复变积分/复积分

复变积分

复变积分是复平面 C \mathbb{C} C 上的线积分。设 C C C 是 C \mathbb{C} C 内的一条由 A A A 点到 B B B 点的曲线，函数 f ( z ) f(z) f(z)在 C C C上有定义。把曲线 C C C任意分割为 n n n 段， ζ k \zeta_{k} ζk​ 是 z k − 1 → z k z_{k-1} \rightarrow z_{k} zk−1​→zk​ 段上的任意一点，作和数 ∑ k = 1 n f ( ζ k ) ( z k − z k − 1 ) = ∑ k = 1 n f ( ζ k ) Δ z k \sum_{k=1}^{n} f\left(\zeta_{k}\right)\left(z_{k}-z_{k-1}\right)=\sum_{k=1}^{n} f\left(\zeta_{k}\right) \Delta z_{k} k=1∑n​f(ζk​)(zk​−zk−1​)=k=1∑n​f(ζk​)Δzk​ 其中 Δ z k = z k − z k − 1 \Delta z_{k}=z_{k}-z_{k-1} Δzk​=zk​−zk−1​. 若当 n → ∞ , max ⁡ ∣ Δ z k ∣ → 0 n \rightarrow \infty, \max \left|\Delta z_{k}\right| \rightarrow 0 n→∞,max∣Δzk​∣→0 时，此和数的极限存在，且极限值与 ζ k \zeta_{k} ζk​ 的选取无关，则称此极限值为函数 f ( z ) f(z) f(z) 沿曲线 C C C 的积分，记为 ∫ C f ( z ) d z = lim ⁡ max ⁡ ∣ Δ z k ∣ → 0 ∑ k = 1 n f ( ζ k ) Δ z k \int_{C} f(z) \mathrm{d} z=\lim _{\max \left|\Delta z_{k}\right| \rightarrow 0} \sum_{k=1}^{n} f\left(\zeta_{k}\right) \Delta z_{k} ∫C​f(z)dz=max∣Δzk​∣→0lim​k=1∑n​f(ζk​)Δzk​ 利用微积分中曲线积分的知识对复变函数进行积分得 ∫ C f ( z ) d z = ∫ C ( u d x − v d y ) + i ∫ C ( v d x + u d y ) \int_{C} f(z) d z=\int_{C}(u d x-v d y)+i \int_{C}(v d x+u d y) ∫C​f(z)dz=∫C​(udx−vdy)+i∫C​(vdx+udy)

C a u c h y Cauchy Cauchy 定理

Cauchy 定理：如果函数 f ( z ) f(z) f(z)在有界闭区域 D ˉ \bar{D} Dˉ中解析，则沿 D ˉ \bar{D} Dˉ的边界 C C C有： ∮ C f ( z ) d z = 0 \oint_C f(z) dz=0 ∮C​f(z)dz=0 当被积复变函数在区域内有奇点(不解析的点)时，需要把奇点排除在外，设 D D D是由复围线 C = C 0 + C 1 − + C 2 − + ⋯ + C n − C=C_{0}+C_{1}^{-}+C_{2}^{-}+\cdots+C_{n}^{-} C=C0​+C1−​+C2−​+⋯+Cn−​所围成的复连通区域，函数 f ( z ) f(z) f(z) 在 D D D 内解析，则Cauchy积分还可写为

∮ C 0 f ( z ) d z = ∑ i = 1 n ∮ C i f ( z ) d z \oint_{C_0} f(z) dz=\sum_{i=1}^n \oint_{C_i}f(z)dz ∮C0​​f(z)dz=i=1∑n​∮Ci​​f(z)dz 注意此时内外围线积分是同向积分，可由 ∮ C f ( z ) d z = ∮ C 0 f ( z ) d z − ∑ i = 1 n ∮ C i f ( z ) d z = 0 \oint_{C} f(z) dz=\oint_{C_0} f(z) dz-\sum_{i=1}^n \oint_{C_i}f(z)dz=0 ∮C​f(z)dz=∮C0​​f(z)dz−∑i=1n​∮Ci​​f(z)dz=0推出上式。

Cauchy 定理的推论：

若 f ( z ) f(z) f(z)在有界单连通区域 D D D 中解析，则复变积分 ∫ C f ( z ) d z \int_{C} f(z) \mathrm{d} z ∫C​f(z)dz 与路径 C C C 无关 ( C ⊂ D C \subset D C⊂D)。

既然在有界单连通区域中解析函数的积分值与路径无关，因此，如果固定起点 z 0 z_{0} z0​，而令终点 z z z为变点，则作为积分上限的函数 ∫ z 0 z f ( ζ ) d ζ = F ( z ) , z ∈ D \int_{z_{0}}^{z} f(\zeta) \mathrm{d} \zeta=F(z), \quad z \in D ∫z0​z​f(ζ)dζ=F(z),z∈D 是有界单连通区域 D D D 内的单值函数，称为 f ( z ) f(z) f(z)的不定积分。

如果函数 f ( z ) f(z) f(z) 在有界单连通区域 D D D 内解析，则 f ( z ) f(z) f(z) 的不定积分 F ( z ) = ∫ z 0 z f ( ζ ) d ζ , z ∈ D F(z)=\int_{z_{0}}^{z} f(\zeta) \mathrm{d} \zeta, \quad z \in D F(z)=∫z0​z​f(ζ)dζ,z∈D 也在 D D D 内解析，并且 F ′ ( z ) = d d z ∫ z 0 z f ( ζ ) d ζ = f ( z ) , z ∈ D . F^{\prime}(z)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z} \int_{z_{0}}^{z} f(\zeta) \mathrm{d} \zeta=f(z), \quad z \in D . F′(z)=dzd​∫z0​z​f(ζ)dζ=f(z),z∈D.

C a u c h y Cauchy Cauchy 积分公式

设区域 D D D 的边界是围线 (或复围线) C C C， f ( z ) f(z) f(z) 在 D D D 内解析，在 D ˉ = D + C \bar{D}=D+C Dˉ=D+C 上连续，则 f ( z ) = 1 2 π i ∮ f ( ζ ) ζ − z   d ζ ( a ∈ D ) f(z)=\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint \frac{f(\zeta)}{\zeta-z} \mathrm{~d} \zeta \quad(a \in D) f(z)=2πi1​∮ζ−zf(ζ)​ dζ(a∈D)

或者也可将其写为 f ( z 0 ) = 1 2 π i ∮ C f ( z ) z − z 0   d z , z 0 ∈ D f(z_0)=\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_{C} \frac{f(z)}{z-z_0} \mathrm{~d} z, \quad z_0 \in D f(z0​)=2πi1​∮C​z−z0​f(z)​ dz,z0​∈D 则在 z = a z=a z=a处有 ∮ c f ( z ) z − a   d z = 2 π i f ( a ) ( a ∈ D ) \oint_{c} \frac{f(z)}{z-a} \mathrm{~d} z=2 \pi i f(a) \quad(a \in D) ∮c​z−af(z)​ dz=2πif(a)(a∈D)

可以根据Cauchy 积分公式得到解析函数在特殊点的积分值。

作为 Cauchy 积分公式的特殊形式，取 C C C 为以 z 0 z_0 z0​ 为圆心、 R R R 为半径的圆周，如果 f ( z ) f(z) f(z) 在圆内解析，即可得到 f ( z 0 ) = 1 2 π ∫ 0 2 π f ( z 0 + R e i θ ) d θ f(z_0)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f\left(z_0+R \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right) \mathrm{d} \theta f(z0​)=2π1​∫02π​f(z0​+Reiθ)dθ 这个结果称为均值定理：解析函数 f ( z ) f(z) f(z) 在解析区域 D D D 内任意一点 a a a 的函数值 f ( z 0 ) f(z_0) f(z0​)，等于(完全位于 D D D内的) 以该点为圆心的任一圆周上函数值的平均。

由Cauchy 积分公式可得，在包围 a a a的任意围道内有围道积分 ∮ C d z ( z − z 0 ) n = { 2 π i ( n = 1 ) 0 ( n ≠ 1 且 为 整 数 ) \oint_{C} \frac{d z}{(z-z_0)^{n}}=\left\{\begin{array}{ll}2 \pi \mathrm{i} & (n=1) \\ 0 & (n \neq 1且为整数)\end{array}\right. ∮C​(z−z0​)ndz​={2πi0​(n=1)(n​=1且为整数)​

简单推导此式：

当 n = 0 , − 1 , − 2 , ⋯ n=0,-1,-2,\cdots n=0,−1,−2,⋯时， 1 ( z − a ) n = ( z − a ) − n \frac{1}{(z-a)^n}=(z-a)^{-n} (z−a)n1​=(z−a)−n在围道 l l l内是解析函数，则其围道积分 ∮ C f ( z ) d z = 0 \oint_C f(z) dz=0 ∮C​f(z)dz=0；

为方便后续推导，设 z − a = ϵ e i θ , ( 0 ≤ θ < 2 π ) z-a=\epsilon e^{i\theta},(0\leq \theta