分离变量法

分离变量法核心思路

分离变量法的核心思路是，将PDE(偏微分方程)变为多个ODE(常微分方程)，那么我们如何进行呢？

PDE和ODE的一个显著不同是：PDE的自变量一定有两个以上，而ODE的自变量只有一个，那么我们能否将多个自变量拆分使求解PDE变为求解ODE呢？如果满足PDE的自变量 u ( x , t ) u(x, t) u(x,t) 是某种特别的形式，例如 u ( x , t ) = X ( x ) T ( t ) , u(x, t)=X(x) T(t), u(x,t)=X(x)T(t), 可以多个一元函数相乘得到，那么每个一元函数 X ( x ) X(x) X(x) 和 T ( t ) T(t) T(t) 满足的方程应该都是ODE，只要能求出 X ( x ) X(x) X(x) 和 T ( t ) T(t) T(t)，就可能求出 u ( x , t ) u(x, t) u(x,t)。这样我们就把求解PDE问题转变为求解ODE问题，这就是分离变量法的思路。

ODE求解思路：先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，再用定解条件去确定叠加系数。

在力学中，驻波的表达式为 u ( x , t ) = 2 A cos ⁡ 2 π x λ cos ⁡ 2 π γ t u(x, t)=2 A \cos \frac{2 \pi x}{\lambda} \cos 2 \pi \gamma t u(x,t)=2Acosλ2πx​cos2πγt 这使我们自然想到，对于定解问题可设其特解为 u ( x , t ) = X ( x ) T ( t ) u(x, t)=X(x) T(t) u(x,t)=X(x)T(t) 其中 X ( x ) X(x) X(x) 和 T ( t ) T(t) T(t) 分别只是变数 x x x 和 t t t 的函数。为了弄清楚定解问题究竟有什么样的驻波解，应将 u ( x , t ) = X ( x ) T ( t ) u(x, t)=X(x) T(t) u(x,t)=X(x)T(t) 式分别代人方程和定解条件中。

考虑长为 l l l 、两端固定的弦的自由振动, 方程及定解条件为 ∂ 2 u ∂ t 2 − a 2 ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 , 0 < x < l , t > 0 , u ∣ x = 0 = 0 , u ∣ x = l = 0 , t ⩾ 0 , u ∣ t = 0 = ϕ ( x ) , ∂ u ∂ t ∣ t = 0 = ψ ( x ) , 0 ⩽ x ⩽ l . \begin{array}{ll} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}-a^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=0, & 0