Codeforces Round #772 (Div. 2) D. Infinite Set （动态规划+思维）

题目链接

https://codeforces.com/contest/1635/problem/D

题面

题意

输入一个n表示数组 a a a 的长度，然后输入一个 p，然后输入n个不同的元素，问在 [ 0 , 2 p ] [0,2^p] [0,2p]范围内有多少数 x x x 满足下列其中至少一种条件，包含满足条件的集合为 S S S ：

• 1. x = a i x=a_i x=ai 在数组中
• 1. x = 2 × y + 1 x=2\times y + 1 x=2×y+1 并且 y y y 在 S S S 中
• 1. x = 4 × y x=4\times y x=4×y 并且 y y y 在 S S S 中

输出满足条件的个数，并对 1 0 9 + 7 10^9+7 109+7 取模

思路

我们来观察这三种条件：

• 对于第一种条件，表示我们基础的 S S S 集合
• 对于第二种条件，我们会发现就是将其二进制下的位数末尾添加了一个1
• 对于第三种条件，我们会发现其实就是将其二进制的位数末尾添加了两个0

我们再对 2 p 2^p 2p 转化为二进制实际上就是一个小于等于 p p p 个2的二进制数，那么我们就可以将问题转化为某个数的二进制长度的方案数，由于我们的两种操作一种是增加一位，另一种是增加两位，那么长度数量的状态转移方程就是 f [ i ] = f [ i − 1 ] + f [ i − 2 ] f[i] = f[i-1] + f[i-2] f[i]=f[i−1]+f[i−2] 也就是一个斐波那契数列，那么对于一个数 x x x 其延申长度小于 p p p 位的时候有 ∑ i = 1 p − l e n ( x ) f [ i ] \sum_{i=1}^{p-len(x)}{f[i]} ∑i=1p−len(x)f[i] 这么多种，但是如果我们直接对每一个数进行这样计算的话是不行的，因为有重复的情况，所所以我们开一个 m a p map map ，记录我们是否以及对这个数进行了计算，详情请看代码

代码

#include using namespace std; #define ll long long  #define mod 1000000007 const int N = 2e5 + 10; ll a[N],n,p,f[N]={0,1,2}; void slove(){ cin>>n>>p; for(int i = 1;i <= n; ++i) cin>>a[i]; sort(a+1,a+1+n); map<ll,bool> vis; ll ans = 0; for(int i = 1;i <= n; ++i) { ll k = a[i]; bool fg = true; while(k){ if(vis[k]) fg = false; if(k & 1) k >>= 1;//如果是奇数，那么说明是2y+1 else if(k % 4 == 0) k >>= 2;//如果是4的倍数，那么说明是4y else break;//如果上述两种情况都不算，那么说明此时不能延申 } if(!fg) continue; ll len = (ll)log2(a[i]) + 1LL; if(p >= len) ans = (ans + f[max(0LL,p-len)] + 1) % mod; vis[a[i]] = true; } cout<<ans<<endl; } int main() { int t; t = 1; for(int i = 3;i < N; ++i) f[i] = (f[i-1] + f[i-2]) % mod; for(int i = 1;i < N; ++i) f[i] = (f[i-1] + f[i]) % mod; while(t--) slove(); return 0; }