混合波束成形| 部分连接系统 :Hybrid Precoding for mmWave Massive MIMO Systems With Partially-Connected Structure

《Hybrid Precoding for mmWave Massive MIMO Systems With Partially Connected Structure》 文章地址：https://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=7959156

问题背景

关于混合波束成形的背景可以参照混合波束成形的系列专栏博文：https://blog.csdn.net/weixin_39274659/article/details/89810132 不做赘述。主要介绍部分连接结构。通常，在混合波束赋形中有两种结构（如下图所示）：一种是全连接结构（FCS），它每一条射频链（RF）都与所有的天线连接，另一种是部分连接结构（PCS），它每一条射频链是与一个子阵列连接。很明显，对于昂贵的毫米波器件来说，部分连接结构更具有实际的应用价值，它降低了硬件实现的复杂度。 正是由于部分连接结构的特殊性，使得模拟波束赋形多了一个硬件约束 F r f = [ v ‾ 1 0 … 0 0 v ‾ 2 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … v ‾ N t ] M t × N t \mathbf{F}_{\mathrm{rf}}=\left[\begin{array}{cccc}{\overline{\mathbf{v}}_{1}} & {\mathbf{0}} & {\ldots} & {\mathbf{0}} \\ {\mathbf{0}} & {\overline{\mathbf{v}}_{2}} & {} & {\mathbf{0}} \\ {\vdots} & {} & {\ddots} & {\vdots} \\ {\mathbf{0}} & {\mathbf{0}} & {\ldots} & {\overline{\mathbf{v}}_{N_{\mathrm{t}}}}\end{array}\right]_{M_{\mathrm{t}} \times N_{\mathrm{t}}} Frf​=⎣⎢⎢⎢⎡​v1​0⋮0​0v2​0​…⋱…​00⋮vNt​​​⎦⎥⎥⎥⎤​Mt​×Nt​​ 上帝为你关上一扇窗的时候，同时也会打开另一扇窗。正是由于这个约束的特殊性，得到有一个非常好用的性质 F r f H F r f = M I {\bf{F}}_{{\rm{rf}}}^{\rm{H}}{{\bf{F}}_{{\rm{rf}}}} = M{\bf{I}} FrfH​Frf​=MI 后面混合预编码的设计也是围绕这个限制条件展开的。

系统模型

考虑一个单用户下行链路采用部分连接结构的mmWave massive MIMO系统。基站端（BS）配置有 M t M_{\mathrm{t}} Mt​根天线和 N t N_{\mathrm{t}} Nt​个独立的射频链。每个射频链分别连接一个包含 M M M根天线的子阵列，且 M t = M N t M_{\mathrm{t}}=M N_{\mathrm{t}} Mt​=MNt​。从基站到移动台（MS）有 N s N_{\mathrm{s}} Ns​个数据流被传输。在基带，数据流由一个数字预编码器 F d i g ∈ C N t × N s \mathbf{F}_{\mathrm{dig}} \in \mathbb{C}^{N_{\mathrm{t}} \times N_{\mathrm{s}}} Fdig​∈CNt​×Ns​进行预编码，然后在模拟域尾随一个模拟预编码器 F r f ∈ C M t × N t \mathbf{F}_{\mathrm{rf}} \in \mathbb{C}^{M_{\mathrm{t}} \times N_{\mathrm{t}}} Frf​∈CMt​×Nt​。经过模拟预编码后，每个数据流通过相关的子阵列进行传输。一般地，接收信号可以表示为： y = P r H F r f F d i g s + n \mathbf{y}=\sqrt{P_{\mathrm{r}}} \mathbf{H} \mathbf{F}_{\mathrm{rf}} \mathbf{F}_{\mathrm{dig}} \mathbf{s}+\mathbf{n} y=Pr​ ​HFrf​Fdig​s+n其中 y ∈ C M r × 1 \mathbf{y} \in \mathbb{C}^{M_{r} \times 1} y∈CMr​×1是接收信号， M r M_{\mathrm{r}} Mr​是接收端配置天线的数目， P r P_{\mathrm{r}} Pr​表示平均接收能量， H ∈ C M r × M t \mathbf{H} \in \mathbb{C}^{M_{\mathrm{r}} \times M_{\mathrm{t}}} H∈CMr​×Mt​表示信道矩阵，满足 E [ ∥ H ∥ F 2 ] = M r M t \mathbb{E}\left[\|\mathbf{H}\|_{F}^{2}\right]=M_{\mathrm{r}} M_{\mathrm{t}} E[∥H∥F2​]=Mr​Mt​， s ∈ C N s × 1 \mathbf{s} \in \mathbb{C}^{N_{\mathrm{s}} \times 1} s∈CNs​×1表示满足 E [ s s H ] = 1 N S I N s \mathbb{E}\left[\mathbf{s} \mathbf{s}^{H}\right]=\frac{1}{N_{\mathrm{S}}} \mathbf{I}_{N_{\mathrm{s}}} E[ssH]=NS​1​INs​​的传输信号， n \mathbf{n} n是服从独立同分布 C N ( 0 , σ n 2 ) \mathcal{C} \mathcal{N}\left(0, \sigma_{n}^{2}\right) CN(0,σn2​)的噪声向量。 本文关注在BS端的Hybrid Precoding(HP)，假设在MS端是完美decoding，然后通过高斯信号实现的数据速率可以简化为信道的互信息，其表示为： R ( F ) = log ⁡ 2 ∣ I M r + P r N s σ 2 H F F H H H ∣ R(\mathbf{F})=\log _{2}\left|\mathbf{I}_{M_{\mathrm{r}}}+\frac{P_{\mathrm{r}}}{N_{\mathrm{s}} \sigma^{2}} \mathbf{H} \mathbf{F} \mathbf{F}^{H} \mathbf{H}^{H}\right| R(F)=log2​∣∣∣∣​IMr​​+Ns​σ2Pr​​HFFHHH∣∣∣∣​ 其中， F \mathbf{F} F表示在BS端的总预编码矩阵，且 F = F r f F d i g \mathbf{F}=\mathbf{F}_{\mathrm{rf}} \mathbf{F}_{\mathrm{dig}} F=Frf​Fdig​。总共率约束为： ∥ F r f F d i g ∥ F 2 = N s \left\|\mathbf{F}_{\mathrm{rf}} \mathbf{F}_{\mathrm{dig}}\right\|_{F}^{2}=N_{\mathrm{s}} ∥Frf​Fdig​∥F2​=Ns​，PCS结构的硬件约束可以表示为： F r f = [ v ‾ 1 0 … 0 0 v ‾ 2 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … v ‾ N t ] M t × N t \mathbf{F}_{\mathrm{rf}}=\left[\begin{array}{cccc}{\overline{\mathbf{v}}_{1}} & {\mathbf{0}} & {\ldots} & {\mathbf{0}} \\ {\mathbf{0}} & {\overline{\mathbf{v}}_{2}} & {} & {\mathbf{0}} \\ {\vdots} & {} & {\ddots} & {\vdots} \\ {\mathbf{0}} & {\mathbf{0}} & {\ldots} & {\overline{\mathbf{v}}_{N_{\mathrm{t}}}}\end{array}\right]_{M_{\mathrm{t}} \times N_{\mathrm{t}}} Frf​=⎣⎢⎢⎢⎡​v1​0⋮0​0v2​0​…⋱…​00⋮vNt​​​⎦⎥⎥⎥⎤​Mt​×Nt​​，其中 v ‾ n ∈ C M × 1 , n = 1 , 2 , … , N t \overline{\mathbf{v}}_{n} \in \mathbb{C}^{M \times 1}, n=1,2, \ldots, N_{\mathrm{t}} vn​∈CM×1,n=1,2,…,Nt​， v ‾ n \overline{\mathbf{v}}_{n} vn​的 m t h m^{\mathrm{th}} mth个元素满足 v ‾ n , m = e j θ n , m , m = 1 , 2 , … , M \overline{v}_{n, m}=e^{j \theta_{n, m}}, m=1,2, \ldots, M vn,m​=ejθn,m​,m=1,2,…,M。信道模型是mmWave信道中经典的S-V模型： H = M r M t L ∑ l = 1 L α l a r ( θ l ) a t H ( φ l ) \mathbf{H}=\sqrt{\frac{M_{\mathrm{r}} M_{\mathrm{t}}}{L}} \sum_{l=1}^{L} \alpha_{l} \mathbf{a}_{\mathrm{r}}\left(\theta_{l}\right) \mathbf{a}_{\mathrm{t}}^{H}\left(\varphi_{l}\right) H=LMr​Mt​​ ​∑l=1L​αl​ar​(θl​)atH​(φl​)。在全连接结构下，假设接收端是最佳解码的情况下，最大化可实现速率的优化问题可以表示为：

定义信道 H \mathbf{H} H 的SVD分解为 H = U H Σ H V H H \mathbf{H}=\mathbf{U}_{\mathrm{H}} \Sigma_{\mathrm{H}} \mathbf{V}_{\mathrm{H}}^{H} H=UH​ΣH​VHH​，其中 V H ∈ C M t × M t \mathbf{V}_{\mathrm{H}} \in \mathbb{C}^{M_{\mathrm{t}} \times M_{\mathrm{t}}} VH​∈CMt​×Mt​，并且定义 V H \mathbf{V}_{\mathrm{H}} VH​的分块为： V H = [ V H 1 V H 2 V H 3 ] \mathbf{V}_{\mathrm{H}}=\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{V}_{\mathrm{H}_{1}}} & {\mathbf{V}_{\mathrm{H}_{2}}} & {\mathbf{V}_{\mathrm{H}_{3}}}\end{array}\right] VH​=[VH1​​​VH2​​​VH3​​​] 其中， V H 1 ∈ C M t × N s \mathbf{V}_{\mathrm{H}_{1}} \in \mathbb{C}^{M_{\mathrm{t}} \times N_{\mathrm{s}}} VH1​​∈CMt​×Ns​， V H 2 ∈ C M t × ( r H − N S ) \mathbf{V}_{\mathrm{H}_{2}} \in \mathbb{C}^{M_{\mathrm{t}} \times\left(r_{\mathrm{H}}-N_{\mathrm{S}}\right)} VH2​​∈CMt​×(rH​−NS​)， r H = rank ⁡ ( H ) r_{\mathrm{H}}=\operatorname{rank}(\mathbf{H}) rH​=rank(H)， V H 3 ∈ C M t × ( M t − r H ) \mathbf{V}_{\mathrm{H}_{3}} \in \mathbb{C}^{M_{\mathrm{t}} \times\left(M_{\mathrm{t}}-r_{\mathrm{H}}\right)} VH3​​∈CMt​×(Mt​−rH​)。然后 F o p t = V H 1 \mathbf{F}_{\mathrm{opt}}=\mathbf{V}_{\mathrm{H}_{1}} Fopt​=VH1​​，这种近似能够用数学公式化地定义为： { V H 1 H F r f F d i g ≈ I N s V H 2 H F r f F d i g ≈ 0 ( r H − N s ) × N s \left\{\begin{array}{l}{\mathbf{V}_{\mathrm{H}_{1}}^{H} \mathbf{F}_{\mathrm{rf}} \mathbf{F}_{\mathrm{dig}} \approx \mathbf{I}_{N_{\mathrm{s}}}} \\ {\mathbf{V}_{\mathrm{H}_{2}}^{H} \mathbf{F}_{\mathrm{rf}} \mathbf{F}_{\mathrm{dig}} \approx \mathbf{0}_{\left(r_{\mathrm{H}}-N_{\mathrm{s}}\right) \times N_{\mathrm{s}}}}\end{array}\right. {VH1​H​Frf​Fdig​≈INs​​VH2​H​Frf​Fdig​≈0(rH​−Ns​)×Ns​​​

PCS-HP设计的分析

为了便于说明，定义 F d i g \mathbf{F}_{\mathrm{dig}} Fdig​为： F d i g = [ ω 1 , 1 … ω 1 , N s ⋮ ⋱ ⋮ ω N t , 1 ⋯ ω N t , N s ] N t × N s \mathbf{F}_{\mathrm{dig}}=\left[\begin{array}{ccc}{\omega_{1,1}} & {\dots} & {\omega_{1, N_{\mathrm{s}}}} \\ {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\ {\omega_{N_{\mathrm{t}}, 1}} & {\cdots} & {\omega_{N_{\mathrm{t}}, N_{\mathrm{s}}}}\end{array}\right]_{N_{\mathrm{t}} \times N_{\mathrm{s}}} Fdig​=⎣⎢⎡​ω1,1​⋮ωNt​,1​​…⋱⋯​ω1,Ns​​⋮ωNt​,Ns​​​⎦⎥⎤​Nt​×Ns​​，总预编码矩阵 F \mathbf{F} F可以表示为： F = [ F 1 T F 2 T … F N t T ] M t × N s T \mathbf{F}=\left[\begin{array}{llll}{\mathbf{F}_{1}^{T}} & {\mathbf{F}_{2}^{T}} & {\ldots} & {\mathbf{F}_{N_{\mathrm{t}}}^{T}}\end{array}\right]_{M_{\mathrm{t}} \times N_{\mathrm{s}}}^{T} F=[F1T​​F2T​​…​FNt​T​​]Mt​×Ns​T​，其中 F i = [ ω i , 1 v ‾ i , ω i , 2 v ‾ i , … , ω i , N s v ‾ i ] M × N s \mathbf{F}_{i}=\left[\omega_{i, 1} \overline{\mathbf{v}}_{i}, \omega_{i, 2} \overline{\mathbf{v}}_{i}, \ldots, \omega_{i, N_{\mathrm{s}}} \overline{\mathbf{v}}_{i}\right]_{M \times N_{\mathrm{s}}} Fi​=[ωi,1​vi​,ωi,2​vi​,…,ωi,Ns​​vi​]M×Ns​​。对于子矩阵 F i \mathbf{F}_{i} Fi​有如下两个约束：

• rank ⁡ ( F i ) = 1 \operatorname{rank}\left(\mathbf{F}_{i}\right)=1 rank(Fi​)=1，这是由于 F i \mathbf{F}_{i} Fi​的每一列都可以由 v ‾ i \overline{\mathbf{v}}_{i} vi​表示
• F i \mathbf{F}_{i} Fi​相同列中的每个元素都有一个相同幅值，他们仅由 F d i g \mathbf{F}_{\mathrm{dig}} Fdig​的相关元素决定

上面的这些约束使得 F i \mathbf{F}_{i} Fi​不可能实现 F o p t \mathbf{F}_{\mathrm{opt}} Fopt​。因此，对于PCS-HP来说，致力于找到一组 F r f \mathbf{F}_{\mathrm{rf}} Frf​和 F d i g \mathbf{F}_{\mathrm{dig}} Fdig​直接近似 F o p t \mathbf{F}_{\mathrm{opt}} Fopt​是不明智的。所以退化到上面提到的一个数学近似，我们只需要找到一组满足 { V H 1 H F r f F d i g = I N s V H 2 H F r f F d i g = 0 ( r H − N s ) × N s \left\{\begin{array}{l}{\mathbf{V}_{\mathrm{H}_{1}}^{H} \mathbf{F}_{\mathrm{rf}} \mathbf{F}_{\mathrm{dig}}=\mathbf{I}_{N_{\mathrm{s}}}} \\ {\mathbf{V}_{\mathrm{H}_{2}}^{H} \mathbf{F}_{\mathrm{rf}} \mathbf{F}_{\mathrm{dig}}=\mathbf{0}_{\left(r_{\mathrm{H}}-N_{\mathrm{s}}\right) \times N_{\mathrm{s}}}}\end{array}\right. {VH1​H​Frf​Fdig​=INs​​VH2​H​Frf​Fdig​=0(rH​−Ns​)×Ns​​​（***）的 F r f \mathbf{F}_{\mathrm{rf}} Frf​和 F d i g \mathbf{F}_{\mathrm{dig}} Fdig​。 在这小节的分析中，作者给出了两个命题，具体推导可以参照原文，下面直接上命题内容：

• 如果找到一组满足***的 F r f \mathbf{F}_{\mathrm{rf}} Frf​和 F d i g \mathbf{F}_{\mathrm{dig}} Fdig​，那么RF链的数量应该要大于信道矩阵 H \mathbf{H} H的秩，即： N t ⩾ r H N_{\mathrm{t}} \geqslant r_{\mathrm{H}} Nt​⩾rH​
• 在功率约束的条件下，通过PCS-HP不可能实现最大速率。

PCS-HP的分阶段设计

优化问题用数学表达可以写为： argmax ⁡ F r f , F d i g { log ⁡ 2 ∣ I M r + P r N S σ 2 H F r f F d i g F d i g H F r f H H H ∣ : ( 3 ) , ( 4 ) } \underset{\mathbf{F}_{\mathrm{rf}}, \mathbf{F}_{\mathrm{dig}}}{\operatorname{argmax}}\left\{\log _{2}\left|\mathbf{I}_{M_{\mathrm{r}}}+\frac{P_{\mathrm{r}}}{N_{\mathrm{S}} \sigma^{2}} \mathbf{H} \mathbf{F}_{\mathrm{rf}} \mathbf{F}_{\mathrm{dig}} \mathbf{F}_{\mathrm{dig}}^{H} \mathbf{F}_{\mathrm{rf}}^{H} \mathbf{H}^{H}\right| :(3),(4)\right\} Frf​,Fdig​argmax​{log2​∣∣∣​IMr​​+NS​σ2Pr​​HFrf​Fdig​FdigH​FrfH​HH∣∣∣​:(3),(4)}，同前面Yuwei https://zhuyulab.blog.csdn.net/article/details/89765714 等人的工作展示的一样，首先固定 F r f \mathbf{F}_{\mathrm{rf}} Frf​， H e = H F r f \mathbf{H}_{\mathrm{e}}=\mathbf{H} \mathbf{F}_{\mathrm{rf}} He​=HFrf​视为一个等效信道，此时 F d i g \mathbf{F}_{\mathrm{dig}} Fdig​的问题可以表示为： argmax ⁡ F  dig  { log ⁡ 2 ∣ I N s + P r N s σ 2 H c F d i g F d i g H H e H ∣ : ( 3 ) } \underset{\mathbf{F}_{\text { dig }}}{\operatorname{argmax}}\left\{\log _{2}\left|\mathbf{I}_{N_{\mathrm{s}}}+\frac{P_{\mathrm{r}}}{N_{\mathrm{s}} \sigma^{2}} \mathbf{H}_{\mathrm{c}} \mathbf{F}_{\mathrm{dig}} \mathbf{F}_{\mathrm{dig}}^{H} \mathbf{H}_{\mathrm{e}}^{H}\right| :(3)\right\} F dig ​argmax​{log2​∣∣∣​INs​​+Ns​σ2Pr​​Hc​Fdig​FdigH​HeH​∣∣∣​:(3)}，注水算法下该问题的解为： F d i g o p t = Q − 1 / 2 U s Γ s \mathbf{F}_{\mathrm{dig}}^{\mathrm{opt}}=\mathbf{Q}^{-1 / 2} \mathbf{U}_{\mathrm{s}} \Gamma_{\mathrm{s}} Fdigopt​=Q−1/2Us​Γs​其中： Q = F r f H F r f \mathbf{Q}=\mathbf{F}_{\mathrm{r f}}^{\mathrm{H}} \mathbf{F}_{\mathrm{rf}} Q=FrfH​Frf​， U s ∈ C N t × N s \mathbf{U}_{\mathrm{s}} \in \mathbb{C}^{N_{\mathrm{t}} \times N_{\mathrm{s}}} Us​∈CNt​×Ns​是与 H e Q − 1 / 2 \mathbf{H}_{\mathrm{e}} \mathbf{Q}^{-1 / 2} He​Q−1/2右奇异向量相关的第 N S N_{\mathrm{S}} NS​列， Γ s \Gamma_{\mathrm{s}} Γs​是通过注水算法求得的功率分配对角阵且 tr ⁡ { Γ s 2 } = N s \operatorname{tr}\left\{\Gamma_{\mathrm{s}}^{2}\right\}=N_{\mathrm{s}} tr{Γs2​}=Ns​。这时候，PCS下 F r f \mathbf{F}_{\mathrm{rf}} Frf​的特殊性，直接有 Q = M I \mathbf{Q}=M \mathbf{I} Q=MI，因此： F d i g o p t = M − 1 / 2 U s Γ s \mathbf{F}_{\mathrm{dig}}^{\mathrm{opt}}=M^{-1 / 2} \mathbf{U}_{\mathrm{s}} \Gamma_{\mathrm{s}} Fdigopt​=M−1/2Us​Γs​。令 F d i g = F d i g o p t \mathbf{F}_{\mathrm{dig}}=\mathbf{F}_{\mathrm{dig}}^{\mathrm{opt}} Fdig​=Fdigopt​， γ = M − 1 P r N s σ 2 \gamma=\frac{M^{-1} P_{\mathrm{r}}}{N_{\mathrm{s}} \sigma^{2}} γ=Ns​σ2M−1Pr​​，目标函数可以进一步写为： log ⁡ 2 ∣ I M r + γ H c U s Γ s 2 U s H H e H ∣ \log _{2}\left|\mathbf{I}_{M_{\mathrm{r}}}+\gamma \mathbf{H}_{\mathrm{c}} \mathbf{U}_{\mathrm{s}} \Gamma_{\mathrm{s}}^{2} \mathbf{U}_{\mathrm{s}}^{H} \mathbf{H}_{\mathrm{e}}^{H}\right| log2​∣∣​IMr​​+γHc​Us​Γs2​UsH​HeH​∣∣​ = log ⁡ 2 ∣ I N s + γ Γ s 2 Λ 2 ∣ \quad=\log _{2}\left|\mathbf{I}_{N_{\mathrm{s}}}+\gamma \Gamma_{\mathrm{s}}^{2} \Lambda^{2}\right| =log2​∣∣​INs​​+γΓs2​Λ2∣∣​ 其中， Λ = diag ⁡ { λ 1 , λ 2 , … , λ N s } \Lambda=\operatorname{diag}\left\{\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{N_{\mathrm{s}}}\right\} Λ=diag{λ1​,λ2​,…,λNs​​}且 λ 1 ⩾ λ 2 ⩾ … ⩾ λ N S \lambda_{1} \geqslant \lambda_{2} \geqslant \ldots \geqslant \lambda_{N_{\mathrm{S}}} λ1​⩾λ2​⩾…⩾λNS​​，它们是 H e \mathbf{H}_{\mathrm{e}} He​的 N S N_{\mathrm{S}} NS​大奇异值。本文考虑了两种特殊的情况：

• 在足够低SNR的情况下，最优功率分配策略是把所有的能量分配给单数据流。
• 在足够高SNR的情况下，最优功率分配策略是均等分配传输功率给每个数据流。

模拟precoding的设计 情况一

这时候的目标函数等价为 log ⁡ 2 ∣ 1 + γ N S λ 1 2 ∣ \log _{2}\left|1+\gamma N_{\mathrm{S}} \lambda_{1}^{2}\right| log2​∣∣​1+γNS​λ12​∣∣​，因此，最优 F r f \mathbf{F}_{\mathrm{rf}} Frf​的设计问题可以等价为： argmax ⁡ F r f { ∥ H F r f ∥ 2 : ( 4 ) } \underset{\mathbf{F}_{\mathrm{rf}}}{\operatorname{argmax}}\left\{\left\|\mathbf{H} \mathbf{F}_{\mathrm{rf}}\right\|_{2} :(4)\right\} Frf​argmax​{∥HFrf​∥2​:(4)} 注意： ∥ H F r f ∥ F 2 \left\|\mathbf{H} \mathbf{F}_{\mathrm{rf}}\right\|_{F}^{2} ∥HFrf​∥F2​和 ∥ H F r f ∥ 2 2 \left\|\mathbf{H} \mathbf{F}_{\mathrm{rf}}\right\|_{2}^{2} ∥HFrf​∥22​是密切相关的，因为 ∥ H F r f ∥ F 2 = ∑ n = 1 N i λ n 2 = ∥ H F r f ∥ 2 2 + ∑ n = 2 N t λ n 2 = α ∥ H r f ∥ 2 2 \left\|\mathbf{H} \mathbf{F}_{\mathrm{rf}}\right\|_{F}^{2}=\sum_{n=1}^{N_{\mathrm{i}}} \lambda_{n}^{2}=\left\|\mathbf{H} \mathbf{F}_{\mathrm{rf}}\right\|_{2}^{2}+\sum_{n=2}^{N_{\mathrm{t}}} \lambda_{n}^{2}=\alpha\left\|\mathbf{H}_{\mathrm{rf}}\right\|_{2}^{2} ∥HFrf​∥F2​=∑n=1Ni​​λn2​=∥HFrf​∥22​+∑n=2Nt​​λn2​=α∥Hrf​∥22​（ 1 ⩽ α ⩽ N t 1 \leqslant \alpha \leqslant N_{\mathrm{t}} 1⩽α⩽Nt​）。 因此，本文是尝试最大化 ∥ H F r f ∥ F 2 \left\|\mathbf{H} \mathbf{F}_{\mathrm{rf}}\right\|_{F}^{2} ∥HFrf​∥F2​，最优问题此时可以描述为： argmax ⁡ F f f { tr ⁡ { F r f H H H H F r f } : ( 4 ) } \underset{\mathbf{F}_{\mathrm{ff}}}{\operatorname{argmax}}\left\{\operatorname{tr}\left\{\mathbf{F}_{\mathrm{rf}}^{H} \mathbf{H}^{H} \mathbf{H} \mathbf{F}_{\mathrm{rf}}\right\} :(4)\right\} Fff​argmax​{tr{FrfH​HHHFrf​}:(4)} 定义 H \mathbf{H} H的有序SVD为 H = U H Σ H V H H \mathbf{H}=\mathbf{U}_{\mathrm{H}} \Sigma_{\mathrm{H}} \mathbf{V}_{\mathrm{H}}^{H} H=UH​ΣH​VHH​，其中 V H ∈ C M t × r H \mathbf{V}_{\mathrm{H}} \in \mathbb{C}^{M_{\mathrm{t}} \times r_{\mathrm{H}}} VH​∈CMt​×rH​，定义 V H \mathbf{V}_{\mathrm{H}} VH​有如下分块： V H = [ v ~ 1 , 1 … v ~ 1 , M t ⋮ ⋱ ⋮ v ~ N t , 1 … v ~ N t , M t ] \mathbf{V}_{\mathrm{H}}=\left[\begin{array}{ccc}{\widetilde{\mathbf{v}}_{1,1}} & {\dots} & {\widetilde{\mathbf{v}}_{1, M_{\mathrm{t}}}} \\ {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\ {\widetilde{\mathbf{v}}_{N_{\mathrm{t}}, 1}} & {\dots} & {\widetilde{\mathbf{v}}_{N_{\mathrm{t}}, M_{\mathrm{t}}}}\end{array}\right] VH​=⎣⎢⎡​v 1,1​⋮v Nt​,1​​…⋱…​v 1,Mt​​⋮v Nt​,Mt​​​⎦⎥⎤​ 于是目标函数可以进一步表示为： tr ⁡ { F r f H H H H F r f } = ∑ n = 1 N t v ‾ n H ( ∑ r = 1 r H v ~ n , r v ~ n , r H σ r 2 ) v ‾ n \operatorname{tr}\left\{\mathbf{F}_{\mathrm{rf}}^{H} \mathbf{H}^{H} \mathbf{H} \mathbf{F}_{\mathrm{rf}}\right\}=\sum_{n=1}^{N_{\mathrm{t}}} \overline{\mathbf{v}}_{n}^{H}\left(\sum_{r=1}^{r_{\mathrm{H}}} \widetilde{\mathbf{v}}_{n, r} \tilde{\mathbf{v}}_{n, r}^{H} \sigma_{r}^{2}\right) \overline{\mathbf{v}}_{n} tr{FrfH​HHHFrf​}=∑n=1Nt​​vnH​(∑r=1rH​​v n,r​v~n,rH​σr2​)vn​，其中 σ r \sigma_{r} σr​是 H \mathbf{H} H的 r t h r^{\mathrm{th}} rth个奇异值。 （这么表示的目的是为了得到每个射频链对目标函数的贡献，并且可以看出他们的贡献都是独立的，也使得可以把整个目标函数解耦成很多子问题）第 n t h n^{\mathrm{th}} nth个子问题可以表达为： argmax ⁡ v ‾ n { v ‾ n H Z v ‾ n } \underset{\overline{v}_{n}}{\operatorname{argmax}}\left\{\overline{\mathbf{v}}_{n}^{H} \mathbf{Z} \overline{\mathbf{v}}_{n}\right\} vn​argmax​{vnH​Zvn​} s . t . v ‾ n , m ∗ v ‾ n , m = 1 , m = 1 , 2 , … , M s.t. \overline{v}_{n, m}^{*} \overline{v}_{n, m}=1, \quad m=1,2, \ldots, M s.t.vn,m∗​vn,m​=1,m=1,2,…,M 其中 Z = ∑ r = 1 r H v ~ n , r v ~ n , r H σ r 2 \mathbf{Z}=\sum_{r=1}^{r_{\mathrm{H}}} \tilde{\mathbf{v}}_{n, r} \widetilde{\mathbf{v}}_{n, r}^{H} \sigma_{r}^{2} Z=∑r=1rH​​v~n,r​v n,rH​σr2​。实际上，该问题等价于具有单天线功率约束的单流最优发射机波束形成问题，在以前的一些研究中已经证明了该问题的解 v ‾ n o p t \overline{\mathbf{v}}_{n}^{\mathrm{opt}} vnopt​当且仅当 v ‾ n o p t \overline{\mathbf{v}}_{n}^{\mathrm{opt}} vnopt​的每个元素满足： v ‾ n , i o p t = ψ ( ∑ k ≠ i z i k v ‾ n , k o p t ) , i = 1 , … , M \overline{v}_{n, i}^{\mathrm{opt}}=\psi\left(\sum_{k \neq i} z_{i k} \overline{v}_{n, k}^{\mathrm{opt}}\right), \quad i=1, \ldots, M vn,iopt​=ψ⎝⎛​k​=i∑​zik​vn,kopt​⎠⎞​,i=1,…,M z i k z_{i k} zik​是 Z \mathbf{Z} Z的第 i t h i^{\mathrm{th}} ith行， k t h k^{\mathrm{th}} kth列的元素， ψ ( x ) \psi(x) ψ(x)定义如下： ψ ( x ) = { 1 , x = 0 x ∣ x ∣ , x ≠ 0 \psi(x)=\left\{\begin{array}{ll}{1,} & {x=0} \\ {\frac{x}{|x|},} & {x \neq 0}\end{array}\right. ψ(x)={1,∣x∣x​,​x=0x​=0​。因此 ， v ‾ n o p t \overline{\mathbf{v}}_{n}^{\mathrm{o} \mathrm{pt}} vnopt​的每个元素可以通过迭代获得，然后逐列更新。总的算法如下：

情况二

这时候的目标函数可以表示为： log ⁡ 2 ∣ C n ‾ ∣ + log ⁡ 2 ∣ 1 + γ v n H Z n ‾ v n ∣ \log _{2}\left|\mathbf{C}_{\overline{n}}\right|+\log _{2}\left|1+\gamma \mathbf{v}_{n}^{H} \mathbf{Z}_{\overline{n}} \mathbf{v}_{n}\right| log2​∣Cn​∣+log2​∣∣​1+γvnH​Zn​vn​∣∣​，其中 C n ‾ = I N t − 1 + γ ( F n ‾ r f ) H G F r f \mathbf{C}_{\overline{n}}=\mathbf{I}_{N_{\mathrm{t}}-1}+\gamma\left(\mathbf{F}_{\overline{n}}^{\mathrm{rf}}\right)^{H} \mathbf{G} \mathbf{F}^{\mathrm{rf}} Cn​=INt​−1​+γ(Fnrf​)HGFrf， Z n ‾ = \mathbf{Z}_{\overline{n}}= Zn​= G − \mathbf{G}- G− γ G F r f n C n ‾ − 1 ( F r f n ‾ ) H G \gamma \mathbf{G} \mathbf{F} \frac{\mathrm{rf}}{n} \mathbf{C}_{\overline{n}}^{-1}\left(\mathbf{F} \frac{\mathrm{rf}}{\overline{n}}\right)^{H} \mathbf{G} γGFnrf​Cn−1​(Fnrf​)HG，特别地： G = H H H \mathbf{G}=\mathbf{H}^{H} \mathbf{H} G=HHH， v n \mathbf{v}_{n} vn​是 F r f \mathbf{F}_{\mathrm{rf}} Frf​的第 n t h n^{\mathrm{th}} nth列， F n ‾ r f \mathbf{F}_{\overline{n}}^{\mathrm{rf}} Fnrf​是去除第 n t h n^{\mathrm{th}} nth后的子矩阵。同样也是计算单独贡献，且 C n ‾ \mathbf{C}_{\overline{n}} Cn​和 Z n ‾ \mathbf{Z}_{\overline{n}} Zn​是与 v n \mathbf{v}_{n} vn​。因此目标函数的最大化只需要关注第二项，引入一个选择矩阵， E n = [ 0 M × M ( n − 1 ) I M 0 M × M ( N t − n ) ] \mathbf{E}_{n}=\left[\begin{array}{lll}{\mathbf{0}_{M \times M(n-1)}} & {\mathbf{I}_{M}} & {\mathbf{0}_{M \times M\left(N_{t}-n\right)}}\end{array}\right] En​=[0M×M(n−1)​​IM​​0M×M(Nt​−n)​​]，这时候的优化问题可以表示为： argmax ⁡ v ‾ n { v ‾ n H E n Z n ‾ E n H v ‾ n } \underset{\overline{\mathbf{v}}_{n}}{\operatorname{argmax}}\left\{\overline{\mathbf{v}}_{n}^{H} \mathbf{E}_{n} \mathbf{Z}_{\overline{n}} \mathbf{E}_{n}^{H} \overline{\mathbf{v}}_{n}\right\} vn​argmax​{vnH​En​Zn​EnH​vn​} s . t . v ‾ n , m ∗ v ‾ n , m = 1 , m = 1 , 2 , … , M s.t. \overline{v}_{n, m}^{*} \overline{v}_{n, m}=1, \quad m=1,2, \ldots, M s.t.vn,m∗​vn,m​=1,m=1,2,…,M。不难发现与单数据流情况下的近似问题是等价的，可以使用相同的方法解决。

后面还有部分内容关于复杂度与性能上界的分析，具体参照原文。

还有一个本人认为稍微的部分是：在仿真中，作者考虑了非理想CSI的情况，评估不完全CSI对两种方案的影响。使用的方法也较为简单，引入一个估计精确度 δ ∈ [ 0 , 1 ] \delta \in[0,1] δ∈[0,1]，估计信道表示为： H ^ = δ H + 1 − δ 2 Ξ \hat{\mathbf{H}}=\delta \mathbf{H}+\sqrt{1-\delta^{2}} \Xi H^=δH+1−δ2 ​Ξ Ξ \Xi Ξ是一个独立同分布的 C N ( 0 , 1 ) \mathcal{C N}(0,1) CN(0,1)噪声矩阵。

具体的仿真结果请参照原文。

结论

本文研究了基于PCS的毫米波MIMO发射机最优化设计问题。分别针对于高SNR情况与低SNR情况提出了两种模拟precoding的设计，且最优数字precoding通过注水算法获得。针对每一种方案，将原优化问题重新表述为具有单天线功率约束的单流最优发射机波束形成问题，它们都有一个最优解。此外，给出了具有闭形式表达式的可达速率的上界。

相关阅读

• 专栏： 混合波束成形
• 专栏： 智能反射面
• 混合波束成形|基础：深入浅出5G，毫米波，大规模MIMO与波束赋形
• 混合波束成形|进阶：深入浅出混合波束赋形
• 混合波束成形| 基于坐标迭代更新法的混合波束赋形算法
• 混合波束成形| 基于正交匹配追踪（Orthogonal Matching Pursuit）法的混合波束赋形算法
• 混合波束成形| 论文：基于MMSE准则的混合波束成形算法
• 混合波束成形| 通过天线空间方向图理解波束成形的物理意义
• 混合波束成形| 基于深度学习的大规模天线阵列混合波束成形设计
• 混合波束成形| MIMO系统的DFT码本
• 混合波束成形| HBF系统的克拉美罗下界