球函数与勒让德多项式

球函数的提出

在上一节，我们由亥姆霍兹方程引入了勒让德函数，现在我们用同样的思路从球坐标下的Laplace 方程中导出球函数与勒让德方程。

Laplace 方程在球形区域有狄利克雷问题 { ∇ 2 u = u x x + u y y + u z z = 0 ( x 2 + y 2 + z 2 < l 2 ) , u ∣ x 2 + y 2 + z 2 = l 2 = f ( x , y , z ) , \left\{\begin{array}{l} \nabla^2u=u_{x x}+u_{y y}+u_{z z}=0 \quad\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}