线性偏微分方程的通解

线性偏微分方程的通解

观前提示：此章内容笔者写的不是很好，可以结合教材相关内容观看，本文主要介绍了线性算符以及线性偏微分方程的解，对理解此类方程以及线性算符很有帮助，但跳过此篇继续观看也不会造成后续内容不理解。

之前我们介绍的如波动方程、扩散方程等二阶偏微分方程都是线性偏微分方程，也就是说，在方程中只出现对于末知函数的线性运算。引进线性算符 L ^ \hat{L} L^ 的记号，则线性偏微分方程都可以写成 L ^ [ u ] = f \hat{L}[u]=f L^[u]=f 的形式，其中 u u u 是末知函数， f f f 是已知函数，称为方程的非齐次项。若 f ≡ 0 f \equiv 0 f≡0，则称方程是齐次的。我们所用到的方程常见算符见下表，  方 程 类 型   方 程   线 性 算 符  L ^  波动方程  ∂ 2 u ∂ t 2 − a 2 ∇ 2 u = f L ^ ≡ ∂ 2 ∂ t 2 − a 2 ∇ 2  热传导方程  ∂ u ∂ t − κ ∇ 2 u = f L ^ ≡ ∂ ∂ t − κ ∇ 2  Poisson 方程  ∇ 2 u = f L ^ ≡ ∇ 2  Helmholtz 方程  ∇ 2 u + k 2 u = f L ^ ≡ ∇ 2 + k 2 \begin{array}{llll} \hline \text { 方 程 类 型 } & \text { 方 程 } & \text { 线 性 算 符 } \hat{L} \\ \hline \text { 波动方程 } & \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}-a^{2} \nabla^{2} u=f & \hat{L} \equiv \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}-a^{2} \nabla^{2} \\ \hline \text { 热传导方程 } & \frac{\partial u}{\partial t}-\kappa \nabla^{2} u=f & \hat{L} \equiv \frac{\partial}{\partial t}-\kappa \nabla^{2} \\ \hline \text { Poisson 方程 } & \nabla^{2} u=f & \hat{L} \equiv \nabla^{2} \\ \hline \text { Helmholtz 方程 } & \nabla^{2} u+k^{2} u=f & \hat{L} \equiv \nabla^{2}+k^{2} \\ \hline \end{array}  方 程 类 型  波动方程  热传导方程  Poisson 方程  Helmholtz 方程 ​ 方 程 ∂t2∂2u​−a2∇2u=f∂t∂u​−κ∇2u=f∇2u=f∇2u+k2u=f​ 线 性 算 符 L^L^≡∂t2∂2​−a2∇2L^≡∂t∂​−κ∇2L^≡∇2L^≡∇2+k2​​ 根据线性算符的定义 L ^ [ c 1 u 1 + c 2 u 2 ] = c 1 L ^ [ u 1 ] + c 2 L ^ [ u 2 ] ( c 1 , c 2 为 常 数 ) \hat{L}\left[c_{1} u_{1}+c_{2} u_{2}\right]=c_{1} \hat{L}\left[u_{1}\right]+c_{2} \hat{L}\left[u_{2}\right] \quad\left(c_{1}, c_{2}\right. 为常数 ) L^[c1​u1​+c2​u2​]=c1​L^[u1​]+c2​L^[u2​](c1​,c2​为常数) 由线性代数的知识，我们可以得到以下推论：

1. 若 u 1 u_{1} u1​ 和 u 2 u_{2} u2​ 都是齐次方程 L ^ [ u ] = 0 \hat{L}[u]=0 L^[u]=0 的解， L ^ [ u 1 ] = 0 , L ^ [ u 2 ] = 0 \hat{L}\left[u_{1}\right]=0, \quad \hat{L}\left[u_{2}\right]=0 L^[u1​]=0,L^[u2​]=0 ，则它们的线性组合 c 1 u 1 + c 2 u 2 c_{1} u_{1}+c_{2} u_{2} c1​u1​+c2​u2​ 也是该齐次方程的解，

L ^ [ c 1 u 1 + c 2 u 2 ] = 0. \hat{L}\left[c_{1} u_{1}+c_{2} u_{2}\right]=0 . L^[c1​u1​+c2​u2​]=0.

2. 若 u 1 u_{1} u1​ 和 u 2 u_{2} u2​ 都是同一个非齐次方程 L ^ [ u ] = f \hat{L}[u]=f L^[u]=f 的解， L ^ [ u 1 ] = f , L ^ [ u 2 ] = f \hat{L}\left[u_{1}\right]=f, \quad \hat{L}\left[u_{2}\right]=f L^[u1​]=f,L^[u2​]=f，则它们的差 u 1 − u 2 u_{1}-u_{2} u1​−u2​ 一定是相应的齐次方程的特解， L ^ [ u 1 − u 2 ] = 0 \hat{L}\left[u_{1}-u_{2}\right]=0 L^[u1​−u2​]=0。方程的解 = 非齐次方程的一个特解 + + + 齐次方程的解。
3. 若 u 1 u_{1} u1​ 和 u 2 u_{2} u2​ 分别满足非齐次方程 L ^ [ u 1 ] = f 1 , L ^ [ u 2 ] = f 2 \hat{L}\left[u_{1}\right]=f_{1}, \quad \hat{L}\left[u_{2}\right]=f_{2} L^[u1​]=f1​,L^[u2​]=f2​，则它们的线性组合 c 1 u 1 + c 2 u 2 c_{1} u_{1}+c_{2} u_{2} c1​u1​+c2​u2​ 满足非齐次方程 L ^ [ c 1 u 1 + c 2 u 2 ] = c 1 f 1 + c 2 f 2 \hat{L}\left[c_{1} u_{1}+c_{2} u_{2}\right]=c_{1} f_{1}+c_{2} f_{2} L^[c1​u1​+c2​u2​]=c1​f1​+c2​f2​。

在数学物理方程中，我们以两个自变量的线性偏微分方程为例，讨论方程的特解和通解。这类线性偏微分方程的普遍形式可以写为 A 0 ∂ n u ∂ x n + A 1 ∂ n u ∂ x n − 1 ∂ y + ⋯ + A n ∂ n u ∂ y n + B 0 ∂ n − 1 u ∂ x n − 1 + ⋯ + M ∂ u ∂ x + N ∂ u ∂ y + P u = f ( x , y ) , A_{0} \frac{\partial^{n} u}{\partial x^{n}}+A_{1} \frac{\partial^{n} u}{\partial x^{n-1} \partial y}+\cdots+A_{n} \frac{\partial^{n} u}{\partial y^{n}}+B_{0} \frac{\partial^{n-1} u}{\partial x^{n-1}}+\cdots+M \frac{\partial u}{\partial x}+N \frac{\partial u}{\partial y}+P u=f(x, y), A0​∂xn∂nu​+A1​∂xn−1∂y∂nu​+⋯+An​∂yn∂nu​+B0​∂xn−1∂n−1u​+⋯+M∂x∂u​+N∂y∂u​+Pu=f(x,y), 或者引进简写符号 D ^ x ≡ ∂ / ∂ x , D ^ y ≡ ∂ / ∂ y \hat{D}_{x} \equiv \partial / \partial x, \hat{D}_{y} \equiv \partial / \partial y D^x​≡∂/∂x,D^y​≡∂/∂y, 而将方程写成 L ^ ( D ^ x , D ^ y ) u ≡ ( A 0 D ^ x n + A 1 D ^ x n − 1 D ^ y + ⋯ + A n D ^ y n + B 0 D ^ x n − 1 + ⋯ + M D ^ x + N D ^ y + P ) u = f ( x , y ) \begin{aligned} \hat{L}\left(\hat{D}_{x}, \hat{D}_{y}\right) u \equiv &\left(A_{0} \hat{D}_{x}^{n}+A_{1} \hat{D}_{x}^{n-1} \hat{D}_{y}+\cdots+A_{n} \hat{D}_{y}^{n}+B_{0} \hat{D}_{x}^{n-1}\right.\\ &\left.+\cdots+M \hat{D}_{x}+N \hat{D}_{y}+P\right) u=f(x, y) \end{aligned} L^(D^x​,D^y​)u≡​(A0​D^xn​+A1​D^xn−1​D^y​+⋯+An​D^yn​+B0​D^xn−1​+⋯+MD^x​+ND^y​+P)u=f(x,y)​ 其中 A 0 , A 1 , ⋯   , A n , B 0 , ⋯   , M , N , P A_{0}, A_{1}, \cdots, A_{n}, B_{0}, \cdots, M, N, P A0​,A1​,⋯,An​,B0​,⋯,M,N,P 都是 x , y x, y x,y 的已知函数，称为方程的系数。我们只讨论最简单的情形，即常系数的线性偏微分方程 (方程的系数均为常数)，以及能化为常系数线性偏微分方程的方程。

若讨论两个自变量的常系数线性齐次偏微分方程，则 f ( x , y ) = 0 f(x,y)=0 f(x,y)=0，

若 L ^ ( D ^ x , D ^ y ) \hat{L}\left(\hat{D}_{x}, \hat{D}_{y}\right) L^(D^x​,D^y​) 是 D ^ x , D ^ y \hat{D}_{x}, \hat{D}_{y} D^x​,D^y​ 的齐次式，则 P = 0 P=0 P=0，方程为 ( A 0 D ^ x n + A 1 D ^ x n − 1 D ^ y + A 2 D ^ x n − 2 D ^ y 2 + ⋯ + A n D ^ y n ) u = 0. \left(A_{0} \hat{D}_{x}^{n}+A_{1} \hat{D}_{x}^{n-1} \hat{D}_{y}+A_{2} \hat{D}_{x}^{n-2} \hat{D}_{y}^{2}+\cdots+A_{n} \hat{D}_{y}^{n}\right) u=0 . (A0​D^xn​+A1​D^xn−1​D^y​+A2​D^xn−2​D^y2​+⋯+An​D^yn​)u=0. 这时，线性算符 L ^ ( D ^ x , D ^ y ) \hat{L}\left(\hat{D}_{x}, \hat{D}_{y}\right) L^(D^x​,D^y​) 可以分解成为 n n n 个线性算符的乘积 L ^ ( D ^ x , D ^ y ) = A 0 ( D ^ x − α 1 D ^ y ) ( D ^ x − α 2 D ^ y ) ⋯ ( D ^ x − α n D ^ y ) , \hat{L}\left(\hat{D}_{x}, \hat{D}_{y}\right)=A_{0}\left(\hat{D}_{x}-\alpha_{1} \hat{D}_{y}\right)\left(\hat{D}_{x}-\alpha_{2} \hat{D}_{y}\right) \cdots\left(\hat{D}_{x}-\alpha_{n} \hat{D}_{y}\right), L^(D^x​,D^y​)=A0​(D^x​−α1​D^y​)(D^x​−α2​D^y​)⋯(D^x​−αn​D^y​), 其中 α 1 , α 2 , ⋯   , α n \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} α1​,α2​,⋯,αn​ 也都是常数。 取试探解为 u = ϕ ( y + α x ) u=\phi(y+\alpha x) u=ϕ(y+αx)，则 D ^ x k u = α k ϕ ( k ) ( y + α x ) , D ^ y k u = ϕ ( k ) ( y + α x ) , D ^ x r D ^ y s u = α r ϕ ( r + s ) ( y + α x ) , \hat{D}_{x}^{k} u=\alpha^{k} \phi^{(k)}(y+\alpha x), \quad \hat{D}_{y}^{k} u=\phi^{(k)}(y+\alpha x), \quad \hat{D}_{x}^{r} \hat{D}_{y}^{s} u=\alpha^{r} \phi^{(r+s)}(y+\alpha x), D^xk​u=αkϕ(k)(y+αx),D^yk​u=ϕ(k)(y+αx),D^xr​D^ys​u=αrϕ(r+s)(y+αx),

D ^ x k u \hat{D}_{x}^{k} u D^xk​u表示对 u u u的 n n n阶偏导

代入方程即得 ( A 0 α n + A 1 α n − 1 + ⋯ + A n ) ϕ ( n ) ( y + α x ) = 0. \left(A_{0} \alpha^{n}+A_{1} \alpha^{n-1}+\cdots+A_{n}\right) \phi^{(n)}(y+\alpha x)=0 . (A0​αn+A1​αn−1+⋯+An​)ϕ(n)(y+αx)=0. 设代数方程 (称为附加方程，auxiliary equation) A 0 α n + A 1 α n − 1 + ⋯ + A n = 0 A_{0} \alpha^{n}+A_{1} \alpha^{n-1}+\cdots+A_{n}=0 A0​αn+A1​αn−1+⋯+An​=0 的解是 α 1 , α 2 , ⋯   , α n \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} α1​,α2​,⋯,αn​, 且互不相等，则齐次方程的通解为 u = ϕ 1 ( y + α 1 x ) + ϕ 2 ( y + α 2 x ) + ⋯ + ϕ n ( y + α n x ) u=\phi_{1}\left(y+\alpha_{1} x\right)+\phi_{2}\left(y+\alpha_{2} x\right)+\cdots+\phi_{n}\left(y+\alpha_{n} x\right) u=ϕ1​(y+α1​x)+ϕ2​(y+α2​x)+⋯+ϕn​(y+αn​x) 其中 ϕ i , i = 1 , 2 , ⋯   , n \phi_{i}, i=1,2, \cdots, n ϕi​,i=1,2,⋯,n 是 (互相独立的) 任意 ( n n n 次可微) 函数。

举例： 求方程 ∂ 2 u ∂ x 2 − a 2 ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-a^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0 ∂x2∂2u​−a2∂y2∂2u​=0 的通解， a a a 为常数。 解：因附加方程 α 2 − a 2 = 0 \alpha^{2}-a^{2}=0 α2−a2=0 的解 α = ± a \alpha=\pm a α=±a，故方程的通解为 u = ϕ 1 ( y + a x ) + ϕ 2 ( y − a x ) . u=\phi_{1}(y+a x)+\phi_{2}(y-a x) . u=ϕ1​(y+ax)+ϕ2​(y−ax).

为了更好的掌握相关知识点，建议亲自动手计算此例题

若 α \alpha α 是重根，例如是二重根， ( D ^ x − α D ^ y ) 2 u = 0 \left(\hat{D}_{x}-\alpha \hat{D}_{y}\right)^{2} u=0 (D^x​−αD^y​)2u=0，则通解为 u = x ϕ 1 ( y + α x ) + ϕ 2 ( y + α x ) . u=x \phi_{1}(y+\alpha x)+\phi_{2}(y+\alpha x) . u=xϕ1​(y+αx)+ϕ2​(y+αx). 若 α \alpha α 为 n n n 重根，即 ( D ^ x − α D ^ y ) n u = 0 \left(\hat{D}_{x}-\alpha \hat{D}_{y}\right)^{n} u=0 (D^x​−αD^y​)nu=0，则方程的通解为 u = x n − 1 ϕ 1 ( y + α x ) + x n − 2 ϕ 2 ( y + α x ) + ⋯ + x ϕ n − 1 ( y + α x ) + ϕ n ( y + α x ) . u=x^{n-1} \phi_{1}(y+\alpha x)+x^{n-2} \phi_{2}(y+\alpha x)+\cdots+x \phi_{n-1}(y+\alpha x)+\phi_{n}(y+\alpha x) . u=xn−1ϕ1​(y+αx)+xn−2ϕ2​(y+αx)+⋯+xϕn−1​(y+αx)+ϕn​(y+αx). 举例：方程 ( D ^ x 2 − 2 D ^ x D ^ y + D ^ y 2 ) u = 0 \left(\hat{D}_{x}^{2}-2 \hat{D}_{x} \hat{D}_{y}+\hat{D}_{y}^{2}\right) u=0 (D^x2​−2D^x​D^y​+D^y2​)u=0 的通解为 u = x ϕ ( x + y ) + ψ ( x + y ) . u=x \phi(x+y)+\psi(x+y) . u=xϕ(x+y)+ψ(x+y). 若 L ^ ( D ^ x , D ^ y ) \hat{L}\left(\hat{D}_{x}, \hat{D}_{y}\right) L^(D^x​,D^y​) 不是 D ^ x , D ^ y \hat{D}_{x}, \hat{D}_{y} D^x​,D^y​ 的齐次式，则首先考虑一阶偏微分方程 ( D ^ x − α D ^ y − β ) u = 0 \left(\hat{D}_{x}-\alpha \hat{D}_{y}-\beta\right) u=0 (D^x​−αD^y​−β)u=0 前面已经求出此方程在 β = 0 \beta=0 β=0 时的通解 u = ϕ ( y + α x ) u=\phi(y+\alpha x) u=ϕ(y+αx)。当 β ≠ 0 \beta \neq 0 β​=0 时可设解为 u ( x , y ) = f ( x ) ϕ ( y + α x ) . u(x, y)=f(x) \phi(y+\alpha x) . u(x,y)=f(x)ϕ(y+αx). 代入方程，有 ( D ^ x − α D ^ y − β ) [ f ( x ) ϕ ( y + α x ) ] = f ( x ) ( D ^ x − α D ^ y ) ϕ ( y + α x ) + ϕ ( y + α x ) ( D ^ x − β ) f ( x ) = 0. \left(\hat{D}_{x}-\alpha \hat{D}_{y}-\beta\right)[f(x) \phi(y+\alpha x)]=f(x)\left(\hat{D}_{x}-\alpha \hat{D}_{y}\right) \phi(y+\alpha x)+\phi(y+\alpha x)\left(\hat{D}_{x}-\beta\right) f(x)=0 . (D^x​−αD^y​−β)[f(x)ϕ(y+αx)]=f(x)(D^x​−αD^y​)ϕ(y+αx)+ϕ(y+αx)(D^x​−β)f(x)=0. 因为 ( D ^ x − α D ^ y ) ϕ ( y + α x ) = 0 \left(\hat{D}_{x}-\alpha \hat{D}_{y}\right) \phi(y+\alpha x)=0 (D^x​−αD^y​)ϕ(y+αx)=0，就得到 f ( x ) f(x) f(x) 满足的常微分方程 f ′ ( x ) − β f ( x ) = 0. f^{\prime}(x)-\beta f(x)=0 . f′(x)−βf(x)=0. 解之得 f ( x ) = e β x f(x)=\mathrm{e}^{\beta x} f(x)=eβx。因此，非齐次方程的通解就是 u ( x , y ) = e β x ϕ ( y + α x ) . u(x, y)=\mathrm{e}^{\beta x} \phi(y+\alpha x) . u(x,y)=eβxϕ(y+αx). 举例： 求方程 ∂ 2 u ∂ x 2 − ∂ 2 u ∂ x ∂ y − 2 ∂ 2 u ∂ y 2 + 2 ∂ u ∂ x + 2 ∂ u ∂ y = 0 \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}-2 \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+2 \frac{\partial u}{\partial x}+2 \frac{\partial u}{\partial y}=0 ∂x2∂2u​−∂x∂y∂2u​−2∂y2∂2u​+2∂x∂u​+2∂y∂u​=0 的通解. 解： 容易看出, ( D ^ x 2 − D ^ x D ^ y − 2 D ^ y 2 + 2 D ^ x + 2 D ^ y ) u = ( D ^ x + D ^ y ) ( D ^ x − 2 D ^ y + 2 ) u = 0 \left(\hat{D}_{x}^{2}-\hat{D}_{x} \hat{D}_{y}-2 \hat{D}_{y}^{2}+2 \hat{D}_{x}+2 \hat{D}_{y}\right) u=\left(\hat{D}_{x}+\hat{D}_{y}\right)\left(\hat{D}_{x}-2 \hat{D}_{y}+2\right) u=0 (D^x2​−D^x​D^y​−2D^y2​+2D^x​+2D^y​)u=(D^x​+D^y​)(D^x​−2D^y​+2)u=0 故方程的通解为 u = ϕ ( x − y ) + e − 2 x ψ ( y + 2 x ) . u=\phi(x-y)+\mathrm{e}^{-2 x} \psi(y+2 x) . u=ϕ(x−y)+e−2xψ(y+2x). 注意: 若有重复性因子, 例如 ( D ^ x − α D ^ y − β ) 2 z = 0 \left(\hat{D}_{x}-\alpha \hat{D}_{y}-\beta\right)^{2} z=0 (D^x​−αD^y​−β)2z=0, 则通解为 z = x e β x ϕ ( y + α x ) + e β x ψ ( y + α x ) .  z=x \mathrm{e}^{\beta x} \phi(y+\alpha x)+\mathrm{e}^{\beta x} \psi(y+\alpha x) \text {. } z=xeβxϕ(y+αx)+eβxψ(y+αx). 

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