留数及其应用

回顾：解析函数 f ( z ) f(z) f(z)在 l l l内

1. 复变积分： ∮ l f ( z ) d z = 0 \oint_lf(z)dz=0 ∮l​f(z)dz=0
2. 有一阶极点 a a a： ∮ l f ( z ) z − a d z = 2 π i f ( a ) \oint_l\frac{f(z)}{z-a}dz=2\pi i f(a) ∮l​z−af(z)​dz=2πif(a)
3. 有 n n n阶极点 a a a： ∮ l f ( z ) ( z − a ) n d z = 2 π i ( n − 1 ) ! f n − 1 ( a ) \oint_l\frac{f(z)}{(z-a)^n}dz=\frac{2\pi i}{(n-1)!} f^{n-1}(a) ∮l​(z−a)nf(z)​dz=(n−1)!2πi​fn−1(a)

留数

设 f ( z ) f(z) f(z) 以有限点 a a a 为孤立奇点，即 f ( z ) f(z) f(z) 在点 a a a 的某去心邻域 0 < ∣ z − a ∣ < R 0