数学物理方程的分类

波动方程 u t t − a 2 Δ u = 0 u_{tt}-a^{2} \Delta u=0 utt​−a2Δu=0

对于一个标量 u u u的波动方程的一般形式是： ∂ 2 u ∂ t 2 = a 2 ∇ 2 u \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=a^{2} \nabla^{2} u ∂t2∂2u​=a2∇2u 一维波动方程： ∂ 2 u ∂ t 2 − a 2 ∂ 2 u ∂ x 2 = f ( x , t ) \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}-a^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=f(x, t) ∂t2∂2u​−a2∂x2∂2u​=f(x,t) 式中 a a a的物理意义为波动传播速度。

热传导方程 u t − a 2 Δ u = 0 u_{t}-a^{2} \Delta u=0 ut​−a2Δu=0

热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用以下方程表达： ∂ u ∂ t = k ( ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 ) = k ( u x x + u y y + u z z ) \frac{\partial u}{\partial t}=k\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}\right)=k\left(u_{x x}+u_{y y}+u_{z z}\right) ∂t∂u​=k(∂x2∂2u​+∂y2∂2u​+∂z2∂2u​)=k(uxx​+uyy​+uzz​)

亥姆霍兹方程 ( Δ + k 2 ) U = 0 \left(\Delta+k^{2}\right) U=0 (Δ+k2)U=0

( Δ + k 2 ) U = 0 \left(\Delta+k^{2}\right) U=0 (Δ+k2)U=0，其中 Δ \Delta Δ是拉普拉斯算子，k是波数，A是振幅。

亥姆霍兹方程有时也写为 Δ U + λ U = 0 \Delta U+\lambda U=0 ΔU+λU=0，若 λ = 0 \lambda=0 λ=0，则变为拉普拉斯方程 Δ U = 0 \Delta U=0 ΔU=0。

拉普拉斯方程 Δ U = 0 \Delta U=0 ΔU=0

拉普拉斯方程（Laplace’s equation）又称调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。

拉普拉斯方程为：

Δ u = ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 = 0 \Delta u=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=0 Δu=∂x2∂2u​+∂y2∂2u​+∂z2∂2u​=0

解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。哈密顿算子与拉普拉斯算子在文末有详细说明。

数理方法常见方程：一维波动方程(弦振动方程) u t t = a 2 u x x u_{tt}=a^2u_{xx} utt​=a2uxx​，一维热传导方程 u t = a 2 u x x u_t=a^2u_{xx} ut​=a2uxx​，二维拉普拉斯方程 u x x + u y y = 0 u_{xx}+u_{yy}=0 uxx​+uyy​=0。

哈密顿算子 ∇ \nabla ∇

向量微分算子 ∇ \nabla ∇， N a b l a Nabla Nabla算子，倒三角算子，哈密顿算子，是一个微分算子。

直角坐标系中： ∇ = ∂ ∂ x e x + ∂ ∂ y e y + ∂ ∂ z e z \nabla=\frac{\partial}{\partial x} e_{x}+\frac{\partial}{\partial y} e_{y}+\frac{\partial}{\partial z} e_{z} ∇=∂x∂​ex​+∂y∂​ey​+∂z∂​ez​ 球坐标系中： ∇ = ∂ ∂ r e r + 1 r ∂ ∂ θ e θ + 1 r sin ⁡ θ ∂ ∂ φ e φ \nabla=\frac{\partial}{\partial r} e_{r}+\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} e_{\theta}+\frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \varphi} e_{\varphi} ∇=∂r∂​er​+r1​∂θ∂​eθ​+rsinθ1​∂φ∂​eφ​ 柱坐标系中： ∇ = ∂ ∂ ρ e ρ + 1 ρ ∂ ∂ ϕ e ϕ + ∂ ∂ z e z \nabla=\frac{\partial}{\partial \rho} e_{\rho}+\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \phi} e_{\phi}+\frac{\partial}{\partial z} e_{z} ∇=∂ρ∂​eρ​+ρ1​∂ϕ∂​eϕ​+∂z∂​ez​

拉普拉斯算子 Δ \Delta Δ

Laplace算子 Δ \Delta Δ 是n维欧几里德空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度的散度， Δ f = ∇ 2 f = ∇ ⋅ ∇ f \Delta f=\nabla^{2} f=\nabla \cdot \nabla f Δf=∇2f=∇⋅∇f。

极坐标变换下二维Laplace算子的表达式为： ∇ 2 = ∂ 2 ∂ r 2 + 1 r ∂ ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 ∂ θ 2 \nabla^{2}=\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial \theta^{2}} ∇2=∂r2∂2​+r1​∂r∂​+r21​∂θ2∂2​ 柱面坐标变换下Laplace算子的表达式为： ∇ 2 = ∂ 2 ∂ ρ 2 + 1 ρ ∂ ∂ ρ + 1 ρ 2 ∂ 2 ∂ ϕ 2 + ∂ 2 ∂ z 2 \nabla^{2}=\frac{\partial^{2}}{\partial \rho^{2}}+\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho}+\frac{1}{\rho^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial \phi^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} ∇2=∂ρ2∂2​+ρ1​∂ρ∂​+ρ21​∂ϕ2∂2​+∂z2∂2​ 球坐标系下的Laplace算子的表达式为： ∇ 2 = ∂ 2 ∂ r 2 + 2 r ∂ ∂ r + 1 r 2 ( ∂ 2 ∂ θ 2 + cos ⁡ θ sin ⁡ θ ∂ ∂ θ ) + 1 r 2 sin ⁡ 2 θ ∂ 2 ∂ φ 2 \nabla^2=\frac{\partial^{2} }{\partial r^{2}}+\frac{2}{r} \frac{\partial }{\partial r}+\frac{1}{r^{2}}\left(\frac{\partial^{2} }{\partial \theta^{2}}+\frac{\cos \theta}{\sin \theta} \frac{\partial }{\partial \theta}\right)+\frac{1}{r^{2} \sin ^{2} \theta} \frac{\partial^{2}}{\partial \varphi^{2}} ∇2=∂r2∂2​+r2​∂r∂​+r21​(∂θ2∂2​+sinθcosθ​∂θ∂​)+r2sin2θ1​∂φ2∂2​