[算法总结] 树状数组(不会详讲)!

前言

本来以为线段树可以实现所有树状数组的题, 结果某一天我就被制裁了 所以我就滚回来归纳一下树状数组了,以免下次再次sb\

树状数组 (单点更新,区间查询) 建树操作

A[i] 包含于 C[i + 2k]、C[(i + 2k) + 2k]…； k为i的二进制中从最低位到高位连续零的长度

int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}

void updata(int i,int k)     在i位置加上k
{
    while(i  0){
        res += c[i];
        i -= lowbit(i); 这里是 -lowbit(i)
    }
    return res;
}

main函数

 updata(i,a[i]);

(区间更新,单点查询) 问题描述

让你把x-y区间内的所有值全部加上k或者减去k，然后查询操作是问某个点的值 如果我们还是像上面那个一样的话那么就需要把x - y区间的每个值 都更新,这样是不行的 因此我们可以引入差分进行建树

解决方法

假设我们规定A[0] = 0; 则有 A[i] = Σij = 1D[j];(D[j] = A[j] - A[j-1]) 当某个区间[x,y]值改变了,区间内的差值是不变的,只有D[X]和D[Y+1]的值发生改变

建树操作(没变)

int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}

void updata(int i,int k){    //在i位置加上k
    while(i  0){
        res += c[i];
        i -= lowbit(i);
    }
    return res;
}

main函数

 updata(i,a[i] - a[i-1]);  
 updata(x,k);    A[x] - A[x-1]增加k
 updata(y+1,-k);  A[y+1] - A[y]减少k
 int sum = getsum(i);

(区间更新,区间查询) 问题描述

既要区间更新 又要 区间查询

解决方法

∑(n,i = 1)A[i] = ∑(n,i = 1) ∑(i,j = 1)D[j]; 则A[1]+A[2]+…+A[n] = (D[1]) + (D[1]+D[2]) + … + (D[1]+D[2]+…+D[n]) = nD[1] + (n-1)D[2] +… +D[n] = n * (D[1]+D[2]+…+D[n]) - (0D[1]+1D[2]+…+(n-1)D[n]) 所以上式可以变为∑(n,i = 1)A[i] = n∑(n,i = 1)D[i] - ∑(n,i = 1)( D[i]*(i-1) );

因此我们需要维护两个树状数组

sum1[i] = D[i]，sum2[i] = D[i]*(i-1);

建树操作

int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}

void updata(int i,int k){
    int x = i;    //因为x不变，所以得先保存i值
    while(i  0)
    {
        res += x * sum1[i] - sum2[i];
        i -= lowbit(i);
    }
    return res;
}

main函数

   updata(i,a[i] - a[i-1]);  
   [x,y]区间内加上k
   updata(x,k);    			A[x] - A[x-1]增加k
   updata(y+1,-k);        	A[y+1] - A[y]减少k
   int sum = getsum(y) - getsum(x-1); 	求[x,y]区间和