- 级数收敛性
- 收敛性的判定
级数也是研究函数的一个重要工具，无穷级数，特别是幂级数，是解析函数的重要表达形式之一。许多初等函数和特殊函数都是用幂级数定义的。
级数收敛性给定复数级数 ∑ n = 0 ∞ u n = u 0 + u 1 + u 2 + ⋯ \sum_{n=0}^{\infty} u_{n}=u_{0}+u_{1}+u_{2}+\cdots n=0∑∞un=u0+u1+u2+⋯ 如果它的部分和 S n = u 0 + u 1 + u 2 + ⋯ + u n S_{n}=u_{0}+u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n} Sn=u0+u1+u2+⋯+un 所构成的序列 { S n } \left\{S_{n}\right\} {Sn} 收敛，则称级数 ∑ u n \sum u_{n} ∑un 收敛，而序列 { S n } \left\{S_{n}\right\} {Sn} 的极限 S = lim n → ∞ S n S=\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n} S=limn→∞Sn，称为级数 ∑ u n \sum u_{n} ∑un 的和；否则，级数 ∑ u n \sum u_{n} ∑un 是发散的。复数项级数 ∑ k = 0 ∞ f k \sum_{k=0}^{\infty} f_{k} ∑k=0∞fk可以归结为两个实数项级数的和。 ∑ k = 0 ∞ f k = ∑ k = 0 ∞ u k + i ∑ k = 0 ∞ v k ⟶ 收敛于 F = u + i v \sum_{k=0}^{\infty} f_{k}=\sum_{k=0}^{\infty} u_{k}+i \sum_{k=0}^{\infty} v_{k} \stackrel{\text { 收敛于 }}{\longrightarrow} F=u+i v k=0∑∞fk=k=0∑∞uk+ik=0∑∞vk⟶ 收敛于 F=u+iv 如果级数 ∑ n = 0 ∞ ∣ u n ∣ \sum_{n=0}^{\infty}\left|u_{n}\right| ∑n=0∞∣un∣ 收敛，则称级数 ∑ n = 0 ∞ u n \sum_{n=0}^{\infty} u_{n} ∑n=0∞un 绝对收敛，收敛而非绝对收敛的级数称为条件收敛。
一致收敛：任意给定的 ε > 0 \varepsilon>0 ε>0，存在与 z z z 无关的 K K K，使得当 k > K k>K k>K 时，对于每一点 z ∈ D z \in D z∈D 都有 ∣ F ( z ) − F k ( z ) ∣ < ε \left|F(z)-F_{k}(z)\right|N ∀n>N，都有 ∣ u n ∣ < v n \left|u_{n}\right| 0 \left|u_{n}\right|>v_{n}>0 ∣un∣>vn>0，而 ∑ n = 0 ∞ v n \sum_{n=0}^{\infty} v_{n} ∑n=0∞vn 发散，则 ∑ n = 0 ∞ ∣ u n ∣ \sum_{n=0}^{\infty}\left|u_{n}\right| ∑n=0∞∣un∣ 发散。
比值判别法 - 绝对收敛
若存在与 n n n 无关的常数 ρ \rho ρ，则当 ∣ u n + 1 / u n ∣ < ρ < 1 \left|u_{n+1} / u_{n}\right|1 ∣un+1/un∣>ρ>1 时，级数 ∑ n = 0 ∞ u n \sum_{n=0}^{\infty} u_{n} ∑n=0∞un 发散。
达朗贝尔(d’Alembert) 判别法 - 绝对收敛
若 lim n → ∞ ∣ u n + 1 / u n ∣ < 1 \lim_{n \rightarrow \infty}\left|u_{n+1} / u_{n}\right|1 limn→∞∣un+1/un∣>1，则 ∑ n = 0 ∞ u n \sum_{n=0}^{\infty} u_{n} ∑n=0∞un 发散。 若 lim n → ∞ ∣ u n + 1 / u n ∣ = 1 \lim _{n \rightarrow \infty}\left|u_{n+1} / u_{n}\right|=1 limn→∞∣un+1/un∣=1，则 ∑ n = 0 ∞ u n \sum_{n=0}^{\infty} u_{n} ∑n=0∞un 的绝对收敛性需要利用下面的 Gauss 判别法进一步检验。
收敛半径： R = lim n → ∞ ∣ u n u n + 1 ∣ R=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{n}}{u_{n+1}}\right| R=limn→∞∣∣∣un+1un∣∣∣
柯西-阿达马(Cauchy-Hadamard) 判别法 - 绝对收敛
对 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty}u_n ∑n=1∞un，若 lim n → ∞ ∣ u n ∣ n = r \lim_{n \rightarrow \infty}\sqrt[n]{\left|u_{n}\right|}=r limn→∞n∣un∣ =r，则当 r < 1 r1 r>1，级数 ∑ n = 0 ∞ u n \sum_{n=0}^{\infty} u_{n} ∑n=0∞un 发散；当 r = 1 r=1 r=1，敛散性无法判定。
收敛半径为： R = lim n → ∞ 1 ∣ u n ∣ R=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{\sqrt{\left|u_{n}\right|}} R=limn→∞∣un∣ 1
达朗贝尔判别法与柯西判别法都遇到了问题，必须用更高级的判别法–高斯(Gauss)判别法
Gauss 判别法 - 绝对收敛
设级数 ∑ n = 0 ∞ u n \sum_{n=0}^{\infty} u_{n} ∑n=0∞un 邻项的比值可以写成 u n u n + 1 = 1 + μ n + O ( n − λ ) \frac{u_{n}}{u_{n+1}}=1+\frac{\mu}{n}+O\left(n^{-\lambda}\right) un+1un=1+nμ+O(n−λ) 其中 λ > 1 \lambda>1 λ>1，若 R e μ > 1 Re \ \mu>1 Re μ>1，则级数 ∑ n = 0 ∞ u n \sum_{n=0}^{\infty} u_{n} ∑n=0∞un 绝对收敛；若 R e μ ≤ 1 Re \ \mu \leq1 Re μ≤1，则 ∑ n = 0 ∞ ∣ u n ∣ \sum_{n=0}^{\infty}\left|u_{n}\right| ∑n=0∞∣un∣ 发散。
魏尔斯特拉斯 M-判别法/优级数准则 - 一致收敛
如果有正数列 M n ( n = 0 , 1 , 2 , ⋯ ) M_{n}(n=0,1,2, \cdots) Mn(n=0,1,2,⋯)，对一切 z ∈ E z \in E z∈E 均有 ∣ f n ( z ) ∣ ⩽ M n , n = 0 , 1 , 2 , ⋯ \left|f_{n}(z)\right| \leqslant M_{n}, \quad n=0,1,2, \cdots ∣fn(z)∣⩽Mn,n=0,1,2,⋯ 且正项级数 ∑ n = 0 ∞ M n \sum_{n=0}^{\infty} M_{n} ∑n=0∞Mn 收敛，则 ∑ n = 0 ∞ f n ( z ) \sum_{n=0}^{\infty} f_{n}(z) ∑n=0∞fn(z) 在 E E E 上绝对收敛且一致收敛。这样的正项级数 ∑ n = 0 ∞ M n \sum_{n=0}^{\infty} M_{n} ∑n=0∞Mn 称为复函数项级数 ∑ n = 0 ∞ f n ( z ) \sum_{n=0}^{\infty} f_{n}(z) ∑n=0∞fn(z) 的强级数(或优级数)。
Cauchy 判据 - 一致收敛
级数的收敛性，完全等价于其部分和序列的收敛性。因此，根据序列收敛的充要条件，可以写出无穷级数收敛的 Cauchy 充要条件: ∀ ε > 0 , ∃ \forall \varepsilon>0, \exists ∀ε>0,∃ 正整数 n n n，使对于任意正整数 p p p，有 ∣ u n + 1 + u n + 2 + ⋯ + u n + p ∣ < ε . \left|u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots+u_{n+p}\right|0 ε>0，存在与 z z z 无关的 K K K，使得当 k > K k>K k>K 时，对于每一点 z ∈ D z \in D z∈D 都有 ∣ F ( z ) − F k ( z ) ∣ < ε \left|F(z)-F_{k}(z)\right|
