx2(3)

这显然是不可能的，所以我们该何去何从呢？显然我们需要的是一种更高效、更强大的计算积分方法，而这种方法就是牛顿和莱布尼兹的想法。

牛顿-莱布尼兹解决(1)那样积分问题的计算方法乍一看似乎是自相矛盾的。为了解决这个问题，我们用更难的问题来替换它。我们不求解图1左那样固定的面积，而是图1右边变化的面积，图像右边的边界是可以移动的，这样的话面积就是x

的函数。面积函数用A(x)表示，那么显然左边图中A(a)=0,A(b)表示固定的面积。我们的目标是找到一个A(x)的显示公式，然后通过设置x=b

来确定所需的面积。在这个过程中有几个步骤，为了清楚起见，我们单独考虑。

图1

步骤1：我们通过建立重要的事实

dAdx=f(x)(4)

开始。这是说面积A

关于x

的变化率等于区域右边界的长度。为了证明这个命题，我们必须考虑导数的定义

dAdx=limΔx→0A(x+Δx)−A(x)Δx

现在A(x)

是图像下边a,x之间的面积，A(x+Δx) 是a,x+Δx之间的面积。因此，分子A(x+Δx)−A(x)是a,x+Δx之间的面积(看图2中阴影部分的面积)。很容易看出面积等于有着相同底，高为f(x¯)的矩形面积，其中x¯是x,x+Δx

之间的某个点。由它我们继续(4)的证明：

dAdx=limΔx→0A(x+Δx)−A(x)Δx=limΔx→0f(x¯)ΔxΔx=limΔx→0f(x¯)=f(x)

利用到f(x)

是连续函数。为了更加详细的解释最后一步，我们指出Δx→0等价于x+Δx→x；因为x¯位于x,x+Δx之间，所以x¯→x，现在利用函数的连续性得f(x¯)→f(x)

 

图2

步骤2：方程(4)告诉我们，找到面积函数A(x)

就能实现我们的目标。根据(4)，A(x)是函数f(x)的反导之一。但是，如果F(x)是任何一个f(x)

的反导，根据前面不定积分的知识我们有

A(x)=F(x)+c(5)

c

是常数值。为了确定c，我们令x=a，从而得到A(a)=F(a)+c；但是因为A(a)=0，从而得出c=−F(a)

。因此

A(x)=F(x)−F(a)(6)

就是需要的公式。

步骤3：根据(6)和A(x)

的意义，其余的工作就是观察

∫baf(x)dx=A(b)=F(b)−F(a)

我们用正式地微积分基本定理总结我们得到的结论：

如果f(x)

是闭区间[a,b]上的连续函数，并且F(x)是f(x)的任何一个原函数，即(d/dx)F(x)=f(x)

或等价地

∫f(x)dx=F(x)(7)

那么

∫baf(x)dx=F(b)−F(a)(8)

这个定理将计算极限和的问题转变成更容易的找原函数的问题，从而减小了评估定积分问题。因此，为了找出∫baf(x)dx

的值，我们没必要考虑求和；我们只是找到原函数即可，可以用任何方式如猜测、常规计算、巧妙计算或查书，然后计算F(b)−F(a)

的值。

例如，在上篇文章中，我们利用许多代数技巧得到了公式(2)。现在，借助基本定理，下面简单的公式就像明显的事实：

∫b0xdx=b22,∫b0x2dx=b33,and∫b0x3dx=b44

更一般地，对任何指数n>0

，明显可以得出

∫baxndx=bn+1n+1−an+1n+1,because∫xndx=xn+1n+1

注解1： 在计算问题的过程中，使用括号是很方便的

F(x)∣∣ba=F(b)−F(a)(9)

符号的意思就是说：x

上限为b时的F(x)值减去x下限为a时的F(x)就是我们要找的数。例如x2∣∣43=42−32=16−9=7

。利用这个符号，(8)可以写成

∫baf(x)dx=F(x)∣∣ba

注解2：从这次讨论中可以看出，任何f(x)

的原函数都用(8)解决。如果对此还有疑问，那么回顾一下，如果F(x)是一个原函数，那么其他任何一个都可以通过添加一个常数c得到即F(x)+c

；因为

F(x)+c∣∣ba=[F(b)+c]−[F(a)+c]=F(b)−F(a)

常数c

对结果没有影响。因此当计算定积分要找原函数时，我们可以忽略常数。(然而，当我们要解决微分方程时，这些常量是不可或缺。)

例1：计算下面的定积分：

(a)∫2−1x4dx(b)∫161dxx−−√(c)∫278x−−√3dx(d)∫1413(x−13)10dx

解：通过观察每个原函数都比较容易得到：

(a)∫2−1x4dx=15x5∣∣2−1=15[32−(−1)]=335(b)∫161dxx−−√=2x−−√∣∣161=2(4−1)=6(c)∫278x−−√3dx=34x4/3∣∣278=34(81−16)=1954(d)∫1413(x−13)10dx=111(x−13)11∣∣1413=111(1−0)=111

基本定理在定积分和原函数之间建立了连接。该连接习惯使用积分符号表示原函数，就像(7)那样，并用不定积分替换了原函数。读者应该熟悉这些用法。从这个角度上，我们经常会放弃形容词(不定，定)，单独用积分一次表示函数(7)或数(8)，这需要上下文以及读者对所陈述事情的理解从而避免混淆。为了正确区分，我们强调定积分积分符号上有上下限，而不定积分从来没有这种。

我们对使用这种相似符号∫f(x)dx,∫baf(x)dx

从而对大家引起困惑感到很抱歉，虽然他们表示非常不同的概念。然而，这些符号经历了300多年，现在试图改变他们没有多大用处。几年前，一位作者试图引进符号A[f(x)]取代∫f(x)dx。他的书比昨天报纸消失的都快。相反，学生有责任读懂符号∫f(x)dx,∫baf(x)dx

。就像我们认真阅读所有单词，从而可以区分类似于”peak”和”peek”，”venal”和”venal”，”manor”和“manner”，数学必须我们更加认真的阅读。

根据前面学习到的经验，我们知道(或许可以计算)许多不定积分和定积分我们都能求解。尤其是，定积分(3)也不是那么难计算了。

例2：计算

∫10x47+x5−−−−−√3dx

解：为了清楚起见，我们分别考虑不定积分。换元

u=7+x5du=5x4dx

从而

∫x47+x5−−−−−√3dx=∫(7+x5)−1/3x4dx=∫u−1/3(15du)=15∫u−1/3du=15⋅32u2/3=310(7+x5)2/3

利用基本定理得

∫10x47+x5−−−−−√3dx=310(7+x5)2/3∣∣10=310(4−72/3)=310(4−49−−√3)

例3：计算

∫21(1+1x)4dxx2

解：换元

u=1+1x,du=−dxx2

所以

∫(1+1x)4dxx2=∫u4(−du)=−15u5=−15(1+1x)5

根据基本定理

∫21(1+1x)4dxx2=−15(1+1x)5∣∣21=−15(24332−32)=781160

例4：求曲线y=cosx

下面，从x=0到x=b所围成的面积，其中0